申愛紅,孫文娟

(1.中國刑事警察學院 基礎部,沈陽 110854;2.沈陽理工大學 理學院,沈陽 110159)

0 引 言

《高等數(shù)學》課程是本科院校理工類與經(jīng)濟管理類專業(yè)的一門重要基礎課,也是這類專業(yè)研究生考試的必考科目之一,在本科教學中起著重要作用?！陡叩葦?shù)學》課程要求學生有較強的邏輯思維能力和計算能力,其培養(yǎng)目標是通過該課程的學習使學生能夠解決其他專業(yè)領域中的問題。為了提高學生的創(chuàng)新能力,激發(fā)學生的學習熱情,隨著計算機網(wǎng)絡的廣泛應用,教學工作者們提出了大量基于網(wǎng)絡資源的教學改革方案,如基于互聯(lián)網(wǎng)的教學模式[1-2]、基于翻轉(zhuǎn)課堂[3-5]的教學模式、基于慕課[6-8]以及基于微課[9-11]的教學模式等。本文認為基于網(wǎng)絡資源的教學方法有其優(yōu)越性,但也不能全盤否定傳統(tǒng)的授課模式。

本文針對目前《高等數(shù)學》課程教學中存在的問題,對現(xiàn)行的《高等數(shù)學》課程教學模式進行了改革,提出了優(yōu)化教材內(nèi)容、拓展教學內(nèi)容、應用混合教學方法等改革措施,并進行了教學實踐。措施的提出充分激發(fā)了學生的學習熱情,有效地提高了教學效率。

1 《高等數(shù)學》課程教學現(xiàn)狀

1.1 教學內(nèi)容固化

在新課改下高中數(shù)學的教學內(nèi)容有很多變動[12]。一方面,有些教學內(nèi)容與《高等數(shù)學》的內(nèi)容重復,學生學習這部分內(nèi)容時由于缺乏好奇心,學習積極性不高。另一方面,高中數(shù)學教學內(nèi)容中刪減了一部分《高等數(shù)學》課程需要的預備知識,學生在學習此部分內(nèi)容時會比較吃力。此外,《高等數(shù)學》教材中有關某些概念的不同內(nèi)容分散在不同的章節(jié),知識點的連貫性不足,不利于學生知識體系的形成。

1.2 學生普遍存在畏難情緒

《高等數(shù)學》課程本身具有抽象性,學習難度相對較高,因此學生普遍先入為主地認為“高數(shù)難”,學習過程中存在畏難情緒。同時,現(xiàn)有的教學模式使得學生對《高等數(shù)學》課程的背景、應用了解不多,興趣得不到激發(fā),學習積極性難以被調(diào)動[13]。隨著學習的不斷深入以及知識點難度的不斷提升,更多的學生失去學習信心,因此無法達到滿意的教學質(zhì)量和預期的教學目標。

1.3 教學方法單一

課堂教學過程包括教師行為以及學生行為,現(xiàn)行的《高等數(shù)學》教學過程則更多的強調(diào)教師行為,大多數(shù)教師將更多的精力投入到知識點的講解上,忽略了講授方式的設計。講授模式也多為“教師單向講解,學生被動接受”。在這種單一、傳統(tǒng)的教學模式下,學生的行為被忽視,學生學習相對被動,學習的積極性及主動性很難得到充分調(diào)動。

1.4 學生的應用、創(chuàng)新能力不足

目前,《高等數(shù)學》教學過程大多只涉及概念、定義的講解,定理、性質(zhì)的推演,以及算法的介紹。數(shù)學作為一門基礎學科,其理論思想的產(chǎn)生源于人類生活、科技發(fā)展需求,最終還將應用于生產(chǎn)實踐。在目前的教學模式下,學生盡管掌握了一些數(shù)學知識,卻不具備數(shù)學思維、應用能力以及創(chuàng)新能力。

2 《高等數(shù)學》課程教學改革的探索與實踐

2.1 優(yōu)化教材內(nèi)容

首先,由于新課改下高中數(shù)學的教學內(nèi)容有很多變動,應根據(jù)高中數(shù)學教學內(nèi)容對《高等數(shù)學》教學內(nèi)容進行調(diào)整。一方面,高中數(shù)學中有些內(nèi)容與《高等數(shù)學》課程重復,如導數(shù)的計算、利用洛必達法則計算極限等。對于這部分內(nèi)容,要對《高等數(shù)學》和高中數(shù)學的教學重點進行區(qū)分。高中側(cè)重計算,因此《高等數(shù)學》教學過程中應側(cè)重于理論拓展,著重對概念進行分析、定理進行推演,使學生對知識點有更全面的理解。另一方面,高中教材中也刪減了一些《高等數(shù)學》課程中需要的知識點,如反三角函數(shù)、常用三角恒等式、極坐標等。教師應了解哪些預備知識高中數(shù)學沒有講授,并對相關內(nèi)容進行及時補充,為后續(xù)課程做好準備。

其次,對教材中某些教學內(nèi)容的講授順序進行調(diào)整。如無窮小量這一節(jié),無窮小量的性質(zhì)可以總結為“有限個無窮小量的和、差、積是無窮小量”?？梢岳脝l(fā)式教學方法向?qū)W生提出問題:“兩個無窮小量的商是否為無窮小量?”從而過渡到無窮小量的比較,如圖1所示。通過適當調(diào)整教學內(nèi)容的順序,將出現(xiàn)在不同章節(jié)的同一概念的不同內(nèi)容匯總,增加了知識點的系統(tǒng)性,有利于學生更加全面的理解無窮小量的概念。

圖1 無窮小量介紹Fig.1 Introduction of infinitesimal

圖2 微分中值定理及其應用Fig.2 Differential mean value theorem and applications

又如微分中值定理這一節(jié),每個定理證明結束后分別介紹該定理在研究函數(shù)性質(zhì)中的應用,以實現(xiàn)緊緊圍繞并突出微分中值定理作用的目的,使學生切實理解如何以微分中值定理為工具,利用導函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)。如圖2所示,由羅爾定理的證明過渡到函數(shù)極值點必要條件的證明,由于羅爾定理的證明過程包含了函數(shù)極值點必要條件的證明,因此在此處介紹必要條件的證明更易于學生理解。同樣地,由拉格朗日中值定理的證明過渡到函數(shù)單調(diào)性的判別條件,因為學生在高中數(shù)學中已經(jīng)學習過該結論,但大多數(shù)學生知其然不知其所以然,因此在此處引入單調(diào)性判別條件的證明,學生會有一種豁然開朗的感覺。由柯西中值定理過渡到洛必達法則的證明時,由于高中數(shù)學階段只要求學生利用洛必達法則計算函數(shù)極限,沒有對定理本身的證明進行推導,因此在此處可以側(cè)重講解利用柯西中值定理推導洛必達法則,提高學生的學習興趣。通過多年的課堂教學實踐證明,由于可以將微分中值定理與已有的知識儲備相關聯(lián),這種調(diào)整模式能夠提高學生的學習熱情,加深學生對知識點的理解。

2.2 拓展教學內(nèi)容

“興趣是最好的老師”,可以通過拓展教學內(nèi)容開拓學生視野,提高學生學習《高等數(shù)學》的興趣。本文提出從知識點產(chǎn)生的背景、數(shù)學文化以及開展學術報告3方面拓展教學內(nèi)容。

首先,教學過程應增加知識點產(chǎn)生背景的介紹,將抽象的知識與實際背景相聯(lián)系可以減少學生的畏難情緒,激發(fā)學習動力。如在介紹《高等數(shù)學》課程框架時,可以講述微積分的產(chǎn)生背景:微積分的創(chuàng)立并非偶然,是社會和科技發(fā)展的必然結果[14]。17世紀下半葉,英國科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別從運動學和幾何學入手獨自研究完成了微積分的創(chuàng)立工作[15]。解決了如曲線切線、運動物體的瞬時速度等現(xiàn)實問題。又如知識點“變上限函數(shù)的導數(shù)”,即曲邊梯形面積的變化率是與現(xiàn)實生活中的掃雪效率,雨刷器清潔玻璃的效率等問題相關聯(lián)的。

其次,在《高等數(shù)學》的教學過程中始終貫穿數(shù)學文化、數(shù)學故事的介紹。力求在每個知識點都發(fā)現(xiàn)相關的數(shù)學故事,以提高學生的學習興趣。如有關無窮小量概念發(fā)展的歷史為:無窮小量最初出現(xiàn)在哲學范疇內(nèi),魏晉時期的數(shù)學家劉徽在割圓術中應用了無窮小的思想,微積分體系的建立開始了關于無窮小的演算,德國數(shù)學家魯濱遜在《非標準分析》中對無窮小進行了嚴密的解釋分析。又如,極限的定義這一節(jié)介紹:柯西在微積分中引進了極限的概念,并以極限為基礎建立了邏輯嚴密的分析體系等。

最后,《高等數(shù)學》課程組應定期開展學術講座。一方面學生通過這種方式可以開闊視野拓展思路,激發(fā)學習愿望。另一方面,教師在準備學術報告的同時對自己的科研成果進行整理、補充,提高自身的科研能力,實現(xiàn)教學相長。

2.3 應用混合教學方法

隨著計算機網(wǎng)絡的廣泛應用,基于網(wǎng)絡或數(shù)字媒體的教學方法在新時代的教學過程中發(fā)揮了重要作用。很多高等院校都采用了翻轉(zhuǎn)課堂、微課、雨課堂等教學方法。本文結合《高等數(shù)學》的課程特點,在保留傳統(tǒng)教學方法(教師單方向講授的模式)優(yōu)勢的同時,結合網(wǎng)絡學習的優(yōu)勢,提出了混合教學方法。該方法將傳統(tǒng)教學、翻轉(zhuǎn)課堂[16]以及討論班3種方法相結合,如圖3所示。具體以《高等數(shù)學》上冊為例進行說明。首先,有關核心概念、定義以及理論性強的知識點采用傳統(tǒng)的教學方法。如極限的定義、導數(shù)的定義、微分中值定理的推導、定積分的定義等,由教師完成基本概念以及思想的闡述,引導學生對課程以及知識點建立宏觀認識。其次,對理論性不強,有關過程性描述以及側(cè)重應用的知識點采用翻轉(zhuǎn)課堂的方式來完成,如教材中無窮小量的比較、不定積分的分部積分法等。課前教師通過微課視頻或雨課堂布置預習任務以及相應的作業(yè)。通過課前預習,一方面學生對所學內(nèi)容有所了解,帶著問題走進課堂,學習更有目的性;另一方面,通過作業(yè)的完成情況,老師對學生的學習程度有所了解,課堂上的講解能夠更有針對性。最后,對于學生相對比較熟悉的內(nèi)容可以采用討論班形式完成,如函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性,函數(shù)的極值、最值以及利用洛必達法則求函數(shù)極限等章節(jié)。即課前安排某位同學或者某個學習小組自主學習這部分內(nèi)容,然后在課堂上由學生進行講授。通過這種形式,講授的學生對該知識點的了解更加深刻,同時也能激發(fā)其他同學的學習積極性,此外這種自學-講解的模式可以為研究生階段的學習積累經(jīng)驗。通過近2年教學實踐證明,有針對性的多種教學方法的融合充分調(diào)動了學生學習的積極性,提高了課堂效率。

圖3 混合教學模式示意圖Fig.3 Schematic diagram of mixed teaching mode

2.4 建立立體化課程體系

針對學生應用能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng),可以在教學過程中增加數(shù)學軟件以及數(shù)學實驗的介紹。一方面借助數(shù)學軟件可以加深對知識點的理解[17],另一方面也提高了學生運用數(shù)學解決問題的能力。以“函數(shù)極值點的充分條件一”為例,該條件是利用函數(shù)的單調(diào)性進一步判斷某點是否為極值點。很多學生直觀地認為極值點兩側(cè)的單調(diào)性一定不同,誤將該點兩側(cè)的單調(diào)性不同作為極值點的必要條件。此處可以通過舉反例的方式解釋:極值點兩側(cè)的單調(diào)性不一定相反。如函數(shù)

(1)

圖4 函數(shù)圖像Fig.4 Figure of function

x=0為該函數(shù)的極小值點,但該點的任一側(cè)都不具有單調(diào)性。由于該函數(shù)的代數(shù)形式抽象,不利于學生直觀理解,可以借助數(shù)學軟件得到該函數(shù)的圖像。學生通過輸入MATLAB命令:x=-pi:0.01:pi;y=x2+x2*abs(sin(1./x));plot(x,y),得到函數(shù)圖像,如圖4所示。學生通過圖像對極值點的必要條件有了更加深刻的理解。

另一方面,多年的教學實踐表明學生通過參加大學生數(shù)學建模競賽等創(chuàng)新活動能提高學習的積極性、主動性,并提高應用、創(chuàng)新能力[18]。數(shù)學建模首先將實際問題進行抽象,然后用數(shù)學語言進行表達,最后借助數(shù)學工具進行求解分析。在這一過程中學生查找文獻自學所需知識,通過團隊合作的形式解題,最終以論文的形式提交任務,是一個全面考察學生應用以及創(chuàng)新能力的過程。中國刑事警察學院從2006年起組織學生參加全國大學生數(shù)學建模競賽,取得了較好的效果。從開始時學生被動參加,到現(xiàn)在的主動報名,有些學生甚至剛?cè)雽W就向老師請教有關參加競賽的信息,并自學MATLAB等數(shù)學軟件。此外,學生參與教師的科研項目也是提高學生應用能力的一種有效手段。

3 結 語

在新時代背景下開展《高等數(shù)學》課程改革,對于提高人才培養(yǎng)質(zhì)量、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才具有至關重要的作用。本文提出的改革措施可有效豐富、優(yōu)化教學內(nèi)容,激發(fā)學生的學習興趣和主觀能動性;通過加強師生互動,提高了教師的教學效率和學生的創(chuàng)新熱情,實現(xiàn)了教學相長;通過實踐將所學融會貫通,提高了學生的應用、動手能力,促進了學生的全面發(fā)展。措施的提出可為《高等數(shù)學》課程改革提供思路和依據(jù)。