王世俊，同長虹，羅冠煒

(1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2.蘭州城市學院 培黎機械工程學院，蘭州 730070；3.蘭州交通大學 甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動力學與可靠性重點實驗室，蘭州 730070)

機械系統(tǒng)各個零部件之間、零部件與固定邊界之間，由于生產(chǎn)安裝的需要以及加工精度的限制不可避免地存在間隙與約束。間隙和約束的存在使機械系統(tǒng)在工作時會發(fā)生碰撞振動，從而導致機械系統(tǒng)的噪聲水平加劇、零部件加速磨損。沖擊振動動力學的研究對于具有沖擊振動和運動限制約束的機械系統(tǒng)的動力學性能和噪聲抑制的匹配設計具有實際意義。人們對揭示沖擊振動動力學的基本性質并擴展其在實際機械系統(tǒng)中的應用表現(xiàn)出了濃厚的興趣，這一領域的研究不斷增加。Shaw等[1]研究了一類單自由度振動系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在基本周期碰撞振動、亞諧碰撞振動以及混沌等復雜的動力學現(xiàn)象，并且討論了擦邊分岔可能導致的奇異性，使光滑動力學系統(tǒng)中所使用的一些研究方法無法直接應用于非光滑系統(tǒng)的分岔研究中。Nordmark[2]在含剛性約束正弦激勵的單自由度振動系統(tǒng)中，應用定性分析的方法研究了由擦邊分岔而產(chǎn)生的奇異點，發(fā)現(xiàn)控制單個參數(shù)變化時穩(wěn)定的周期運動會發(fā)生擦邊分岔而進入非周期運動，同時給出了系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔的判定準則。在Nordmark開創(chuàng)性研究的基礎上，關于擦邊分岔奇異性的研究大量展開。Weger等[3]通過試驗研究證實了一類含間隙-彈性約束系統(tǒng)Grazing分岔的存在性及其伴隨涌現(xiàn)的部分行為特征。Humphries等[4]用不連續(xù)幾何的觀點研究了碰撞振動系統(tǒng)Grazing分岔和鞍結分岔的關聯(lián)關系，揭示了Grazing分岔臨界點鄰域內鞍結分岔時而出現(xiàn)時而消失的原因。碰撞振動系統(tǒng)在低頻區(qū)域表現(xiàn)出顫碰振動，受到了學者們的廣泛關注[5-10]。Wagg研究了兩自由度碰撞振動系統(tǒng)在低頻條件下具有黏滯特性的完整顫碰振動，并利用數(shù)值分析解釋了顫碰-黏滯解的“隆起”現(xiàn)象。

隨著計算機運算性能的不斷提升，許多學者在整個參數(shù)域范圍內研究碰撞振動系統(tǒng)的動力學行為。Zhang等[11]針對一類具有正弦變化的中心載荷的黏性阻尼的淺拱系統(tǒng)，研究了其給定參數(shù)下的大量共存吸引子，并分析了其存在邊界。文獻[12-15]較為系統(tǒng)地研究了單自由度沖擊振動系統(tǒng)在具有單側或雙側約束時，在雙參數(shù)平面上的動力學行為。李國芳等[16]研究了一類兩自由度自驅動系統(tǒng)的運動特性，通過獲得其在雙參數(shù)域的平均驅動速度分布圖，得到了系統(tǒng)參數(shù)選擇的最佳范圍。文獻[17]和文獻[18]分別研究了具有單側剛性約束和雙側剛性約束的兩自由度碰撞振動系統(tǒng)，定義了基本周期運動群p/1，通過多參數(shù)協(xié)同仿真，在雙參數(shù)域平面研究了系統(tǒng)動態(tài)性能與參數(shù)之間的關聯(lián)關系，并研究了系統(tǒng)非完整顫碰撞振動和完整顫碰撞振動的產(chǎn)生機理。隨著碰撞振動系統(tǒng)的研究不斷深入，其研究方法應用于許多工程實際。呂小紅等[19]以小型振動沖擊式打樁機為工程背景，研究了沖擊鉆進系統(tǒng)的各類周期振動在二維參數(shù)平面內的存在區(qū)域和分布規(guī)律，揭示了基本周期沖擊振動p/1的分岔特點。Yan等[20-22]研究了切削系統(tǒng)中非線性動力學行為。高學軍等[23-24]研究了車輛系統(tǒng)蛇行運動中輪軌沖擊振動。伍新等[25]以振動落砂機系統(tǒng)為研究對象，研究了系統(tǒng)在雙參數(shù)平面發(fā)生Neimark-Sacker分岔的區(qū)域，并以此為依據(jù)設計系統(tǒng)工作的概周期運動區(qū)間。石建飛等[26]研究了兩自由度減振鏜桿系統(tǒng)的安全盆侵蝕與分岔，以此指導減振鏜桿的設計及參數(shù)優(yōu)化。Zhai等[27]研究了三大件式貨車系統(tǒng)的蛇行運動的橫向穩(wěn)定性，考慮了一系懸掛中軸箱與導框間隙、干摩擦等強非線性因素的影響。

在以往的研究中，研究的動力學模型主要為：具有單側約束或雙側約束的單自由度沖擊振動系統(tǒng)；僅與固定約束間存在間隙的或兩質塊間存在約束、間隙的兩自由度沖擊振動系統(tǒng)。針對兩自由度沖擊振動系統(tǒng)，并同時具有多處約束、間隙的研究較少，而多間隙、約束條件下系統(tǒng)的動力學特性更加能反映機械振動系統(tǒng)的實際工作狀況。在研究方法上，以往的研究中主要借助單參數(shù)分岔圖分析系統(tǒng)的動力學特性，這很難在整個參數(shù)域范圍揭示系統(tǒng)的分岔特性、周期運動的模式類型和存在區(qū)域?？紤]到實際的機械振動系統(tǒng)常常可以簡化為兩自由度、多間隙、約束的沖擊振動系統(tǒng)，而雙參數(shù)協(xié)同仿真能在整個參數(shù)域范圍描述系統(tǒng)的動力學行為，從而為系統(tǒng)設計提供更為有效的理論指導。本文針對含多剛性約束的兩自由度機械振動系統(tǒng)，采用多參數(shù)協(xié)同仿真的研究方法，分析了在激振頻率和間隙值所組成的(ω,δ)-參數(shù)平面上基本周期碰撞振動、亞諧碰撞振動的存在區(qū)域和轉遷規(guī)律，以及系統(tǒng)結構參數(shù)變化時對其的影響。

1 力學模型

圖1 力學模型Fig.1 Mechanical model

引入無量綱時間和參數(shù)

(1)

得圖1模型的無量綱運動方微分程

(2)

兩質塊與剛性約束面碰撞前后的瞬時速度為

(3)

兩質塊相互碰撞前后瞬時速度可根據(jù)動量守恒確定

(4)

對于碰撞振動系統(tǒng)，部分參數(shù)條件下質塊Mi可能于某個運動時間區(qū)段內黏滯于剛性約束面處。圖1模型是帶有多剛性約束的振動系統(tǒng)，因此系統(tǒng)有可能在某運動時間區(qū)段內于多處剛性約束面呈現(xiàn)黏滯現(xiàn)象。由黏滯現(xiàn)象發(fā)生的條件可以分析出質塊Mi在各剛性約束面的黏滯條件：

(5)

直至該合力改變方向，即F1(t)<0；

(6)

直至該合力改變方向，即F1(t)>0；

(7)

直至該合力改變方向，即F2(t)>0；

(8)

式中，N(t)為兩質塊間的相互作用力。

(9)

當N(t)>0，兩質塊黏滯在一起發(fā)生同步運動，直至其相互作用力消失，即N(t)=0。

部分無量綱參數(shù)的最大取值范圍是可確定的，如μm∈(0,1)，μk∈(0,1)，μc∈(0,1)，f∈[0,1]，為分析系統(tǒng)的動態(tài)特性與參數(shù)的關聯(lián)關系提供了便利。多約束誘發(fā)了振動系統(tǒng)復雜的動力學行為。以質塊M1和約束A1的雙側碰撞、質塊M2和約束A2的單側碰撞、質塊M1和質塊M2在約束A12的相互碰撞來描述圖1系統(tǒng)的周期碰撞振動的模式類型。對于約束A12和約束A2處的單邊碰撞，采用符號p/n來描述系統(tǒng)在單邊約束處的周期碰撞振動的模式類型；對于約束A1處的雙邊碰撞，采用符號n-r-q來描述系統(tǒng)于雙邊約束處的周期碰撞振動的模式類型，其中：n為系統(tǒng)的振動周期與激勵力周期的比值(n=1,2,3,…)；p為在單邊約束處的碰撞次數(shù)(p=0,1,2,3,…)；r和q分別為雙邊約束左側和右側碰撞次數(shù)(r,q=0,1,2,3,…)。對于n=1時，存在單側碰撞和雙側碰撞的基本周期運動群p/1(p≥1)和1-r-q(r,q≥1)，而0/1和1-0-0分別向1/1和1-1-1(或1-0-1，1-1-0)轉遷規(guī)律與p/1和1-r-q分別向(p+1)/1和1-(r+1)-(q+1)(或1-r-(q+1)，1-(r+1)-q)相類似，從而將0/1和1-0-0也納入基本周期運動群。多參數(shù)仿真分析中為辨識描述各約束處的周期和碰撞的特征符號的值n，p，r和q，建立如下幾種Poincaré截面

(10)

X(i+1)=f(X(i),μ)

(11)

2 系統(tǒng)碰撞振動模式類型和分岔特性

機械系統(tǒng)常發(fā)生構件與約束的碰撞振動，同時也存在構件間的碰撞振動。在圖1模型中，可以將間隙分為兩類，即兩質塊與固定約束之間的間隙δ1和δ3以及兩質塊之間的間隙δ2。考慮δ1和δ3取定值，δ2變化情況(記為δ2=δ)，選取參數(shù)μm=0.5，μk=0.5，μc=0.5，ζ=0.1，R=0.8，δ1=δ3=0.95為基準參數(shù)。激振頻率ω和兩質塊之間的間隙δ作為分岔參數(shù)，通過多目標多參數(shù)協(xié)同仿真可以獲得在(ω,δ)-參數(shù)平面上系統(tǒng)各類周期碰撞振動的發(fā)生域、相鄰周期碰撞振動間的轉遷規(guī)律以及分岔特性。在(ω,δ)-參數(shù)平面的二維參數(shù)圖中，用不同深淺的顏色標記不同類型運動，并用p/n標識單邊約束的碰撞振動，n-r-q標識雙邊約束的碰撞振動。圖2中未標識的深灰色區(qū)域主要是模式類型為概周期和混沌的碰撞振動，以及未辨識周期碰撞振動(主要包括周期數(shù)或者碰撞次數(shù)過高且發(fā)生域極小的周期碰撞振動)。下文圖中：Gr為Real Grazing實擦邊分岔；Gb為Bare Grazing虛擦邊分岔；PD為周期倍化分岔。

圖2 不同激振力分配比f條件下，振動系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內周期碰撞振動的模式類型和分布區(qū)域Fig.2 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different force distribution ratios f

參數(shù)f反映了激振力在質塊M1和M2間的分配比例，f越小則M2上的激振力分配比例越小，首先分別考慮不同激振力分配比f=0.5，f=0.8，f=0時的三種工況。

當f=0.5時，即激振力平均分配于質塊M1和M2。在圖2(a)～圖2(c)中，可觀察到反映各約束處的周期碰撞振動在(ω,δ)-參數(shù)平面上的發(fā)生域和分岔特征。在約束A1處，如圖2(a)所示，(ω,δ)-參數(shù)平面上質塊M1于約束A1處主要呈現(xiàn)非碰撞振動1-0-0，僅在ω=1.0附近的帶狀區(qū)域，存在基本周期碰撞振動1-0-1，1-1-0，1-1-1 和1-2-1，在ω=1.0左側較小激振力頻率的帶狀域內質塊M1呈現(xiàn)單側碰撞振動1-0-1，隨激振頻率增大1-0-1振動轉遷為1-1-1振動；在約束A2處，如圖2(c)所示，基本周期碰撞振動1/1的帶狀發(fā)生域和約束A1處的基本周期碰撞振動(1-0-1，1-1-1和1-1-0)的總發(fā)生域基本一致；在約束A12處，如圖2(b)所示，(ω,δ)-參數(shù)平面上除ω=1.0附近的小間隙參數(shù)域內存在2/1振動，其余參數(shù)域對應的振動類型基本上為無碰撞振動0/1。由于該模型中多約束和間隙的存在，質塊不僅和固定約束之間存在碰撞振動，質塊之間也存在相互碰撞振動，但在激振力平均分配于質塊M1和M2工況下，系統(tǒng)于(ω,δ)-參數(shù)平面的較大參數(shù)域內呈現(xiàn)非碰撞周期振動，少量的基本周期碰撞振動主要發(fā)生于ω=1.0附近的帶狀區(qū)域。

圖3 系統(tǒng)周期運動的相圖，f=0.8，ω=1.1，δ=0.6Fig.3 Phase plane portraits of the system periodic motion,f=0.8，ω=1.1，δ=0.6

圖4 系統(tǒng)的總體分岔圖，f=0，δ=0.4Fig.4 Bifurcation diagrams of the system,f=0，δ=0.4

圖5 系統(tǒng)完整顫碰振動的時間響應圖，f=0，ω=0.05，δ=0.4Fig.5 Time series of complete chattering-impact motion,f=0，ω=0.05，δ=0.4

圖7 基本周期振動及相關舌形域內的單參數(shù)分岔圖Fig.7 Bifurcation diagrams of fundamental impact motions and related tongue-shaped regions

通過對舌形域(Ⅰ)和舌形域(Ⅱ)的研究，可以發(fā)現(xiàn)低頻域內基本周期碰撞振動p/1向(p+1)/1轉遷規(guī)律，此時的變化主要表現(xiàn)在振動周期與激勵力周期的比值n=1不變，碰撞次數(shù)p隨著ω的減小并伴隨著Grazing分岔的發(fā)生而遞增。如圖6(e)所示的參數(shù)域中，可以觀察到隨著間隙值δ增大，碰撞次數(shù)p=1不變，周期數(shù)n逐次增加的亞諧振動區(qū)域，其參數(shù)域呈半環(huán)狀層疊分布，并且隨著周期數(shù)n的增加逐步收窄，為了方便起見，此處區(qū)域記為半環(huán)狀域(Ⅰ)。相鄰的半環(huán)狀域1/n運動和1/(n+1)運動之間夾雜了復雜的亞諧碰撞振動。以1/1運動和1/2運動為例，其間夾雜的亞諧碰撞振動主要有：2/3，3/4，4/5，4/6，5/6，6/7，6/8運動。

圖6 圖2(h)的局部描述Fig.6 Partial description of figure 2(h)

3 系統(tǒng)參數(shù)對于系統(tǒng)周期碰撞振動模式類型和分布域的影響

系統(tǒng)無量綱化參數(shù)μm，μk，μc取值范圍是(0,1)，在基準參數(shù)時的取值是0.5，這里可以在取值范圍內選取具有代表性的值，研究系統(tǒng)結構參數(shù)對于系統(tǒng)周期碰撞振動模式類型和分布區(qū)域的影響。這里選擇f=0的工況進行研究，該工況能夠較好地反映低頻域內，質塊M1與約束A1，質塊M1和質塊M2于約束A12碰撞振動的模式類型，并表現(xiàn)出了較為豐富的低頻動力學特性。此時的基準參數(shù)為：μm=0.5，μk=0.5，μc=0.5，ζ=0.1，R=0.8，δ1=0.95，f=0。這里主要考慮系統(tǒng)的阻尼系數(shù)ζ，質量分布比μm，剛度分布比μk分別選取不同參數(shù)值時對于振動系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面上碰撞振動模式類型和分布域的影響。

圖8 不同阻尼系數(shù)ζ條件下，振動系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內周期碰撞振動的模式類型和分布區(qū)域Fig.8 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different damping coefficient ζ

圖9 系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖，ζ=0.2，δ=0.4Fig.9 Bifurcation diagrams of the system,ζ=0.2，δ=0.4

可見，振動系統(tǒng)隨著阻尼系數(shù)ζ的增大，關聯(lián)約束A1和約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面中基本周期碰撞振動的存在域增大，亞諧碰撞振動以及未識別的碰撞振動模式類型以及存在域減?。魂P聯(lián)約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面中基本周期碰撞振動p/1的帶狀域隆起減小，相鄰基本周期碰撞振動轉遷過程中的舌形域減小。

動力學系統(tǒng)中，各構件的質量常常不相等，質量分布比μm作為重要的結構參數(shù)影響著系統(tǒng)的動力學行為。在μm∈(0,1)的參數(shù)范圍，按照間隔Δμm=0.1等間隔取值，可以繪制不同μm下的(ω,δ)-參數(shù)平面上的雙參數(shù)圖，這里選取較小值μm=0.2和較大值μm=0.8與基準參數(shù)相比較。質量分布比越大，則質塊M2在總質量(M1+M2)中所占的比值越大。當μm=0.2時，與約束A1關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖10(a)所示，低頻域內質塊M1對于約束A1左側的單邊基本周期碰撞振動1-r-0其分布區(qū)域與基準參數(shù)μm=0.5時大致相同；在中等頻率域，具有雙邊碰撞的基本周期運動1-1-1的存在域向較小間隙閾延伸，并且其間嵌入的亞諧碰撞振動顯著減少(主要形式為2-2-2運動)，單側碰撞振動1-1-0存在域減?。桓哳l域內(ω,δ)-參數(shù)平面右側大部分區(qū)域呈現(xiàn)為周期數(shù)n=1非碰撞振動1-0-0，夾雜了少量的無碰狀運動2-0-0，3-0-0，4-0-0。關聯(lián)約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖10(b)所示，參數(shù)平面右上角區(qū)域主要呈現(xiàn)為無碰撞振動0/1，中等頻率域主要呈現(xiàn)為基本周期碰撞振動，其間夾雜了少量的亞諧碰撞振動(主要為1/2，2/2，1/3)；低頻域內基本周期碰撞振動p/1(p≥2)的帶狀域被黏滯運動參數(shù)域和未標識的深灰色區(qū)域切割，完整性遭到了破壞。約束A2處如圖10(c)所示。當μm=0.8時，與約束A1關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖10(d)所示，低頻域內質塊M1對于約束A1左側的基本周期碰撞振動1-r-0(r≥2)存在域與基準參數(shù)時類似，中等頻域內主要呈現(xiàn)為1-1-0運動，其間嵌入了大量的未識別灰色區(qū)域以及亞諧碰撞振動(主要為2-2-0，3-3-0運動)。與約束A12關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖10(e)所示，低頻域內黏滯運動的發(fā)生域收窄，基本周期碰撞振動p/1(p≥2)的帶狀域變寬，相鄰基本周期碰撞振動間的舌形轉遷域變得很小而不易觀察；中頻域內主要呈現(xiàn)為基本周期碰撞振動1/1，亞諧碰撞振動1/2，2/3，3/4，以及較多的未識別灰色區(qū)域。約束A2處如圖10(f)所示。

圖10 不同質量分配比μm條件下，振動系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內周期碰撞振動的模式類型和分布區(qū)域Fig.10 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different mass ratios μm

可見，較小的質量分布比μm，使振動系統(tǒng)在關聯(lián)各約束處的(ω,δ)-參數(shù)平面上基本周期碰撞振動存在域增大，亞諧碰撞振動和未識別的灰色區(qū)域急劇減?。惠^大的質量分布比μm使(ω,δ)-參數(shù)平面上基本周期碰撞振動的存在區(qū)域減小，同時嵌入較多的亞諧碰撞振動和包含概周期運動、混沌運動以及未識別運動的深灰色區(qū)域，使振動系統(tǒng)在關聯(lián)各個約束的(ω,δ)-參數(shù)平面的運動模式類型更為復雜且不可預測。

約束剛度分布比μk表示質塊M2固定于基座的剛度K2，在總剛度(K1+K2)中所占的比值，μk越大則表示剛度K2相較于剛度K1越大。在μk∈(0,1)的參數(shù)范圍，按照間隔Δμk=0.1等間隔取值，選取較小值μk=0.2和較大值μk=0.8與基準參數(shù)相比較。當μk=0.2時，與約束A1關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖11(a)所示，低頻域內質塊M1對于約束A1左側的單邊基本周期碰撞振動1-r-0(r≥2)以及黏滯運動的存在域向小間隙壓縮而減小，特別是1-2-0運動的存在域相較于基準參數(shù)時顯著減小，而雙邊基本周期碰撞振動1-2-1的存在域顯著增加；在激振頻率ω增大的方向上，依次主要呈現(xiàn)為基本周期碰撞振動1-1-1，1-1-0，亞諧碰撞振動2-2-2，2-2-1，6-5-2的帶狀域；在高頻域小間隙范圍嵌入了較大存在區(qū)域的深灰色區(qū)域，以及高周期數(shù)n的無碰撞振動(主要為2-0-0，3-0-0，4-0-0)。與約束A12關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖11(b)所示，低頻域內的基本周期碰撞振動p/1(p≥2)的帶狀域相較于基準參數(shù)時顯著收窄，并且弓形的隆起幾乎消失，相鄰基本周期碰撞振動間的舌狀域也隨之減??；在中等頻率域內，主要呈現(xiàn)為亞諧碰撞振動1/2，2/2，4/6，2/3，基本周期碰撞振動1/1的存在域減?。桓哳l域小間隙范圍，主要呈現(xiàn)為亞諧碰撞振動1/3，1/2，1/4，以及較大面積的灰色區(qū)域。約束A2處如圖11(c)所示。當μk=0.8時，與約束A1關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖11(d)所示，低頻域內基本周期碰撞振動1-r-0(r≥2)的帶狀域中嵌入了大量的深灰色區(qū)域，雙邊基本周期碰撞振動1-2-1，1-1-1向較大間隙閾收縮使其存在區(qū)域急劇減??；中等頻率內主要呈現(xiàn)為單邊基本周期碰撞振動1-1-0，其間嵌入了少量的亞諧碰撞振動(主要為2-2-0)，以及深灰色區(qū)域；高頻域范圍主要呈現(xiàn)為無碰撞周期振動。與約束A12關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖11(e)所示，低頻域內基本周期碰撞振動p/1(p≥2)的帶狀域顯著變寬，弓形隆起更為突出，相鄰基本周期碰撞振動帶狀域之間夾雜的舌形域增大；中等頻域內，基本周期運動1/1，1/2存在域內嵌入了較大面積的深灰色區(qū)域，以及少量的亞諧碰撞振動(主要為6/2，2/3)。約束A2處如圖11(f)所示。

圖11 不同約束剛度比μk條件下，振動系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內周期碰撞振動的模式類型和分布區(qū)域Fig 11 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different constraint stiffness ratios μk

可見，較小的剛度分布比μk使振動系統(tǒng)在與約束A1關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上低頻域內雙邊基本周期碰撞振動存在域增大，中等頻域內呈現(xiàn)較多的亞諧碰撞振動；與約束A12關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上，低頻域內，基本周期碰撞振動p/1(p≥2)帶狀域變窄、弓形隆起消失并且向低頻域壓縮。當剛度分布比μk較大時，與約束A1關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上低頻域內雙邊基本周期碰撞振動存在域減小并嵌入了較多的深灰色區(qū)域。與約束A12關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上，基本周期碰撞振動p/1(p≥2)的帶狀域增寬、弓形隆起進一步加劇，相鄰基本周期碰撞振動間的舌形域面積增大。

4 結 論

本文研究了含多剛性約束的兩自由度碰撞振動系統(tǒng)，通過多目標、多參數(shù)協(xié)同仿真獲得了關聯(lián)各個約束的(ω,δ)-參數(shù)平面上周期碰撞振動的模式類型和分布區(qū)域。

(1) 當激振力分配比f取幾種典型工況：f=0.5，f=0.8，f=0時，振動系統(tǒng)在與各約束關聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上周期碰撞振動呈現(xiàn)為不同的模式類型和分布區(qū)域。當f=0.5時，各個約束處主要呈現(xiàn)為無碰撞周期運動，僅在ω=1.0呈現(xiàn)簡單的周期碰撞振動模式類型。當f=0.8時，低頻域內，基本周期碰撞振動、非完整及完整顫沖擊振動主要存在約束A12處，約束A1以及A2處無碰撞振動。當f=0時，關聯(lián)約束A1和約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面上均呈現(xiàn)出了豐富的碰撞振動特性；約束A2處未發(fā)生碰撞；在約束A1處，低頻域內主要呈現(xiàn)為碰撞發(fā)生于約束左側的基本周期碰撞振動1-r-0(r≥2)，以及非完整和完整顫碰振動。關聯(lián)約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面上，低頻域內主要呈現(xiàn)為基本周期碰撞振動群p/1(p≥2)，非完整和完整顫碰振動。相鄰基本周期碰撞振動p/1和(p+1)/1相互轉遷的不可逆性誘發(fā)了相鄰基本周期碰撞振動發(fā)生域間的奇異點、舌狀域及帶狀遲滯轉遷域。舌狀域由上邊界虛擦邊分岔線Gb，下邊界鞍結分岔線SN或可能存在的周期倍化分岔線PD圍成，其中夾雜的亞諧碰撞振動的主要模式類型為：(np+1)/n(p=1,2,…;n=2,3,…)。

(2) 以f=0的工況為基準參數(shù)，研究了系統(tǒng)參數(shù)中阻尼系數(shù)ζ、質量分布比μm、剛度分布比μk對于系統(tǒng)周期碰撞振動模式類型、分布區(qū)域、轉遷規(guī)律的影響。改變阻尼系數(shù)ζ對于系統(tǒng)基本周期碰撞振動的存在區(qū)域會產(chǎn)生顯著影響。較小的阻尼系數(shù)使系統(tǒng)的緩沖減振特性減弱，低頻域內，p/1(p≥2)帶狀域隆起加劇，舌狀域面積增大，中高頻域嵌入了較多的灰色區(qū)域。隨著阻尼系數(shù)的增大，基本周期運動的存在域向較大間隙閾延伸，灰色區(qū)域顯著減小，系統(tǒng)在較大參數(shù)域范圍處于基本周期運動。相對較小或者較大的質量分布比μm都不利于系統(tǒng)處于基本周期運動。較小的質量分布比使p/1(p≥2)帶狀域嚴重變形，被不規(guī)則的灰色區(qū)域切割，導致成塊狀分布。較大的質量分布比使系統(tǒng)在中高頻域嵌入了較多的灰色區(qū)域。改變約束剛度比μk對于系統(tǒng)的基本周期運動的分布區(qū)域和帶狀域形狀具有較為顯著的影響，但對于灰色域的存在區(qū)域和面積影響較小。當約束剛度比較小時，p/1(p≥2)運動帶狀域較窄，隆起較小，隨著約束剛度比的增大，帶狀域變寬，隆起加劇。

含多間隙、約束的沖擊振動系統(tǒng)廣泛存在于各類動力學系統(tǒng)的研究中，如轉子系統(tǒng)中可能發(fā)生轉子與定子之間、轉軸與軸承間的碰撞摩擦行為；三大件式結構貨車系統(tǒng)中，當發(fā)生蛇行運動時，輪緣與軌道間存在間隙而可能發(fā)生的碰撞振動，一系懸掛中軸箱與導框間存在間隙也會導致碰撞振動。多間隙、約束會使碰撞振動相互疊加影響，使系統(tǒng)的動力學行為更加復雜。雙參數(shù)協(xié)同仿真的研究方法，可以揭示周期性運動的發(fā)生域與結構參數(shù)之間的相關性，從而確定合理的參數(shù)匹配范圍為實際的參數(shù)設計提供一定的理論指導。