馬 龍，孫漢旭，宋荊洲，蘭曉娟

(北京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100876)

球形機(jī)器人是一種基于內(nèi)部驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的偏心力矩與慣性力進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的新型移動(dòng)機(jī)器人，能夠?qū)崿F(xiàn)防傾覆且全向穩(wěn)定快速移動(dòng)，具有運(yùn)動(dòng)效率高、能耗低的優(yōu)勢(shì)，在危險(xiǎn)環(huán)境探測(cè)、狹窄空間作業(yè)、監(jiān)控偵察等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用前景[1]。球形機(jī)器人系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)、非完整約束、非線性的特點(diǎn)，常規(guī)運(yùn)動(dòng)控制方法無法對(duì)其進(jìn)行有效控制，同時(shí)運(yùn)動(dòng)過程中存在動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建不完整以及周圍環(huán)境對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生未知干擾等不可測(cè)且不穩(wěn)定的因素[2]。隨著運(yùn)動(dòng)速度逐漸增大，上述不穩(wěn)定因素給球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制帶來的影響迅速增加，運(yùn)動(dòng)精度大幅下降，導(dǎo)致球形機(jī)器人無法應(yīng)對(duì)如軍事偵察爆破、通信網(wǎng)絡(luò)中繼等需要具備高速運(yùn)動(dòng)能力的任務(wù)。因此，開展面向球形機(jī)器人高速高精度運(yùn)動(dòng)的控制方法研究有重要意義。

近年來，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者關(guān)注的球形機(jī)器人驅(qū)動(dòng)機(jī)制主要分為以下三種：基于全向輪的偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制、基于摩擦的內(nèi)驅(qū)動(dòng)機(jī)制以及基于重?cái)[的偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制，且相關(guān)研究主要集中在低速(對(duì)于20 kg左右的小型機(jī)器人，高速界定標(biāo)準(zhǔn)是2.5 m/s[3-4])運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的控制策略方面，對(duì)高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下球形機(jī)器人控制策略的研究成果幾乎未見。與另外兩種驅(qū)動(dòng)機(jī)制相比，基于重?cái)[式偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制是一種具有較高可操作性和易于實(shí)現(xiàn)的驅(qū)動(dòng)機(jī)制，但是運(yùn)動(dòng)過程中球殼與重?cái)[運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)耦合與欠驅(qū)動(dòng)是導(dǎo)致其控制難度高的原因，然而其在運(yùn)動(dòng)速度方面有明顯優(yōu)勢(shì)。因此以基于重?cái)[的偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制進(jìn)行驅(qū)動(dòng)的球形機(jī)器人為研究對(duì)象，針對(duì)球形機(jī)器人典型運(yùn)動(dòng)形式——直線運(yùn)動(dòng)，本文開展高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)控制研究。

針對(duì)基于重?cái)[的偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制進(jìn)行驅(qū)動(dòng)的球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)控制，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛的研究。Liu等[5]針對(duì)球形機(jī)器人的直線運(yùn)動(dòng)，提出了基于線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)的速度和角度控制器，但直線運(yùn)動(dòng)模型的線性化使該控制方法的準(zhǔn)確性難以保證。趙勃等[6]通過在控制器中引入非線性摩擦模型進(jìn)行反饋控制。Madhushani等[7]利用PID(proportional integral derivative)反饋正則化方法對(duì)基于重?cái)[式偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制的環(huán)形機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制，該方法保證了對(duì)恒定擾動(dòng)的魯棒性。上述三種典型的研究成果對(duì)外界不可測(cè)的時(shí)變擾動(dòng)不具備魯棒性和自適應(yīng)性。近年來，對(duì)基于重?cái)[的偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制進(jìn)行驅(qū)動(dòng)的球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)控制的研究主要圍繞滑?？刂普归_。滑?？刂?sliding mode control,SMC)能夠克服系統(tǒng)的不確定性,對(duì)未建模的干擾具有很強(qiáng)的魯棒性，尤其是對(duì)非線性系統(tǒng)的控制具有良好的控制效果[8-9]。Yu等[10]提出一種對(duì)球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行解耦滑?？刂频姆椒ǎㄟ^設(shè)計(jì)系統(tǒng)的分層滑動(dòng)面，使系統(tǒng)控制由多目標(biāo)轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)，大大降低控制器設(shè)計(jì)難度。Yu等[11]針對(duì)球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)問題提出一種模糊滑?？刂?fuzzy sliding mode control,FSMC)方法，通過將第二層滑動(dòng)面作為模糊邏輯系統(tǒng)的輸入，通過運(yùn)用模糊推理來得到滑模控制量。Yue等[12]運(yùn)用自適應(yīng)分層滑模控制(adaptive hierarchical sliding mode control,AHSMC)進(jìn)行球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)速度的控制，通過與滾動(dòng)摩阻的實(shí)時(shí)估算，使控制效果較為理想，但是超調(diào)量較大。另一種非常流行的對(duì)球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)控制的魯棒控制方法是基于分?jǐn)?shù)階微積分的控制技術(shù)。分?jǐn)?shù)階微積分是普通導(dǎo)數(shù)和積分的任意階數(shù)，能夠提高球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)過程中穩(wěn)態(tài)誤差、收斂速度和軌跡跟蹤性能[13]。周挺等[14]提出了基于分?jǐn)?shù)階微積分的分層滑模控制(fractional hierarchical sliding mode control,F-HSMC)方法，使系統(tǒng)在受到干擾的情況下具備更強(qiáng)魯棒性，同時(shí)避免系統(tǒng)的超調(diào)量過大，但是同樣未考慮控制方法的自適應(yīng)性，且只給出了仿真結(jié)果。

從球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)控制方法的研究現(xiàn)狀來看，大部分研究都采用了球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)的理想化或者經(jīng)過線性化處理的動(dòng)力學(xué)模型，以及適用于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的分層滑模控制器(hierarchical sliding mode controller,HSMC)，即使融入模糊或者自適應(yīng)控制方法來應(yīng)對(duì)無法通過傳感器或數(shù)學(xué)模型描述的不確定因素，依然面臨超調(diào)量過大、有限時(shí)間收斂性差以及抖振嚴(yán)重等情況，但由于球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度較低，所以對(duì)直線運(yùn)動(dòng)精度影響不明顯。面對(duì)高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的球形機(jī)器人，實(shí)際運(yùn)動(dòng)環(huán)境中的大量不確定因素以及控制算法在低速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的缺陷對(duì)球形機(jī)器人精準(zhǔn)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響會(huì)迅速放大，導(dǎo)致上述控制器很難實(shí)現(xiàn)預(yù)期的運(yùn)動(dòng)精度。

HSMC能夠?qū)蓚€(gè)不同輸出量同時(shí)實(shí)現(xiàn)控制，并且魯棒性強(qiáng)、克服外界干擾以及參數(shù)攝動(dòng)能力強(qiáng)?；谏鲜鰞?yōu)勢(shì)，針對(duì)高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下球形機(jī)器人控制方法對(duì)響應(yīng)與收斂速度、抖振與超調(diào)量控制方面的要求，通過引入前饋補(bǔ)償、積分項(xiàng)、分?jǐn)?shù)階微積分以及自適應(yīng)律，本文提出了一種分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)分層積分滑模控制器(fractional adaptive hierarchical integral sliding mode controller,F-AIHSMC)，以獲得高系統(tǒng)響應(yīng)與收斂速度、強(qiáng)魯棒性、對(duì)抖振能夠有效抑制的高精度運(yùn)動(dòng)控制，實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下球形機(jī)器人精準(zhǔn)穩(wěn)定直線運(yùn)動(dòng)。

1 球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)模型

基于重?cái)[式偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制的球形機(jī)器人示意圖如圖1所示。通過主框架上垂直安裝的長(zhǎng)軸電機(jī)和短軸電機(jī)共同驅(qū)動(dòng)，球形機(jī)器人能實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動(dòng)。當(dāng)球形機(jī)器人長(zhǎng)軸電機(jī)或短軸電機(jī)單獨(dú)驅(qū)動(dòng)時(shí)，球形機(jī)器人能沿著X軸方向或Y軸方向分別進(jìn)行直線運(yùn)動(dòng)。

圖1 基于重?cái)[式偏心力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)制的球形機(jī)器人示意圖Fig.1 The spherical robot driven by the eccentric torque driving mechanism based on weight pendulum

以沿X軸方向直線運(yùn)動(dòng)作為研究對(duì)象，球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化模型如圖2所示，球形機(jī)器人在長(zhǎng)軸電機(jī)理論輸出力矩τ的作用下在XOZ平面內(nèi)沿X軸滾動(dòng)。其中：球殼質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為m1和I1；主框架質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為m2和I2；重?cái)[質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為m3和I3；球殼半徑為R；重?cái)[擺長(zhǎng)為L(zhǎng)；球殼相對(duì)初始位置滾過角度為θ；球心沿X軸方向的位移為x，且x=θR；重?cái)[相對(duì)垂直方向擺起角度為φ；球形機(jī)器人總質(zhì)量為M，且M=m1+m2+m3。

圖2 球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified model of linear motion of the spherical robot

基于拉格朗日法建立球形移動(dòng)機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)的理想動(dòng)力學(xué)模型為[15]

(1)

由式(1)所示的動(dòng)力學(xué)模型，能夠得到球形機(jī)器人在直線運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的非完整約束為

(2)

其中，

h2(φ)=m3RLcosφ-(m3L2+I2+I3)

針對(duì)球形機(jī)器人的大部分研究都基于如上所示的理想狀況下動(dòng)力學(xué)模型展開。在實(shí)際應(yīng)用中，球形機(jī)器人機(jī)構(gòu)存在多種復(fù)雜摩擦問題以及外界擾動(dòng)，摩擦與擾動(dòng)產(chǎn)生的多項(xiàng)未知量使球形機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型復(fù)雜化，尤其是在高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，摩擦與擾動(dòng)問題無法忽略。針對(duì)高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的球形機(jī)器人，本文建立了如式(3)所示的球形機(jī)器人標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)模型。

(3)

式中：τm為電機(jī)的輸出力矩；τf為運(yùn)動(dòng)過程中受到的摩擦項(xiàng)；τd為運(yùn)動(dòng)過程中受到的外界擾動(dòng)。

根據(jù)擾動(dòng)是否可控，將τd分為可控?cái)_動(dòng)τdv與不可控?cái)_動(dòng)τdu。同樣的，將τf分成線性τfx與非線性τfn兩部分。因此，標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)模型可寫為

(4)

高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下可控?cái)_動(dòng)主要來自運(yùn)動(dòng)過程中地面對(duì)球殼的滾動(dòng)摩阻力偶矩，其能夠嚴(yán)重影響球形機(jī)器人的精準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)“滾動(dòng)摩阻力偶矩定律”，球形機(jī)器人在滾動(dòng)過程中受到的滾動(dòng)摩阻力偶矩為[16]

(5)

式中：δ為滾動(dòng)摩阻系數(shù)；FN為球形機(jī)器人對(duì)支撐面產(chǎn)生的正壓力，表達(dá)式如(6)所示。

(6)

高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)使球形機(jī)器人受到的摩擦更復(fù)雜。球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動(dòng)過程中，重?cái)[相對(duì)于球殼發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，軸承的黏性阻尼導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)中產(chǎn)生的摩擦力矩是線性摩擦的主要來源，其大小與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比，方向與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，表達(dá)式為

(7)

式中，?為黏性摩擦因數(shù)。

令可控補(bǔ)償力矩表達(dá)式為

(8)

其中，

將不可控?cái)_動(dòng)τdu、非線性摩擦τfn等不確定因素用τi表示，則球形機(jī)器人的標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)模型可寫為

(9)

根據(jù)式(9)可知，在設(shè)計(jì)面向高速運(yùn)動(dòng)的球形機(jī)器人控制器時(shí)，需要綜合考慮以下3點(diǎn)重要因素：①與球形機(jī)器人自身相關(guān)參數(shù)；②高速運(yùn)動(dòng)過程中的可控因素；③高速運(yùn)動(dòng)過程中的不確定性因素。

用ξ(t,u(t))表示包含不可控的有界未知擾動(dòng)以及非線性摩擦等不確定因素的不確定項(xiàng)。將直線運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為式(10)所示的等式，進(jìn)一步表示為式(11)所示兩個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

(10)

(11)

其中，

由于滾動(dòng)過程中球形機(jī)器人受到滾動(dòng)摩阻力偶矩的影響，滾動(dòng)過程中的球形機(jī)器人處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)時(shí)，重?cái)[擺起平衡角的動(dòng)態(tài)變化是設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器時(shí)不容忽視的問題，否則無法對(duì)球形機(jī)器人實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。根據(jù)文獻(xiàn)[17]中對(duì)重?cái)[擺起平衡角的描述，平衡狀態(tài)下的擺起平衡角可用式(12)進(jìn)行確定。

(12)

本文提出的控制方法目的是設(shè)計(jì)合理的電機(jī)輸出扭矩控制律，使高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡x(t)和重?cái)[的擺動(dòng)位置φ(t)均能收斂到各自的期望值xd(t)和φd(t)，運(yùn)動(dòng)軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)與重?cái)[擺動(dòng)位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)盡可能小，以實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下球形機(jī)器人精準(zhǔn)直線運(yùn)動(dòng)。

2 分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)分層積分滑?？刂破?/h2>

面對(duì)高速直線運(yùn)動(dòng)球形機(jī)器人的精準(zhǔn)控制問題，基于式(10)所示的狀態(tài)空間表達(dá)式，通過引入前饋控制的思想，在理想狀態(tài)下的力矩τ作用于球形機(jī)器人系統(tǒng)的同時(shí)，將具有近似精確模型的影響因素τfc提前對(duì)高速運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，能夠降低系統(tǒng)遲滯給高速運(yùn)動(dòng)精準(zhǔn)性帶來的影響，使球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)誤差降低，同時(shí)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

2.1 第一層滑模面的構(gòu)建

與SMC相比，積分滑?？刂?integral sliding mode control,ISMC)通過引入積分項(xiàng)，以提高控制系統(tǒng)響應(yīng)速度與魯棒性。針對(duì)球形機(jī)器人這種欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制問題中常用的HSMC方法，本文通過將ISMC與其進(jìn)行融合，并且基于球形機(jī)器人的標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)模型，建立分層積分滑?？刂破?integral hierarchical sliding mode controller,IHSMC)。

由于HSMC的總控制律需要將由第一層滑模面得出的滑動(dòng)控制律包含在內(nèi)，同時(shí)需要包含第二層滑模面的趨近控制律，以保證控制系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定以及第二層滑模面可達(dá)。因此，IHSMC的控制律如式(13)所示

u(t)=ue(t)+usw(t)

(13)

式中：ue(t)為滑動(dòng)控制律，能夠通過系統(tǒng)的第一層滑模面求得；usw(t)為趨近控制律。

球形機(jī)器人兩個(gè)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程均為二階非線性函數(shù)，因此本文將積分算子融入第一層滑模面中。考慮到積分項(xiàng)能夠加快系統(tǒng)響應(yīng)，同時(shí)也能夠使系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量增加，因此需要加入微分項(xiàng)來降低系統(tǒng)超調(diào)量。分別設(shè)計(jì)針對(duì)球殼位移和重?cái)[擺角的第一層滑模面S1(t)和S2(t)，如式(14)所示[18]。

(14)

式中：k1>0；k2>0。

為了使球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)控制器具有高系統(tǒng)響應(yīng)速度、有限時(shí)間快速收斂以及精確控制性能，將Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分融入IHSMC控制器第一層滑模面中，設(shè)計(jì)了F-AIHSMC的第一層滑模面[19]

(15)

令控制目標(biāo)期望值qd=(xdφd)T。對(duì)式(15)求關(guān)于時(shí)間的二階微分，結(jié)合式(11)可得[19]

(16)

f1-ξ1]

f2-ξ2]

(17)

子系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)ξ1和ξ2本質(zhì)為具有物理邊界的未知函數(shù)。根據(jù)式(11)可知，不可控?cái)_動(dòng)能夠分別作用于兩個(gè)子系統(tǒng)，導(dǎo)致第一層滑模面中產(chǎn)生誤差。為了對(duì)第一層滑模面中的誤差進(jìn)行有效約束，需要在子系統(tǒng)控制律中融合對(duì)不可控?cái)_動(dòng)的自適應(yīng)反饋控制來抵消其影響，進(jìn)而增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。根據(jù)積分滑?？刂圃?，式(17)所示的每個(gè)子系統(tǒng)控制律uei只能使子系統(tǒng)到達(dá)第一層滑模面上。將穩(wěn)定控制律uei-s作為反饋控制部分加入子系統(tǒng)控制律中，能夠從子系統(tǒng)層面提高球形機(jī)器人系統(tǒng)對(duì)外界擾動(dòng)以及系統(tǒng)抖振現(xiàn)象的魯棒性。子系統(tǒng)控制律uei可更新為

f1-ξ1]+ue1-s(t)

f2-ξ2]+ue2-s(t)

(18)

本文選取如式(19)所示的穩(wěn)定控制律表達(dá)式。

(19)

式中，μi和ηi為穩(wěn)定增益參數(shù)。

基于式(18)與式(19)，可得子系統(tǒng)控制律為

(20)

理想情況下，當(dāng)式(20)所示的穩(wěn)定增益大于未知影響因素的上界時(shí)，控制器具有很強(qiáng)的魯棒性。但是實(shí)際應(yīng)用時(shí)，只能通過將穩(wěn)定增益參數(shù)設(shè)置到非常大來應(yīng)對(duì)未知影響因素上界不明確的情況[20]。由于實(shí)際應(yīng)用中穩(wěn)定階段控制器具有不可避免的缺陷以及控制過程中存在延時(shí)，上述處理方法能夠?qū)е驴刂葡到y(tǒng)發(fā)生異常震蕩，對(duì)球形機(jī)器人系統(tǒng)產(chǎn)生很大危害。面對(duì)分層滑?？刂?，子系統(tǒng)在控制過程中的缺陷最終會(huì)在系統(tǒng)總控制律部分發(fā)生疊加與耦合，如果在第二層滑模面再對(duì)其進(jìn)行處理，會(huì)增大處理難度，最終導(dǎo)致球形機(jī)器人系統(tǒng)控制誤差加大。因此，針對(duì)子系統(tǒng)穩(wěn)定控制律uei-s(t)的穩(wěn)定增益參數(shù)μi和ηi，本文提出對(duì)其一階導(dǎo)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)

(21)

因此，F(xiàn)-AIHSMC的自適應(yīng)子系統(tǒng)控制律分別為

(22)

2.2 第二層滑模面的構(gòu)建

構(gòu)建第二層滑模面S(t)

(23)

式中：c1>0；c2>0。

基于式(22)所示的自適應(yīng)子系統(tǒng)控制律，將式(23)對(duì)時(shí)間求一階微分，得到

(24)

為使第二層滑動(dòng)變量S(t)快速收斂于零，本文使用如式(25)所示的指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)F-AIHSMC。

(25)

式中，ε1，ε2均為大于0的常數(shù)。根據(jù)式(24)與式(25)，能夠求得趨近控制律usw(t)為

(26)

將其代入式(13)，可求得F-AIHSMC的控制律為

u(t)=ue1(t)+ue2(t)+usw(t)=

(27)

F-AIHSMC的結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。針對(duì)F-AIHSMC，我們能夠得出以下定理：

圖3 F-AIHSMC結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 The structure of the F-AIHSMC

證明選取Lyapunov函數(shù)

根據(jù)式(21)可得V關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)為

(28)

將式(27)代入式(28)得V關(guān)于時(shí)間的一階微分為

-ε1·S2-ε2|S|

(29)

因此，第二層滑模面S是漸進(jìn)穩(wěn)定的，在F-AIHSMC中，第一層滑模面同樣需要漸進(jìn)穩(wěn)定。

定理2假設(shè)球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)的期望運(yùn)動(dòng)軌跡在[0 +∞)內(nèi)是連續(xù)的且有界的函數(shù)。對(duì)于具有式(9)所示動(dòng)力學(xué)方程的球形機(jī)器人系統(tǒng)，在控制律式(27)的作用下，第一層滑模面S1與S2是漸近穩(wěn)定的。

證明對(duì)式(29)進(jìn)行積分，能夠得到

(30)

(31)

由式(29)可得，滑模面S是否穩(wěn)定與ε1和ε2無關(guān)。因此假設(shè)如式(32)所示的兩個(gè)不同的滑模面SA與SB，參數(shù)cA1，cB1與c2均為正實(shí)數(shù)。

(32)

令SA(t)>SB(t)，可得

(33)

因此，S1漸進(jìn)穩(wěn)定。運(yùn)用同樣的證明方法可得S2漸近穩(wěn)定。定理2證明結(jié)束。

針對(duì)式(27)中提出的控制律，如果穩(wěn)定增益參數(shù)增大，符號(hào)函數(shù)(sign)能夠?qū)е孪到y(tǒng)抖振增大。因此，為了避免該情況發(fā)生，將F-AIHSMC控制律修改為

u(t)=ue1(t)+ue2(t)+usw(t)=

(34)

F-AIHSMC的自適應(yīng)子系統(tǒng)控制律修改為

(35)

其中，

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證F-AIHSMC對(duì)高速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下球形機(jī)器人精準(zhǔn)控制的有效性，以BYQ-GS型球形機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，運(yùn)用F-AIHSMC進(jìn)行高速直線運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，并且運(yùn)用傳統(tǒng)的HSMC與Yue等研究中提出的AHSMC進(jìn)行相同的高速直線運(yùn)動(dòng)控制作為對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

3.1 實(shí)驗(yàn)對(duì)象

BYQ-GS球形機(jī)器人的三維模型與實(shí)物如圖4所示，性能參數(shù)如表1所示。與傳統(tǒng)球形機(jī)器人相比，BYQ-GS球形機(jī)器人面向高速運(yùn)動(dòng)任務(wù)需求，基于輕量化設(shè)計(jì)原則，將玻璃纖維增強(qiáng)聚合物材質(zhì)球殼與基于3D打印的光敏樹脂材質(zhì)框架相結(jié)合，內(nèi)部結(jié)構(gòu)經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，將重?cái)[與電源系統(tǒng)進(jìn)行功能性融合，在總體質(zhì)量大幅降低的前提下，能夠保證重?cái)[質(zhì)量相對(duì)總體質(zhì)量的高占比，因此可以使球形機(jī)器人實(shí)現(xiàn)高速靈活運(yùn)動(dòng)。通過采用帶有絕對(duì)編碼器的直流無刷電機(jī)、Xsens MTi-300慣性航姿測(cè)量系統(tǒng)、Trimble BD992-INS多星多頻高精度定位測(cè)向板卡相結(jié)合的方式，BYQ-GS球形機(jī)器人能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的控制與測(cè)量。

1.重?cái)[；2.主框架；3.慣性航姿測(cè)量系統(tǒng)；4.長(zhǎng)軸電機(jī)；5.短軸電機(jī)；6.主控制板；7.高精度定位測(cè)向板卡。圖4 BYQ-GS型高速運(yùn)動(dòng)球形機(jī)器人的三維模型與實(shí)物圖Fig.4 The 3D model and physical prototype of the BYQ-GS spherical robot

表1 BYQ-GS型高速運(yùn)動(dòng)球形機(jī)器人性能參數(shù)Tab.1 Performance parameters of BYQ-GS spherical robot

實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地示意圖如圖5所示。實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地45 m處設(shè)置15°雙向短坡道，47 m處設(shè)置2 m長(zhǎng)、30 mm厚海綿軌道，52 m處設(shè)置15°單向短坡道，以對(duì)實(shí)際工況中由于多種路面狀況引起的復(fù)雜擾動(dòng)進(jìn)行模擬。

圖5 實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地示意圖Fig.5 Schematic diagram of experimental field

3.2 F-AIHSMC最優(yōu)參數(shù)確定

為了確定F-AIHSMC的最優(yōu)參數(shù)，本文基于BYQ-GS球形機(jī)器人對(duì)F-AIHSMC開展仿真研究。在不考慮分?jǐn)?shù)階微積分的情況下，即式(15)中的α為1，使用軟件Matlab中的全局優(yōu)化工具箱(global optimization toolbox)通過模式搜索對(duì)控制參數(shù)(k1,k2,c1,c2,ε1,ε2)以及自適應(yīng)律參數(shù)(ρ1,ρ2,κ1,κ2)最優(yōu)值進(jìn)行確定，可得對(duì)F-AIHSMC收斂速度以及控制性能最優(yōu)的參數(shù)選擇為

(k1,k2,c1,c2,ε1,ε2)=(0.697,2.187,5.896,3.434,10.103,0.117)
(ρ1,ρ2,κ1,κ2)=(17.3,21.8,12.2,14.9)

基于上述最優(yōu)值，使用軟件Matlab中的分?jǐn)?shù)階建模和控制工具箱(FOMCON)，通過試差法對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的α參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，可得分?jǐn)?shù)階微積分的α參數(shù)的最優(yōu)值為α=0.65。

對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行離散化是分?jǐn)?shù)階在實(shí)驗(yàn)中的主要實(shí)現(xiàn)方法。本文運(yùn)用了文獻(xiàn)[22]中提出的Al-Alaoui+CFE離散化方法，在計(jì)算過程中將分?jǐn)?shù)階算子離散化為式(36)所示的近似形式。

(36)

式中：T為采樣周期；CFE{u}為連分式展開；Pp(·)和Qq(·)為變量s-1的互質(zhì)多項(xiàng)式，通常設(shè)定Pp(·)的階次P與Qq(·)的階次Q均等于迭代次數(shù)n。

迭代次數(shù)越多，計(jì)算越復(fù)雜。在實(shí)驗(yàn)中，我們選取迭代次數(shù)n=3。參考徐智超研究中表3-2，當(dāng)n=3時(shí)，選取如式(37)所示的表達(dá)式。

Pp(s-1)=(-288α2+27)s-3+(-64α3-284α)s-3+

(672α2+1 827)s-2+2 520αs-2-

2 940αs-1-6 615s-1+5 145

Qq(s-1)=(-288α2+27)s-3-(-64α3-284α)s-3+

(672α2+1 827)s-2-2 520αs-2+

2 940αs-1-6 615s-1+5 145

(37)

3.3 實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果

針對(duì)不同的期望狀態(tài)，本文設(shè)置了3組實(shí)驗(yàn)，在每組實(shí)驗(yàn)中，分別將三種不同的控制方法作用于BYQ-GS球形機(jī)器人的高速直線運(yùn)動(dòng)，作為每組實(shí)驗(yàn)的3個(gè)子實(shí)驗(yàn)。為了保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠，同時(shí)更直觀的對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，在子實(shí)驗(yàn)過程中，我們都重復(fù)進(jìn)行10次并取其數(shù)據(jù)的平均值，再運(yùn)用Savizkg-Golag平滑算法(30點(diǎn)2次)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，作為該次子實(shí)驗(yàn)的最終實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。基于所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們對(duì)本文提出的F-AIHSMC、Yue等中提出的AHSMC以及傳統(tǒng)的HSMC的控制效果進(jìn)行對(duì)比。本文將每組實(shí)驗(yàn)中BYQ-GS球形機(jī)器人初次收斂到期望狀態(tài)的控制過程定義為初始控制階段，受到擾動(dòng)后收斂到期望狀態(tài)的控制過程定義為擾動(dòng)控制階段。

本文運(yùn)用了收斂時(shí)間tr、運(yùn)動(dòng)位置誤差的最大絕對(duì)值emax以及位置誤差的均方根誤差(RMSE)值三項(xiàng)指標(biāo)，對(duì)BYQ-GS球形機(jī)器人在三種控制器下的直線運(yùn)動(dòng)控制效果進(jìn)行清晰的展示。實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景如圖6所示。

1.擾動(dòng)模擬區(qū)域；2.初始狀態(tài)；3.BYQ-GS通過雙向短坡道；4.BYQ-GS通過海綿軌道；5.BYQ-GS通過單向短坡道。圖6 實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景圖Fig.6 The experimental scene

實(shí)驗(yàn)1球形機(jī)器人初始狀態(tài)為(x0,φ0)=(0,0)，設(shè)期望狀態(tài)為(xd,φd)=(3t,τr/m3gL)。圖7為球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重?cái)[的擺動(dòng)位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機(jī)器人速度變化圖。

圖7 實(shí)驗(yàn)1的子實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)變化對(duì)比圖Fig.7 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 1

定義實(shí)驗(yàn)1的初始控制階段為0～10 s，擾動(dòng)控制階段為10～20 s。BYQ-GS球形機(jī)器人在三種控制器下的直線運(yùn)動(dòng)控制效果如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)1中球形機(jī)器人在三種控制器作用下直線運(yùn)動(dòng)效果Tab.2 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 1

實(shí)驗(yàn)2球形機(jī)器人初始狀態(tài)為(x0,φ0)=(0,0)，設(shè)期望狀態(tài)為(xd,φd)=(3.5t,τr/m3gL)。圖8為球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重?cái)[的擺動(dòng)位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機(jī)器人速度變化圖。

圖8 實(shí)驗(yàn)2的子實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)變化對(duì)比圖Fig.8 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 2

定義實(shí)驗(yàn)2的初始控制階段為0～12 s，擾動(dòng)控制階段為12～20 s。在三種控制器作用下的BYQ-GS球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)控制效果如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)2中球形機(jī)器人在三種控制器作用下直線運(yùn)動(dòng)效果Tab.3 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 2

實(shí)驗(yàn)3球形機(jī)器人初始狀態(tài)為(x0,φ0)=(0,0)，設(shè)期望狀態(tài)為(xd,φd)=(4t,τr/m3gL)。圖9為球形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重?cái)[的擺動(dòng)位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機(jī)器人速度變化圖。

圖9 實(shí)驗(yàn)3的子實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)變化對(duì)比圖Fig.9 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 3

實(shí)驗(yàn)3中運(yùn)用HSMC進(jìn)行球形機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)控制時(shí)，在遇到擾動(dòng)1前BYQ-GS球形機(jī)器人未能初次收斂到期望狀態(tài)，因此以到達(dá)擾動(dòng)1的期望時(shí)間為兩個(gè)階段分界點(diǎn)，即定義實(shí)驗(yàn)3初始控制階段為0～11.25 s，擾動(dòng)控制階段為11.25～20 s。球形機(jī)器人在三種控制器下的直線運(yùn)動(dòng)控制效果如表4所示。

表4 實(shí)驗(yàn)3中球形機(jī)器人在三種控制器作用下直線運(yùn)動(dòng)效果Tab.4 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 3

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

基于上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用綜合定量評(píng)價(jià)法對(duì)F-AIHSMC與AHSMC、F-AIHSMC與HSMC在兩個(gè)控制階段的綜合控制效果分別展開對(duì)比。實(shí)驗(yàn)指標(biāo)分為三種類型：tr，emax，eRMSE，總共涉及到五個(gè)指標(biāo)：tr，ex-max，ex-RMSE，eφ-max，eφ-RMSE，因此綜合定量評(píng)價(jià)公式為

(38)

其中：c為指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，每個(gè)指標(biāo)權(quán)重系數(shù)均為c=0.2；(vi)a為指定控制器(AHSMC或HSMC)第i個(gè)指標(biāo)值；(vi)b為F-AIHSMC第i個(gè)指標(biāo)值。

由于初始控制階段部分控制方法未收斂，此時(shí)

在擾動(dòng)控制階段，由于存在三個(gè)擾動(dòng)，因此擾動(dòng)控制階段的tr又可劃分為tr-1，tr-2，tr-3，此時(shí)

同理，在擾動(dòng)控制階段，部分控制方法在面對(duì)第i個(gè)擾動(dòng)時(shí)未收斂，此時(shí)

根據(jù)式(38)可得F-AIHSMC與AHSMC、F-AIHSMC與HSMC在兩個(gè)控制階段控制效果的綜合對(duì)比。對(duì)比結(jié)果如表5所示。

表5 F-AIHSMC與其余兩種控制方法的控制效果對(duì)比結(jié)果Tab.5 Comprehensive comparison of F-AIHSMC and the other two control methods %

根據(jù)三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及綜合控制效果對(duì)比結(jié)果，F(xiàn)-AIHSMC的tr,emax以及eRMSE三項(xiàng)指標(biāo)均為最優(yōu)。在三組實(shí)驗(yàn)的初始控制階段，F(xiàn)-AIHSMC與AHSMC均能收斂，但運(yùn)行速度的期望值為4 m/s時(shí)，HSMC未能實(shí)現(xiàn)收斂。在三組實(shí)驗(yàn)的擾動(dòng)控制階段，當(dāng)BYQ-GS球形機(jī)器人面對(duì)3個(gè)固定位置的擾動(dòng)時(shí)，F(xiàn)-AIHSMC均能實(shí)現(xiàn)迅速收斂；在第二組與第三組實(shí)驗(yàn)中，即期望運(yùn)行速度達(dá)到3.5 m/s以上時(shí)，AHSMC無法實(shí)現(xiàn)對(duì)3個(gè)擾動(dòng)的同時(shí)收斂；HSMC在三組實(shí)驗(yàn)中均無法實(shí)現(xiàn)對(duì)3個(gè)擾動(dòng)的同時(shí)收斂。通過對(duì)三組實(shí)驗(yàn)的tr進(jìn)行對(duì)比可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC在加快系統(tǒng)響應(yīng)速度和收斂速度方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。通過對(duì)三組實(shí)驗(yàn)的ex-max與eφ-max進(jìn)行對(duì)比可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC在減小系統(tǒng)超調(diào)量方面具有明顯優(yōu)勢(shì)；通過對(duì)三組實(shí)驗(yàn)的ex-RMSE與eφ-RMSE進(jìn)行對(duì)比，結(jié)合三組實(shí)驗(yàn)中基于不同控制方法的球形機(jī)器人運(yùn)行速度變化趨勢(shì)可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC在增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性方面具有明顯優(yōu)勢(shì)；通過對(duì)三組實(shí)驗(yàn)的擾動(dòng)控制階段收斂情況進(jìn)行對(duì)比可以得出，在面對(duì)未知擾動(dòng)時(shí)，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC能夠使系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性。因此，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC的控制效果最好，且隨著期望運(yùn)行速度從3 m/s提升至4 m/s，F(xiàn)-AIHSMC的控制優(yōu)勢(shì)越來越明顯。

圖10 三種控制方法的總滑模面變化對(duì)比圖Fig.10 Comparison of the total sliding surface change of the three control methods

4 結(jié) 論

本文以球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動(dòng)問題作為研究對(duì)象，通過理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方式，開展面向球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動(dòng)自適應(yīng)控制方法的研究：通過建立適用于高速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)模型，并且基于該模型，將前饋控制、積分項(xiàng)與分?jǐn)?shù)階微積分以及自適應(yīng)控制融入傳統(tǒng)的分層滑模控制方法中，提出了一種分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)分層積分滑?？刂破鱂-AIHSMC，并且基于BYQ-GS球形機(jī)器人對(duì)F-AIHSMC進(jìn)行了直線運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，在球形機(jī)器人高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，與傳統(tǒng)的HSMC以及具有自適應(yīng)功能的AHSMC相比，該方法實(shí)現(xiàn)了高系統(tǒng)響應(yīng)速度與收斂速度，并且具有更好的穩(wěn)定性和魯棒性。

系統(tǒng)的不確定性以及外部環(huán)境的未知擾動(dòng)能夠?qū)η蛐螜C(jī)器人的精準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，并且與低速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相比，該影響在高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下會(huì)成倍增加，這是導(dǎo)致球形機(jī)器人在高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)精度降低的重要原因。通過對(duì)球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動(dòng)控制方法的研究，使球形機(jī)器人實(shí)現(xiàn)了高速精準(zhǔn)的直線運(yùn)動(dòng)，為開展球形機(jī)器人高速精準(zhǔn)的全方位控制研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，該研究對(duì)球形機(jī)器人的應(yīng)用推廣方面有重要的指導(dǎo)意義和促進(jìn)作用。