王 雄，高英山，張順琦，薛 婷，陳 敏

(1.榆林學(xué)院 能源工程學(xué)院，陜西 榆林 719000；2.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200444；3.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 720071;4.西交利物浦大學(xué) 電子系，江蘇 蘇州 215123)

功能梯度材料(functionally graded materials,FGM)是一種多相材料，由基體和增強(qiáng)體構(gòu)成，且各個(gè)組成成分可以沿某一方向連續(xù)變化，各組成成分的含量變化具有一定的可設(shè)計(jì)性，易獲得質(zhì)量輕、強(qiáng)度高、隔熱性能好的結(jié)構(gòu)形式[1]，其內(nèi)部沒有明顯的界面分層問題，還具有良好的機(jī)械和熱力學(xué)性能[2]，因此廣泛應(yīng)用于航空航天、電子工程[3]以及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。在1991年碳納米管(carbon nanotube,CNT)被發(fā)現(xiàn)[4]。Shen[5]首次提出將梯度形式分布的CNT與基體材料結(jié)合，形成剛度高、重量輕、熱機(jī)性能好的功能梯度材料，具有巨大的應(yīng)用前景[6]。

Yas等[7]使用Timoshenko梁理論分析了在移動荷載作用下的線性連續(xù)均勻CNT復(fù)合材料梁的振動特性。Lei等[8]研究了CNTs/FG 板的屈曲行為，研究表明臨界屈曲載荷隨CNTs 體積分?jǐn)?shù)的增加迅速提升。賀丹等[9]采用一階剪切變形(first-order shear deformation,FOSD)理論和哈密頓原理研究了適用于CNT功能梯度板的自振模型。姚小虎等[10]采用有限元法分別對單壁碳納米管的軸壓屈曲行為，后屈曲行為進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。在非線性建模方面，Shen[11]提出了一種二階攝動方法，研究了在熱環(huán)境下受橫向均勻或正弦載荷作用的簡支功能梯度CNT增強(qiáng)復(fù)合材料板的非線性彎曲問題；Ke等[12]分析了CNTs/FG板的非線性自由振動問題，發(fā)現(xiàn)CNTs 能夠有效的增加結(jié)構(gòu)剛度。Zhang等[13]采用弧長迭代法和修正Newton-Raphson法得到了FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板的非線性響應(yīng)。既有基于FOSD變形理論[14-15]也有基于高階剪切變形(high-order shear deformation,HOSD)理論[16]建立非線性模型，對帶有壓電片的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板進(jìn)行了分析。以上模型都是基于馮卡門非線性，只能用于小轉(zhuǎn)角的薄壁結(jié)構(gòu)非線性分析。在Kreja等給出薄壁復(fù)合結(jié)構(gòu)大轉(zhuǎn)角幾何全非線性分析方法后，Zhang等[17-18]采用大轉(zhuǎn)角板殼理論對復(fù)合薄壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了建模和分析。此外有很多綜述方面的文章對CNT方面的研究方向和內(nèi)容進(jìn)行了綜述[19-20]。

通過文獻(xiàn)調(diào)研可知，對CNT梯度增強(qiáng)薄壁結(jié)構(gòu)發(fā)生大轉(zhuǎn)角大變形的研究幾乎沒有。為此，本文基于Reissner-Mindlin板殼假設(shè)，建立FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板的大變形幾何非線性有限元模型。首先將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，驗(yàn)證模型的正確性；然后對FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板進(jìn)行非線性分析；最后，研究CNT不同的分布形式及CNT增強(qiáng)角度對FG-CNT和帶有壓電片的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板剛度的影響。

1 FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板非線性有限元模型

FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板由CNT與各向同性的聚合物基體組成。根據(jù)廣義混合分布模型，F(xiàn)G-CNT增強(qiáng)復(fù)合板的等效材料參數(shù)可以表示為

(1)

(2)

(3)

本文主要考慮四種不同的CNT分布類型，即均勻分布、V型分布、O型分布和X型分布，分別用FG-U，F(xiàn)G-V，F(xiàn)G-O，F(xiàn)G-X表示，如圖1所示。

圖1 不同分布類型下CNT增強(qiáng)復(fù)合板橫截面圖Fig.1 Cross section of CNT-FG structures of four typical distributions

FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板中的CNT體積分?jǐn)?shù)與分布形式有關(guān)

(4)

(5)

ρ=VCNTρCNT+Vmρm

(6)

基于FOSD變形假設(shè)，F(xiàn)G-CNT增強(qiáng)梯度板拉格朗日幾何全非線性應(yīng)變表達(dá)式為

(7)

(8)

式(5)和式(6)中各應(yīng)變分量為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中，

C66=G12,C44=κG23,C55=κG13

(14)

t+Δt時(shí)刻的應(yīng)變由t時(shí)刻應(yīng)變和無窮小時(shí)間步增量應(yīng)變的總和

t+Δtε=tε+Δε,

(15)

同樣的t+Δt時(shí)刻的位移可以表示為

t+Δtu=tu+Δu。

(16)

在t+Δt時(shí)刻結(jié)構(gòu)動能、結(jié)構(gòu)內(nèi)功和外功虛功可以表示為

(17)

(19)

t+ΔtδT-t+ΔtδWint+t+ΔtδWext=0

(20)

可獲得非線性的有限元方程

(21)

式中：tMuu，tKuu分別為質(zhì)量矩陣、剛度矩陣；Fue,tFuu分別為外力向量和平衡力向量；q為節(jié)點(diǎn)位移向量；左上標(biāo)t為變量處于當(dāng)前時(shí)刻。求解過程可以參考Zhang等的研究。

2 非線性仿真分析

2.1 FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板結(jié)構(gòu)及參數(shù)

本文中的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板有聚合物基體和CNT增強(qiáng)體構(gòu)成，這兩種材料在室溫下的參數(shù)如表1所示，認(rèn)為G12=G23=G13。本文中CNT體積分?jǐn)?shù)以及與之對應(yīng)的效能參數(shù)ηi(i=1,2,3)如表2所示。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Elastic properties of CNT and matrix

表2 不同的CNT體積分?jǐn)?shù)對應(yīng)的效能參數(shù)Tab.2 Efficiency parameters of different CNT volume fraction

2.2 模型驗(yàn)證

通過與文獻(xiàn)[21]中四邊簡支(SSSS)的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板前六階無量綱化頻率，ω*=ω(b2/h)(ρm/Em)1/2，比較來驗(yàn)證本文模型；板的長、寬、高分別用a,b,h表示，這里a=b=40 mm，h=2 mm，采用10×10的網(wǎng)格劃分，8節(jié)點(diǎn)2次矩形單元，數(shù)據(jù)比較結(jié)果如表3所示。通過表3我們可以看出仿真數(shù)據(jù)與參考數(shù)據(jù)的差別小于3.308%，由此可以看出本文中的模型可以正確計(jì)算板殼問題。

表3 FG-CNT板無量綱化頻率數(shù)據(jù)對比(a/h=20)Tab.3 Comparison of non-dimensional frequency parameters of FG-CNT plate(a/h=20)

2.3 非線性仿真

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形時(shí)，線性仿真已不能準(zhǔn)確反映其變形，因此需要用非線性理論來仿真，獲取與實(shí)際變形較貼合的結(jié)果。為了能夠很好的觀察非線性，對a=b=40 mm，h=2 mm四種CNT分布的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板施加5 MPa壓力，網(wǎng)格劃分和單元類型同上，利用本模型計(jì)算得到的非線性與線性結(jié)果對比如圖2所示。

圖2 中心線位移圖Fig.2 Displacements of central line

從圖2(a)中可以看出，對CNT體積分?jǐn)?shù)相等的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板施加相同的力，非線性位移較線性小，不同分布之間的位移大小關(guān)系為FG-O>FG-V>FG-U>FG-X，即相同的CNT體積分?jǐn)?shù)，X型的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板的剛度最大，O型的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板的剛度最小，從另一個(gè)角度來說就是CNT的分布集中在板的兩表面時(shí)比集中在中間時(shí)的剛度大。隨著CNT體積分?jǐn)?shù)的增加，同種分布的FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板的剛度逐漸增大，這個(gè)可以從圖2(b)中看出。

圖3 中心點(diǎn)位移Fig.3 Displacements of central point

2.4 帶有壓電片的FG-CNT復(fù)合板仿真

在一些情況下需要在FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板上下兩側(cè)貼上壓電片(PZT)，這里采用的是楊氏模量Y為63 GPa，泊松比υm為0.28的G-1195壓電片。這里壓電FG-CNT板長寬為的a=b=40 mm，壓電片的厚度為0.2 mm，CNT功能梯度增強(qiáng)層的厚度為2 mm。示意圖如圖4所示。

圖4 簡支壓電板Fig.4 Simply supported piezoelectric plate

從圖5中可以看出，隨著角度逐漸增大，中心點(diǎn)位移先是逐漸減小，45°達(dá)到最小值，即此時(shí)板的剛度最大；隨著CNT增強(qiáng)角度繼續(xù)增大，位移逐漸增大，且其位移關(guān)于角度為45°時(shí)對稱。

圖5 CNT增強(qiáng)角度對板中心點(diǎn)位移的影響Fig.5 The effect of CNT reinforcement orientation on the displacements of plate central point

3 結(jié) 論

基于Reissner-Mindlin板殼假設(shè)建立了復(fù)合板的大轉(zhuǎn)角大變形幾何非線性有限元模型。通過計(jì)算和分析CNT不同的分布形式、體積率和結(jié)構(gòu)尺寸，得到如下結(jié)論:

(1) 研究CNT體積率和四種不同CNT分布方式對FG-CNT增強(qiáng)復(fù)合板剛度的影響，表明結(jié)構(gòu)剛度隨著CNT體積率的增加而增大；CNT體積率相同時(shí)，四種CNT分布方式板的剛度關(guān)系為FG-X>FG-U>FG-V>FG-O。

(2) 對于相同的CNT體積率和分布方式，在相同的載荷條件下，非線性建模方法得出的結(jié)果總是小于線性結(jié)果，且大轉(zhuǎn)角非線性結(jié)果比馮卡門非線性的小。

(3)以四邊鉸支的方形板為例，研究CNT增強(qiáng)角度對板的剛度的影響，CNT增強(qiáng)角度為45°時(shí)，板的剛度最強(qiáng)，在線性和非線性時(shí)都得到驗(yàn)證。