李 嬌，劉 滿

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116605)

切換系統(tǒng)作為一類特殊的混雜系統(tǒng)，為很多具有切換特征的物理系統(tǒng)的研究提供方法和技術(shù)上的借鑒和啟示。在過去的十幾年里，人們已經(jīng)對切換系統(tǒng)進(jìn)行了研究[1-5]。然而，由于連續(xù)和離散動態(tài)相互作用，導(dǎo)致切換系統(tǒng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的動態(tài)行為[6-8]，因此，對切換系統(tǒng)的研究比較困難，仍有一些問題待解決。

穩(wěn)定性分析、控制器和切換律設(shè)計是切換系統(tǒng)研究的主要問題[9-10]。針對連續(xù)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題，當(dāng)所有子系統(tǒng)穩(wěn)定或部分子系統(tǒng)穩(wěn)定或所有子系統(tǒng)均不穩(wěn)定的情形，已得到一些相應(yīng)的研究結(jié)果。例如，當(dāng)每個子系統(tǒng)都穩(wěn)定，文獻(xiàn)[11]和[12]討論了時間依賴切換技術(shù)。文獻(xiàn)[13]和[14]和文獻(xiàn)[15]分別將這些結(jié)果推廣到部分子系統(tǒng)不穩(wěn)定和所有子系統(tǒng)均不穩(wěn)定的情形。此外，文獻(xiàn)[13]討論了l2增益問題。

文獻(xiàn)[16]和[17]研究了離散時間的型式，文獻(xiàn)[18]和[19]將其擴(kuò)展到異步切換的情況。另一方面，文獻(xiàn)[20]討論了狀態(tài)依賴切換方法。在文獻(xiàn)[21]中，利用Lyapunov-Metzler不等式分別給出了連續(xù)和離散切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，雖然這些條件不要求每個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但子系統(tǒng)矩陣乘以某些常數(shù)是穩(wěn)定的。此外，文獻(xiàn)[22]依據(jù)修改的Lyapunov-Metzler不等式得到了穩(wěn)定性分析和控制設(shè)計條件。顯然，上述那些方法不能保證連續(xù)切換之間的任何最小駐留時間。文獻(xiàn)[9]設(shè)計了一個具有時間約束的狀態(tài)依賴切換律，保證了連續(xù)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而，現(xiàn)有的大多數(shù)連續(xù)切換系統(tǒng)的方法和結(jié)果不能直接推廣到離散形式。因此，如何為離散切換系統(tǒng)設(shè)計一個具有駐留時間約束的狀態(tài)依賴切換律以實現(xiàn)控制目標(biāo)是一個復(fù)雜且困難的問題。受文獻(xiàn)[9]啟發(fā)，可看作是文獻(xiàn)[9]的平行結(jié)果。

鑒于以上考慮，本文的目的是為離散切換系統(tǒng)設(shè)計一個具有駐留時間約束的狀態(tài)依賴切換律。在所有子系統(tǒng)均不穩(wěn)定的情形下，設(shè)計的切換律和子系統(tǒng)控制器保證了切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和l2增益性能。本文主要貢獻(xiàn)如下：(1)設(shè)計的切換律具有慢切換和快切換的優(yōu)勢。(2) 不要求每個子系統(tǒng)穩(wěn)定，也不要求子系統(tǒng)矩陣乘以某些常數(shù)是穩(wěn)定的。(3)本文結(jié)果是現(xiàn)有結(jié)果關(guān)于狀態(tài)依賴切換或時間依賴切換的擴(kuò)展。

1 問題描述

考慮如下離散切換線性系統(tǒng)：

x(t+1)=Aσ(t)x(t)+B1,σ(t)ω(t)+B2,σ(t)u(t),x(0)=0；

z(t)=C1,σ(t)x(t)+D11,σ(t)ω(t)+D12,σ(t)u(t)。

(1)

式中：t=1,2,…；x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)；u∈Rp是控制輸入；ω∈Rq是屬于l2的外部擾動及z∈Rr是受控輸出。切換律σ(t)∈{1,2,…,N}°Ai,B1,i,B2,i,C1,i,D11,i,D12,i(i∈1,2,…,N)是適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣。假設(shè)切換系統(tǒng)(1)滿足一個最小駐留時間約束τh+1-τh≥T,T≥2, ?h=1,2,…,τ1,τ2,…是切換時刻。

本文的控制目標(biāo)是同時設(shè)計具有駐留時間約束的狀態(tài)依賴切換律和子系統(tǒng)控制器，得到保證系統(tǒng)(1)(ω=0)漸進(jìn)穩(wěn)定且具有l(wèi)2增益性能的充分條件。

2 切換穩(wěn)定性

針對每個子系統(tǒng)均不穩(wěn)定，設(shè)計一個混雜切換律仍能保證切換系統(tǒng)(1)(ω=0,u=0)的穩(wěn)定性。

首先給出一個在后面的定理中將用到的引理。

引理1[9,23]對于t∈[t0,tf]和tf-t0=δ, 有兩個對稱矩陣P1>0和P2>0, 使得

(2)

(3)

成立，則系統(tǒng)x(t+1)=Ax(t)的Lyapunov 函數(shù)V(t)=x′(t)P(t)x(t)。

(4)

基于引理1可以得到下面的結(jié)果：

(5)

(6)

(7)

成立，則在下一次發(fā)生切換時(t=τh+1)，切換律如下：

σ(t)=i， ?t∈[τh,τh+T) ，

(8)

ifσ(t)=i，?t>τh+T,如果x′(t)Pi,Kx(t)≤x′(t)Pj,0x(t),?j=1,2,…i-1,i+1,…,N，

(9)

否則，

(10)

能使具有駐留時間約束T≥2的系統(tǒng)(1)的標(biāo)稱系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

Pσ(t)(t)=

(11)

對于t∈[τh,K,τh+1,0), 可知V(t)=x′(t)Pi,Kx(t),x(t+1)=Aix(t)及

x′(t)Pi,Kx(t)≤x′(t)Pj,0x(t), ?j=1,2,…，i-1,i+1,…,N。

(12)

因此

(13)

則條件(7)保證了ΔV(t)<0,x(t)≠0,t∈[τh,K,τh+1,0)。

對t∈[τh,k,τh,k+1), 基于引理1，條件(5)和(6), 可得ΔV(t)<0,t∈[τh,k,τh,k+1)。 此外， 由切換律 (8)～(10), 可以發(fā)現(xiàn) Lyapunov 函數(shù)在切換點處是非增長的。因此系統(tǒng)(1)的標(biāo)稱系統(tǒng)x(t+1)=Aσ(t)x(t)在切換律(8)～(10)下漸進(jìn)穩(wěn)定，定理得證。

3 l2增益

本小節(jié)將給出系統(tǒng)(1)(u(t)=0)的漸進(jìn)穩(wěn)定性和l2增益性能

(14)

(15)

(16)

則系統(tǒng)(1)(u(t)=0)在具有駐留時間約束T≥2的切換律(8)～(10)下漸進(jìn)穩(wěn)定且具有l(wèi)2增益性能。

證明如下不等式是等價的。

ΔV(t)+z′(t)z(t)-γ2ω′(t)ω(t)<0,

(17)

(18)

其中P(t)如(11)所示,A,B,C,D如(1)所示。

類似定理1的證明，在駐留時間內(nèi)，條件(14)和(15)保證了(18)成立。在駐留時間之后和下次切換發(fā)生前，由條件(16)可得(18)。此外，根據(jù)切換律(8)～(10)可知Lyapunov函數(shù)在切換點處是非增長的。因此，條件(14)～(16)和切換律(8)～(10)共同保證了系統(tǒng)(1)(u(t)=0)漸進(jìn)穩(wěn)定且具有l(wèi)2增益性能。定理得證。

(19)

(20)

(21)

則系統(tǒng)(1)(u(t)=0)在具有駐留時間約束T≥2的切換律(8)～(10)下漸進(jìn)穩(wěn)定且具有l(wèi)2增益性能。

證明由(11)中Pσ(t)(t)的形式，有

Qσ(t)(t)=

(22)

顯然如下條件等價

ΔV(t)+z′(t)z(t)-γ2ω′(t)ω(t)<0,

(23)

(24)

(25)

其中Q(t)=P-1(t)。

在駐留時間內(nèi)，矩陣Qσ(t)(t)從Qi,k線性變化到Qi,k+1, 則將Qi,k和Qi,k+1分別代入(25)可得到條件(19)和(20)。

(26)

由Schurs補(bǔ)可知(26)與(21)等價。證畢。

推論1給出了穩(wěn)定性和H∞性能的另一個充分條件。由于這些條件能導(dǎo)致凸條件，因此適用于狀態(tài)反饋控制器設(shè)計。

4 狀態(tài)反饋

設(shè)計狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kσ(t)(t)x(t),其中時變控制器增益Ki(t)是待求的。

(27)

結(jié)合系統(tǒng)(1)和控制器(27), 有如下閉環(huán)切換系統(tǒng)

x(t+1)=(Aσ(t)+B2,σ(t)Kσ(t)(t))x(t)+B1,σ(t)ω(t),x(0)=0，

z(t)=(C1,σ(t)+D12,σ(t)Kσ(t)(t))x(t)+D11,σ(t)ω(t),

(28)

應(yīng)用推論1，分別用Ai+B2,iKi(t)和C1,i+D12,iKi(t)代替Ai和C1,i, 有下面的結(jié)果。

(29)

(30)

(31)

則在具有駐留時間約束T≥2的切換律(8)～(10)和控制器(27)下，系統(tǒng)(1)漸進(jìn)穩(wěn)定且具有l(wèi)2增益性能，其中

Ki(t)=

(32)

證明選擇

Yσ(t)(t)=

(33)

則由Yi(t)=Ki(t)Qi(t)可得結(jié)果。證畢。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計了一個混雜切換律，該切換律保證了閉環(huán)切換系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定且具有l(wèi)2增益性能。當(dāng)駐留時間趨于零時，本文的方法就退化為最小切換，故所提方法為離散切換系統(tǒng)的分析提供了更一般的框架。