趙一男，公茂盛，左占宣，高艷濱

(中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所 中國(guó)地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080)

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)是目前土木工程領(lǐng)域重要研究方向，而結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)的核心。結(jié)構(gòu)損傷表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的變化(如剛度降低)，或由此導(dǎo)致的模態(tài)參數(shù)的變化(如頻率下降)，因此通過對(duì)損傷前后的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)或模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別可以判斷損傷位置和損傷程度。損傷識(shí)別方法一般分為確定性方法和不確定性方法[1-2]，實(shí)際工程中，由于結(jié)構(gòu)本身屬性復(fù)雜、環(huán)境噪聲[3]等不確定性因素影響，使得采用基于頻率、振型等確定性方法[4-5]識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷的準(zhǔn)確性和可靠性降低。于是學(xué)者們發(fā)展確定性方法的同時(shí)提出了不確定性方法，而基于貝葉斯估計(jì)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法因?yàn)榭梢院芎玫亟忉寭p傷識(shí)別過程中所存在的不確定性，成為目前廣受關(guān)注和應(yīng)用的不確定性方法之一。

早在1989年，Beck[6]基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)框架提出了一種系統(tǒng)識(shí)別方法，并明確指出了識(shí)別過程中存在不確定性?；谪惾~斯估計(jì)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別可以給出結(jié)構(gòu)參數(shù)后驗(yàn)聯(lián)合概率分布，通過求解參數(shù)后驗(yàn)邊緣概率分布和最優(yōu)估計(jì)值判斷損傷位置和損傷程度，求解后驗(yàn)聯(lián)合概率分布通常需要積分運(yùn)算，但實(shí)際情況中，結(jié)構(gòu)參數(shù)的后驗(yàn)聯(lián)合概率分布是復(fù)雜的、高維的，很難通過直接積分求解邊緣概率分布和最優(yōu)估計(jì)值[7]。為解決這一問題，Hastings等[8-11]提出和選擇馬爾可夫蒙特卡羅(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)抽樣方法，通過在概率空間中隨機(jī)抽樣來逼近參數(shù)的后驗(yàn)分布[12]。但實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，MCMC算法仍存在抽樣收斂速度慢，不能求解高維概率分布等問題，為此Haario等[13]提出了自適應(yīng)Metropolis算法，提高了傳統(tǒng)MCMC算法的收斂速度，并指出合理選擇提議分布是算法收斂的關(guān)鍵，之后又對(duì)自適應(yīng)Metropolis算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了逐分量自適應(yīng)Metropolis(single component adaptive Metropolis，SCAM)算法，該算法可以有效求解高維問題[14]。Simoen等[15]利用SCAM算法對(duì)7層結(jié)構(gòu)的損傷進(jìn)行了識(shí)別，表明了SCAM算法的實(shí)用性，但SCAM算法的提議分布方差序列不滿足馬爾可夫性質(zhì)，特別是當(dāng)選取的抽樣參數(shù)初始值與要識(shí)別的真實(shí)值相差較大且提議分布方差較小時(shí)，抽樣效率低、易生成重復(fù)樣本序列，從而導(dǎo)致結(jié)果誤差較大[16]。

盡管如此，SCAM算法仍然是目前解決貝葉斯估計(jì)中求解高維邊緣概率分布的常用方法，廣泛地應(yīng)用于基于貝葉斯估計(jì)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。本文首先針對(duì)SCAM算法的不足，重新定義了提議分布方差計(jì)算式，給出了改進(jìn)的SCAM算法，進(jìn)一步提高了抽樣效率和計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性。然后利用貝葉斯理論給出結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的后驗(yàn)聯(lián)合概率分布，再結(jié)合改進(jìn)的SCAM算法求解結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的后驗(yàn)邊緣概率密度分布和最優(yōu)估計(jì)值，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行識(shí)別和評(píng)估。最后通過對(duì)一個(gè)4層數(shù)值結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了識(shí)別，驗(yàn)證了本文所提出算法的有效性和可靠性。

1 基本理論與方法改進(jìn)

1.1 結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別貝葉斯方法

對(duì)于Nθ個(gè)自由度的工程結(jié)構(gòu)，根據(jù)最大熵原理，結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)θ服從伽瑪分布，記θ～Γ(α,β)，表達(dá)式為

(1)

式中：θMPE為振動(dòng)測(cè)試前結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)極大先驗(yàn)估計(jì)值；α為形狀因子；β為逆尺度因子。α,β與參數(shù)θ的數(shù)學(xué)期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ有關(guān)，分別由式(2)和式(3)確定

(2)

(3)

式中，cvi為變異系數(shù)。

(4)

(5)

根據(jù)貝葉斯公式，可以求得基于實(shí)測(cè)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)θ的后驗(yàn)聯(lián)合概率密度函數(shù)

(6)

式中，C為標(biāo)準(zhǔn)化常量，保證后驗(yàn)概率密度函數(shù)在定義域內(nèi)積分為1。通過式(6)即可得到結(jié)構(gòu)參數(shù)θ的后驗(yàn)概率分布和最優(yōu)估計(jì)值。

1.2 SCAM抽樣算法及改進(jìn)

為了求解式(6)后驗(yàn)聯(lián)合概率分布的邊緣分布，Haario等提出的逐分量自適應(yīng)Metropolis算法是目前較為有效的一種抽樣方法，得到了較為廣泛地應(yīng)用。但在SCAM算法中，當(dāng)前狀態(tài)下提議分布方差并不只由上一狀態(tài)的樣本候選值決定，而是由之前所有狀態(tài)的樣本候選值共同決定，這樣生成的隨機(jī)樣本序列將不再滿足馬爾可夫鏈無后效性，不能完全保證樣本序列收斂，會(huì)生成大量病態(tài)樣本，導(dǎo)致結(jié)果誤差較大，因此提議分布的方差直接影響算法收斂性。

研究表明，無論提議分布方差過大還是過小都會(huì)導(dǎo)致算法抽樣效率變低，所得最終結(jié)果較不可靠。所以必須選擇合適的提議分布方差使得馬爾可夫鏈穩(wěn)定。在提議分布為正態(tài)分布的多維問題中，Roberts等[17-20]給出了1～10維情況下的最優(yōu)接受率取值，且證明當(dāng)維度逐漸增加時(shí)，最優(yōu)接受率逐漸減小并趨近于0.234。因此，算法改進(jìn)的核心問題在于如何合適地調(diào)整提議分布方差，使得抽樣過程的接受率收斂到最優(yōu)接受率。

根據(jù)上述分析及最優(yōu)接受率取值，本文對(duì)SCAM算法中的提議分布方差進(jìn)行重新定義，改進(jìn)了SCAM算法。新的提議分布方差由式(7)確定

νt=νt-1(1+α(Xt-1,z)-αOAR)2

(7)

式中：νt為t+1時(shí)刻提議分布方差；αOAR為最優(yōu)接受率;α(Xt-1,z)為樣本值為Xt-1，候選值為z時(shí)的接受率。由式(7)可知，若取αOAR≈0.234，則α(Xt-1,z)-αOAR∈[-0.234,0.766]，下一狀態(tài)的提議分布方差取值范圍為νt∈[0.7662νt-1,1.7662νt-1]。當(dāng)α(Xt-1,z)≤αOAR時(shí),νt會(huì)減小到0.7662νt-1～νt-1；當(dāng)α(Xt-1,z)>αOAR時(shí)，νt會(huì)增大到νt-1～1.7662νt-1，隨著迭代步數(shù)增加不斷調(diào)節(jié)提議分布方差的數(shù)值，使得接受率趨近于最優(yōu)。此外，為防止提議分布方差過大或過小，可將其限制在合理區(qū)間內(nèi)。這樣對(duì)提議分布方差改進(jìn)后，SCAM算法在實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)性同時(shí)，也使得抽樣樣本序列滿足馬爾可夫鏈無后效性。改進(jìn)的SCAM算法計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)的SCAM算法流程圖Fig.1 Flow chart of improved SCAM algorithm

1.3 算法驗(yàn)證

本文建立了一個(gè)抽樣算例，對(duì)二維隨機(jī)向量{x1,x2}獨(dú)立同分布于α=6，β=1的伽瑪分布進(jìn)行隨機(jī)抽樣，峰值點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為標(biāo)準(zhǔn)值，對(duì)改進(jìn)的SCAM算法可靠性進(jìn)行驗(yàn)證。

二維隨機(jī)向量{x1,x2}聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(8)

初始向量值選擇[40,40]，初始提議分布方差取[0.1,0.1]，迭代步數(shù)定為10 000步，“burn-in”階段步數(shù)定為1 500步，分別用SCAM算法和本文改進(jìn)的SCAM算法對(duì)式(8)進(jìn)行隨機(jī)抽樣。

隨機(jī)變量x1的馬爾可夫鏈歷史路徑圖如圖2所示，可以看出原始SCAM算法在“burn-in”階段的接受率較高，而在“burn-in”階段之后的接受率較低，出現(xiàn)大量重復(fù)樣本，馬爾可夫鏈穩(wěn)定性較差。原因在于SCAM算法“burn-in”階段的提議分布方差為固定值，如果選擇不合理，計(jì)算效率將大大降低，“burn-in”階段之后的提議方差不滿足馬爾可夫鏈無后效性，計(jì)算結(jié)果誤差較大。本文改進(jìn)后SCAM算法的提議分布方差一直受接受率的影響而不斷調(diào)整，使得馬爾可夫鏈具有較好的穩(wěn)定性，即使選擇的初始值與標(biāo)準(zhǔn)值相差較大也可以很快達(dá)到收斂。圖3為上述兩種算法所得隨機(jī)變量x1的累計(jì)均值圖，可以看出，改進(jìn)的SCAM算法收斂速度明顯快于SCAM算法，SCAM算法在2 500步左右出現(xiàn)收斂趨勢(shì)，而改進(jìn)的SCAM算法則在500步左右就能達(dá)到收斂。圖4給出了運(yùn)用上述兩種算法進(jìn)行隨機(jī)抽樣所得隨機(jī)變量x1樣本邊緣概率密度曲線與理論邊緣概率密度曲線的對(duì)比情況，從圖中可以看出SCAM算法得到的樣本概率密度曲線與理論概率密度曲線差別較大，而改進(jìn)的SCAM算法得到的樣本概率密度曲線與理論概率密度曲線基本吻合。

圖4 隨機(jī)變量x1樣本邊緣概率密度曲線與理論邊緣概率密度曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of the sample and theoretical marginal probability density curves of random variable x1

圖3 隨機(jī)變量x1累計(jì)均值隨迭代步數(shù)變化趨勢(shì)Fig.3 Variation trend of the cumulative mean of random variable x1 with the number of iteration steps

圖2 隨機(jī)變量x1馬爾可夫鏈路徑圖Fig.2 Path diagram of the Markov chain of random variable x1

綜上所述，本文改進(jìn)的SCAM算法克服了原始SCAM算法存在的不足，具有較高的抽樣效率和可靠性。

2 結(jié)構(gòu)識(shí)別算例

2.1 結(jié)構(gòu)數(shù)值模型

考慮到土木工程結(jié)構(gòu)的損傷大多為累積損傷，建立了一個(gè)4層剪切型結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，假定了多個(gè)損傷狀態(tài)，如圖5所示，對(duì)該模型在多次累積損傷狀態(tài)下的物理參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)見表1，損傷狀態(tài)S0～S4見表2，損傷程度依次為S0

表2 損傷狀態(tài)表Tab.2 Damage cases

表1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Structural parameters

圖5 四層結(jié)構(gòu)模型Fig.5 4-story structure model

算例中，假定各損傷狀態(tài)下的阻尼比ζ均為0.05，各層質(zhì)量m不變，待識(shí)別的物理參數(shù)只有結(jié)構(gòu)各層剛度θ(k)=[k1,k2,k3,k4]。各層剛度參數(shù)變異系數(shù)取0.2，以保證先驗(yàn)分布平滑且分布較寬，通過式(6)確定剛度參數(shù)的后驗(yàn)聯(lián)合概率分布。對(duì)結(jié)構(gòu)基底施加峰值加速度為0.05g的白噪聲激勵(lì)，采用Newmark-β法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，將各層加速度響應(yīng)作為觀測(cè)值，并分別對(duì)無噪聲、5%噪聲和10%噪聲三種噪聲水平下的各工況層間剛度進(jìn)行識(shí)別。初始剛度參數(shù)極大先驗(yàn)估計(jì)值取S0損傷狀態(tài)剛度參數(shù)理論值，后續(xù)各狀態(tài)剛度參數(shù)的極大先驗(yàn)估計(jì)值取上一狀態(tài)的極大后驗(yàn)估計(jì)值，通過式(6)求得剛度參數(shù)后驗(yàn)分布，最后利用圖1的計(jì)算流程，結(jié)合改進(jìn)的SCAM算法，對(duì)各層剛度參數(shù)進(jìn)行逐分量抽樣，求得剛度參數(shù)后驗(yàn)邊緣概率分布，并取剛度參數(shù)后驗(yàn)邊緣概率密度曲線峰值點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為最優(yōu)估計(jì)值。

2.2 識(shí)別結(jié)果分析

本文采用改進(jìn)的SCAM算法計(jì)算剛度參數(shù)的后驗(yàn)邊緣概率分布，各損傷狀態(tài)下各層剛度參數(shù)后驗(yàn)邊緣概率分布如圖6所示。本文只給出了5%噪聲水平下的剛度參數(shù)邊緣概率分布，無噪聲和10%水平噪聲下的識(shí)別結(jié)果與之類似，不再給出。圖中可以清晰地看出結(jié)構(gòu)各損傷狀態(tài)下各層剛度參數(shù)的后驗(yàn)概率分布和最優(yōu)估計(jì)值隨損傷程度增加的變化情況。

圖6 各損傷狀態(tài)下各層剛度參數(shù)邊緣概率分布(5%噪聲)Fig.6 Marginal probability distribution of stiffness parameters of each story ineach damage cases (noise level 5%)

各層剛度參數(shù)理論值和最優(yōu)估計(jì)值變化趨勢(shì)如圖7所示，從圖中可以看出，各層剛度參數(shù)識(shí)別值變化趨勢(shì)與理論值變化趨勢(shì)基本一致，說明本文改進(jìn)的SCAM算法具有較高的計(jì)算準(zhǔn)確性。圖8給出了不同噪聲水平下各損傷狀態(tài)的各層剛度參數(shù)極大后驗(yàn)估計(jì)值與理論值的相對(duì)誤差。由圖可知，無噪聲下相對(duì)誤差在±4%以內(nèi)；5%噪聲下相對(duì)誤差在±5%以內(nèi),10%噪聲下相對(duì)誤差在±6%以內(nèi)。本文所提方法不僅對(duì)中等損傷和大損傷(如損傷30%，50%)識(shí)別效果較好，而且對(duì)小損傷(損傷5%)的識(shí)別效果同樣可以接受。從整體上看，隨著噪聲水平的增加，識(shí)別結(jié)果相對(duì)誤差存在增大的趨勢(shì)，但在土木工程中仍在可接受范圍內(nèi)。

圖8 各損傷狀態(tài)下各層剛度參數(shù)相對(duì)誤差Fig.8 Relative errors of the stiffness parameters of each story foreach damage case

圖7 各層剛度參數(shù)理論值與最優(yōu)估計(jì)值變化趨勢(shì)對(duì)比Fig.7 Comparison of the variation trends between the theoretical value and the optimal value of the stiffness parameters of each story

圖9給出了各損傷狀態(tài)下各層剛度后驗(yàn)變異系數(shù)變化趨勢(shì)，變異系數(shù)越小表示識(shí)別結(jié)果不確定性越小，其可信度越高。在三種噪聲水平下，底層剛度后驗(yàn)變異系數(shù)普遍小于其他三層的剛度后驗(yàn)變異系數(shù)，但各層剛度后驗(yàn)變異系數(shù)均小于先驗(yàn)變異系數(shù)0.2，表明改進(jìn)方法有效性的同時(shí)，也表明基于貝葉斯估計(jì)結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別方法確實(shí)可以降低參數(shù)的不確定性。

圖9 各損傷狀態(tài)下各層剛度參數(shù)變異系數(shù)變化趨勢(shì)Fig.9 Variation trend of stiffness parameters variation coefficient of each story foreach damage case

該算例表明，基于改進(jìn)SCAM算法結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別貝葉斯方法具有較高的識(shí)別精度，能夠準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)物理參數(shù)及其變化,且具有較好的抗噪能力，驗(yàn)證了改進(jìn)的SCAM算法有效性和可靠性。

3 結(jié) 論

本文通過對(duì)SCAM算法中提議分布方差計(jì)算方法進(jìn)行重新定義，提出了改進(jìn)的SCAM算法，并通過理論分析和數(shù)值模擬算例對(duì)本文方法的有效性和可靠性進(jìn)行了驗(yàn)證。所得結(jié)果和結(jié)論如下：

(1)通過重新定義提議分布方差所改進(jìn)的SCAM算法，抽樣樣本序列所構(gòu)成的馬爾可夫鏈達(dá)到了平穩(wěn)分布，且沒有明顯的趨勢(shì)性和周期性，在提高計(jì)算準(zhǔn)確性的同時(shí)提高了計(jì)算效率。

(2)基于改進(jìn)SCAM算法的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別貝葉斯方法可以較好地識(shí)別結(jié)構(gòu)物理參數(shù)，得到物理參數(shù)的后驗(yàn)邊緣概率分布和最優(yōu)估計(jì)值，識(shí)別精度及效果良好，且具有較好的抗噪能力，該方法可以應(yīng)用于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別及損傷評(píng)估。

本文改進(jìn)的SCAM算法僅在基本理論、數(shù)值模擬中進(jìn)行了驗(yàn)證，作者下一步將對(duì)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行分析，進(jìn)一步驗(yàn)證方法的可靠性、有效性及實(shí)用性。