姜 嬌，孔祥希，羅園慶，許 琦，陳長征

(1.沈陽工業(yè)大學 機械工程學院，沈陽 110870；2.沈陽城市學院 智能工程學院，沈陽 110112)

原動機是機械設(shè)備中的重要驅(qū)動部分，是提供現(xiàn)代生產(chǎn)、生活中所需動力的主要來源，包括汽油機、柴油機、直流電動機、三相異步電動機、泵等。幾乎所有的原動機所能提供的動力均是有限的：汽油機、柴油機有它們所能提供的最大馬力；直流電動機、三相異步電動機不能長時間工作于超載狀態(tài)；泵等驅(qū)動機械同樣具有額定功率的限制。這些提供有限動力的原動機稱為非理想原動機。由于不平衡激勵的作用，原動機驅(qū)動機械系統(tǒng)在工作過程中將會產(chǎn)生振動，機械系統(tǒng)的振動必然會影響原動機的運動狀態(tài)；反過來，原動機運動狀態(tài)的改變必將影響機械系統(tǒng)的振動。這種充分考慮振動系統(tǒng)與非理想原動機相互作用的系統(tǒng)稱之為非理想振動系統(tǒng)[1]。但是，在很多對于非理想振動系統(tǒng)的研究中[2-3]，往往忽略原動機與振動系統(tǒng)的相互作用，沒有考慮原動機提供動力的限制，將其視為理想振動系統(tǒng)，這勢必對研究結(jié)果產(chǎn)生影響。

當充分考慮原動機系統(tǒng)與振動系統(tǒng)的相互作用時，由于原動機所提供的動力是有限的，原動機驅(qū)動的非理想振動系統(tǒng)會出現(xiàn)一種直接由共振前跳躍至共振后的非線性跳躍現(xiàn)象，稱之為Sommerfeld效應(yīng)[4]。近些年，已經(jīng)有很多國外學者對于非理想振動系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)的進行了相關(guān)研究工作。Bharti等[5]將直流電動機視為非理想原動機驅(qū)動的二自由度的單盤剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，并對其出現(xiàn)在兩個不同臨界轉(zhuǎn)速處的Sommerfeld效應(yīng)進行了研究。Bisoi等[6]對非理想直流電機驅(qū)動的懸臂梁單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)進行了分析。Sinha等[7]研究了非理想原動機-直流電動機驅(qū)動的曲柄滑塊機構(gòu)的動力學問題，并對其產(chǎn)生的Sommerfeld進行分析。Rocha等[8]對非理想原動機-直流電動機驅(qū)動的三自由度非線性振動系統(tǒng)的動力學問題進行了研究。Palacios等[9]研究了動力吸振系統(tǒng)與非理想系統(tǒng)耦合系統(tǒng)的動力學問題。Jaime等[10]研究了非理想直流電機驅(qū)動的非線性系統(tǒng)的動力學問題。此外，Kovriguine[11]對雙機驅(qū)動振動系統(tǒng)的自同步與Sommerfeld效應(yīng)問題進行了研究。Djanan等[12]對矩形板支撐的兩臺加速移動電機的自同步及Sommerfeld效應(yīng)問題進行了研究，以減小矩形板的振動。但是，國內(nèi)學者對于非理想振動系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)的研究還是較少的。易園園等[13]建立了三相異步電機-多級齒輪系統(tǒng)的機電耦合動力學模型，并對其沖擊載荷下的動態(tài)特性進行了研究，但并未對Sommerfeld效應(yīng)進行研究。張力豪等[14]對電機驅(qū)動轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行升速過臨界實驗，從其實驗結(jié)果可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅在臨界轉(zhuǎn)速之前平緩增大，而在轉(zhuǎn)速通過臨界轉(zhuǎn)速之后，振幅并不是平緩降低，而是突然急劇降低，發(fā)生了明顯非線性跳躍現(xiàn)象，即Sommerfeld效應(yīng)，但其并未對此現(xiàn)象進行深入研究。上述實驗結(jié)果在文獻[15-17]中也可以得到，但相關(guān)作者同樣并未對Sommerfeld效應(yīng)進行相關(guān)研究。

綜上所述，以上研究工作往往采用了簡單的直流電動機作為原動機，對直流電機驅(qū)動振動系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)進行了分析。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，采用復(fù)雜的三相異步電動機代替直流電動機，對三相異步電動機與振動系統(tǒng)間的相互作用進行分析。將三相異步電動機的模型引入到振動系統(tǒng)中，建立三相異步電動機驅(qū)動振動系統(tǒng)動力學模型，應(yīng)用所建模型，對三相異步電動機驅(qū)動振動系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)進行研究，為振動系統(tǒng)的動力設(shè)計與原動機的選型提供借鑒。

1 數(shù)學模型

圖1為所研究振動系統(tǒng)的機電耦合模型。如圖所示，一個剛體由一組彈簧和阻尼器支撐。一臺三相異步電動機帶動偏心轉(zhuǎn)子沿著逆時針方向轉(zhuǎn)動。僅僅考慮剛體在豎直方向的運動，用坐標y表示。

圖1 三相異步電動機驅(qū)動振動系統(tǒng)動力學模型Fig.1 Dynamic model of a vibration system driven by three-phase asynchronous motor

偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)心的坐標可表示為

(1)

(2)

式中:mb為剛體質(zhì)量;m1為偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量;J1為偏心轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量，包括三相異步電機的轉(zhuǎn)動慣量J01和偏心塊的轉(zhuǎn)動慣量，即J=J01+m1r2。

可以計算得到系統(tǒng)的勢能為

V=ky2/2

(3)

式中，k為彈簧y方向的剛度系數(shù)。

系統(tǒng)耗散函數(shù)D可表示為

(4)

式中:c為彈簧y方向的阻尼系數(shù)；c1為三相異步電機的阻尼系數(shù)。

根據(jù)Lagrange方程建立系統(tǒng)的振動微分方程

(5)

式中:qj為系統(tǒng)廣義坐標;Qj為廣義力。

對于圖1所示系統(tǒng)，廣義坐標向量為q=(yφ)T，廣義力向量為Q=(0Te)T，其中，Te為三相異步電機的電磁轉(zhuǎn)矩，可表示為[18]

(6)

式中:np為極對數(shù);U為相電壓;Rs為定子電阻;Rr為轉(zhuǎn)子電阻;ωs為同步角速度;Ω為機械角速度;L1s=Ls-Lm為定子漏感，L1r=Lr-Lm為轉(zhuǎn)子漏感，Ls為定子自感，Lr為轉(zhuǎn)子自感，Lm為互感系數(shù)。

將式(2)～式(4)代入式(5)，可以得到系統(tǒng)的振動微分方程為

(7)

由于電機轉(zhuǎn)速的波動遠遠小于平均轉(zhuǎn)速，因此可以忽略轉(zhuǎn)速波動，則式(7)變?yōu)?/p>

(8)

2 理論計算與穩(wěn)定性分析

2.1 理論計算

引入無量綱參數(shù)

則式(8)第一式變?yōu)?/p>

(9)

式(9)的解為

其中，

(11)

式中，To為電機的平均輸出轉(zhuǎn)矩。

(12)

將式(12)代入式(11)，可以得到關(guān)于ω的方程

(13)

可以看出，式(13)是關(guān)于ω的非線性高次超越方程，不能得到ω的解析解，需要通過數(shù)值方法計算ω的值。

2.2 穩(wěn)定性分析

下面研究解ω的穩(wěn)定性。設(shè)ω0是已求得的ω的解，ε為ω在ω0處的攝動量，則

(14)

將式(14)代入式(8)的第二個方程，并略去關(guān)于ε的高階小量，可以得到關(guān)于ε的攝動方程

(15)

其中，

η2mr2ζωnμ2(1+4μ2(ωn/ω0)2(2ζ2+(ωn/ω0)2-1))

式(15)可整理為

(16)

其中，

λ=ce-cL-c1

顯然，如果λ<0，ω=ω0的解是穩(wěn)定的；反之，ω=ω0的解是不穩(wěn)定的。

3 研究案例

本節(jié)對所研究的機電耦合系統(tǒng)進行分析，并基于Matlab/Simulink數(shù)值仿真對所提出理論方法的正確性進行驗證，最后分析偏心質(zhì)量及三相異步電動機功率對振動系統(tǒng)的影響規(guī)律。三相異步電動機參數(shù)以及振動系統(tǒng)參數(shù)分別如表1、表2所示。

表1 三相異步電動機參數(shù)Tab.1 Parameters of three-phase asynchronous motor

表2 振動系統(tǒng)參數(shù)Tab.2 Parameters of vibration system

3.1 理論分析與仿真驗證

選擇偏心質(zhì)量m1=1.3 kg，采用所提出的解析方法得到不同頻率下的機電耦合振動系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，如圖2所示。圖2(a)為電機轉(zhuǎn)速隨頻率的變化曲線，可以看出：隨著頻率的增加，電機的轉(zhuǎn)速并不是線性增大的；當供電頻率低于25 Hz或高于36 Hz時，隨著頻率的增加，電機轉(zhuǎn)速快速增加；而當25 Hz

圖2 振動系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=1.3 kg)Fig.2 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=1.3 kg

圖3為不同頻率條件下平均電磁與平均輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。由式(11)、式(12)可知，To與機體的振動有關(guān)，隨著轉(zhuǎn)速由0增加到100 rad/s，To先增大后減小，當機體共振時(ω≈ωn)，達到最大值。由式(6)可知電機的電磁轉(zhuǎn)矩與供電頻率和電機轉(zhuǎn)速均相關(guān)，當頻率不同時，電磁轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化情況不同。由式(13)可知，不同頻率條件下，Te與To的交點所對應(yīng)的橫坐標就是該頻率條件下的電機轉(zhuǎn)速。當f=33.8 Hz，34 Hz及34.2 Hz時，Te與To隨轉(zhuǎn)速的變化曲線存在三個交點，即轉(zhuǎn)速存在三個解，而通過所提出的穩(wěn)定性判據(jù)，中間解是不穩(wěn)定的，最終得到圖2所示結(jié)果。

下面從能量角度對產(chǎn)生Sommerfeld效應(yīng)的原因進行分析。作為典型的機電耦合系統(tǒng)，電機所提供的能量一部分用于維持電機的轉(zhuǎn)動，而另外一部分用于滿足機體振動所需的能量，當電機轉(zhuǎn)速遠遠小于機體固有頻率(ω<<ωn)時，機體振動所需能量較小，電機能量主要用于維持電機轉(zhuǎn)動，因此隨著頻率的增加，電機轉(zhuǎn)速線性增大，此時平均電磁轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線存在一個交點，如圖3(a)所示；當電機轉(zhuǎn)速接近于機體固有頻率時，機體振動所需能量大大增加，對電機轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響，隨著頻率的增加，電機轉(zhuǎn)速緩慢增加，此時平均電磁轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線存在三個交點，如圖3(b)所示；當電機轉(zhuǎn)速達到固有頻率時，機體振動所需能量達到最大，電機轉(zhuǎn)速出現(xiàn)尖點(A)，此時平均電磁轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線存在兩個交點；當供電頻率繼續(xù)增大，平均電磁轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線的交點直接跳躍至共振后，電機轉(zhuǎn)速迅速增大，機體振幅大大減小，機體所需能量大大減小，電機能量主要用于維持電機轉(zhuǎn)動，電機轉(zhuǎn)速隨著頻率的增大線性增加。

圖3 不同頻率條件下轉(zhuǎn)速-轉(zhuǎn)矩變化曲線(m1=1.3 kg)Fig.3 Speed-torques curves with different frequency for m1=1.3 kg

為了驗證所采用理論分析方法的正確性，基于Matlab/Simulink進行了仿真分析。為了保證仿真的準確性，采用Matlab/Simulink中的三相異步電動機模塊，采用V/F開環(huán)控制方式實現(xiàn)電機頻率的調(diào)節(jié)，電機頻率f由20 Hz變化至50 Hz，每1 Hz進行一次仿真計算，仿真時間均為10 s，最終得到電機與振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的平均轉(zhuǎn)速與幅值如圖2所示?？梢郧宄乜闯觯涸?5 Hz附近，電機轉(zhuǎn)速以及振動系統(tǒng)的幅值均出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象；而在其他頻率范圍內(nèi)，仿真結(jié)果與解析計算結(jié)果也是完全一致的。圖4為電機轉(zhuǎn)速、振動系統(tǒng)位移響應(yīng)及電機的電磁轉(zhuǎn)矩、負載轉(zhuǎn)矩隨時間的變化曲線。仿真時間為10 s，電機轉(zhuǎn)速由0啟動，當t=5 s時，f由34 Hz增加到35 Hz。由圖4(a)轉(zhuǎn)速隨時間的變化曲線可知，當t=2 s時，轉(zhuǎn)速達到了穩(wěn)定狀態(tài)，但是由于機體是振動的，因此電機轉(zhuǎn)速不是常數(shù)而是波動的，但波動幅度與平均轉(zhuǎn)速相比較是非常小的，因此在理論分析中忽略電機轉(zhuǎn)速的波動是合理的；當f由34 Hz增加到35 Hz時，由于頻率的突然變化，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)波動，而當轉(zhuǎn)速再次達到穩(wěn)定時，電機的轉(zhuǎn)速不是緩慢增加的，而是由約60 rad/s跳躍至70 rad/s，明顯出現(xiàn)了非線性跳躍現(xiàn)象，再次說明了理論分析方法的正確性。電機轉(zhuǎn)速由60 rad/s跳躍至70 rad/s，跳過共振點，機體響應(yīng)的幅值迅速減小，如圖4(b)所示。電機負載轉(zhuǎn)矩與機體響應(yīng)的變化是一致的，幅值的減小，電機的負載轉(zhuǎn)矩的波動也相應(yīng)的減小，如圖4(c)所示。此外，從共振區(qū)跳躍至共振后，平均負載轉(zhuǎn)矩也有所減小，因此，電機提供的電磁轉(zhuǎn)矩也相應(yīng)的減小。對比理論計算與仿真分析的結(jié)果可以充分說明所提出的理論計算方法是正確的。

圖4 振動系統(tǒng)瞬時響應(yīng)曲線(m1=1.3 kg)Fig.4 Transient responses curves of vibration system for m1=1.3 kg

3.2 參數(shù)影響

通過上面的分析可知，振動系統(tǒng)的運動狀態(tài)是由電機所能提供的能量與系統(tǒng)運動所需的能量之間的相互關(guān)系決定的。當電機所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩不滿足系統(tǒng)運動所需轉(zhuǎn)矩時，系統(tǒng)出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)。下面，分析偏心質(zhì)量與電機功率對系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響規(guī)律。

首先，分析偏心質(zhì)量對系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響。當偏心質(zhì)量較小時(m1=1 kg)，電機運動狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)如圖5所示。由于偏心質(zhì)量較小，系統(tǒng)振動對電機運動狀態(tài)的影響較小，與η=0(即m1=0 kg)相比較，電機轉(zhuǎn)速僅僅在共振區(qū)附近略有降低，不會出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)，如圖5(a)所示。電機運動狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)相互作用，相互影響，系統(tǒng)響應(yīng)同樣不會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，如圖5(b)所示。圖5(c)更清晰地表明，在不同的頻率條件下，電機轉(zhuǎn)速的值是唯一的且穩(wěn)定的。當偏心質(zhì)量較大時(m1=2 kg)，電機運動狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)如圖6所示。由圖6(a)可知：當f<36 Hz時，電機轉(zhuǎn)速存在唯一穩(wěn)定解；而當f>36 Hz時，電機轉(zhuǎn)速存在三個不同的解，且有兩個穩(wěn)定解，根據(jù)圖6(c)判斷，其中一個穩(wěn)定轉(zhuǎn)速始終低于系統(tǒng)固有頻率，而另外一個穩(wěn)定轉(zhuǎn)速大于系統(tǒng)固有頻率且隨著頻率的增加迅速增大。振動系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，如圖6(b)所示。由于偏心質(zhì)量較大，系統(tǒng)通過共振區(qū)，需要更大的能量，電機功率略有不足，施加適當?shù)臈l件，轉(zhuǎn)速與系統(tǒng)響應(yīng)將會直接跳過系統(tǒng)固有頻率，即出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)。由圖7可以看出，繼續(xù)增加偏心質(zhì)量(m1=3 kg)時，電機運動狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)隨頻率的變化規(guī)律與m1=2 kg時相似，僅僅是轉(zhuǎn)速出現(xiàn)多解的頻率有所增大，當頻率大于多解所對應(yīng)的臨界頻率時，系統(tǒng)有出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)的可能性。由上述結(jié)果可以推測，當偏心質(zhì)量增大到一定值時，電機轉(zhuǎn)速將始終低于固有頻率，系統(tǒng)將不能通過共振區(qū)。當偏心質(zhì)量增加到m1=6 kg時，電機功率完全不能滿足系統(tǒng)通過共振區(qū)的要求，電機轉(zhuǎn)速始終低于系統(tǒng)固有頻率，如圖8所示。

圖5 振動系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=1 kg)Fig.5 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=1 kg

圖6 振動系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=2 kg)Fig.6 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=2 kg

圖7 振動系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=3 kg)Fig.7 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=3 kg

圖8 振動系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=6 kg)Fig.8 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=6 kg

接下來，分析電機功率對振動系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響。選擇偏心質(zhì)量m1=6 kg，由圖8可知，當P=0.2 kW時，電機轉(zhuǎn)速將始終低于固有頻率，系統(tǒng)將不能越過共振區(qū)。下面，分別選擇P=0.75 kW,2 kW及4 kW的電機驅(qū)動系統(tǒng)，采用所提出的理論方法對其系統(tǒng)的運動狀態(tài)進行分析。電機相關(guān)參數(shù)如表3所示。當電機額定功率為P=0.75 kW時，電機運動狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)隨頻率的變化曲線，如圖9所示?？梢钥闯?，當f>40 Hz時，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)多解，系統(tǒng)出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)，轉(zhuǎn)速可以越過固有頻率，系統(tǒng)可工作于非共振狀態(tài)。當電機額定功率P=2 kW時，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)多解所對應(yīng)的頻率減小至約35 Hz，如圖10所示。但從上述兩種工作狀態(tài)可以看出，當頻率大于臨界頻率時，電機轉(zhuǎn)速存在兩個穩(wěn)定的解，系統(tǒng)既可以穩(wěn)定工作于共振前，也可以穩(wěn)工作于共振后。當電機額定功率增大到P=4 kW時，電機的供電頻率大于34 Hz，系統(tǒng)將直接跳過共振區(qū)，隨著頻率的增大，系統(tǒng)將快速遠離共振區(qū)，如圖11所示。

圖11 振動系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(P=4 kW)Fig.11 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=4 kW

圖10 振動系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(P=2 kW)Fig.10 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=2 kW

圖9 振動系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(P=0.75 kW)Fig.9 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=0.75 kW

表3 三個不同功率三相異步電動機參數(shù)Tab.3 Parameters of three three-phase asynchronous motors with different powers

4 結(jié) 論

將三相異步電動機的模型引入振動系統(tǒng)，在充分地考慮三相異步電動機與振動系統(tǒng)相互作用的基礎(chǔ)上，對非理想三相異步電動機驅(qū)動振動系統(tǒng)的動力學問題進行了研究。從工程實際出發(fā)，忽略電機轉(zhuǎn)速的波動，采用解析方法，計算得到不同頻率條件下的電機轉(zhuǎn)速，并對其穩(wěn)定性進行了分析?；贛atlab/Simulink進行仿真驗證，充分說明了所采用理論分析方法的正確性。此外，對偏心質(zhì)量以及電機功率對系統(tǒng)動力學特性的影響進行了分析。通過上述研究，得到以下結(jié)論：

(1)與理想振動系統(tǒng)相比較，三相異步電動機驅(qū)動振動系統(tǒng)出現(xiàn)了Sommerfeld效應(yīng)，電機轉(zhuǎn)速出現(xiàn)非線性跳躍現(xiàn)象，振動系統(tǒng)表現(xiàn)出硬式非線性現(xiàn)象。

(2)三相異步電動機驅(qū)動振動系統(tǒng)的動態(tài)特性是由電機所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩與振動系統(tǒng)所需轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系決定的。當振動所需轉(zhuǎn)矩較小時，振動系統(tǒng)響應(yīng)對電機運動狀態(tài)影響較小，系統(tǒng)不會出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)；當振動系統(tǒng)所需轉(zhuǎn)矩較大時，電機所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩不能滿足系統(tǒng)所需轉(zhuǎn)矩要求，系統(tǒng)出現(xiàn)非線性跳躍現(xiàn)象，即Sommerfeld效應(yīng)；當振動系統(tǒng)所需轉(zhuǎn)矩完全超過電機所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩時，電機轉(zhuǎn)速將始終低于系統(tǒng)共振頻率，系統(tǒng)不能通過共振區(qū)。

(3)針對振動系統(tǒng)不能通過共振區(qū)的問題，可以采用兩種方法來解決：?減小系統(tǒng)的幅值以減小電機負載轉(zhuǎn)矩，最終使振動系統(tǒng)通過共振區(qū)；?選擇更大功率的電機，滿足系統(tǒng)通過共振區(qū)所需電磁轉(zhuǎn)矩的要求。