閆慧林, 王曉靜, 白玉珍

(北京建筑大學 理學院, 北京 100044)

在過去的二十多年里, 出現(xiàn)了一系列由冠狀病毒引起的傳染病, 如2003年的傳染性非典型肺炎(SARS)、2012年的中東呼吸綜合征(MERS)等。2019年底至今, 新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)在中國乃至全世界大流行。截至2021年1月10日, 我國累計確診病例97 658例,累計死亡病例4 799例; 全球新冠肺炎累計確診90 714 813例, 累計死亡1 943 597例, 給人們的身體健康和生命安全帶來了很大困擾和威脅, 嚴重影響了全球經(jīng)濟、政治和金融行業(yè)的發(fā)展[1]。目前尚不確定人們在感染冠狀病毒后所獲得的免疫能夠保持多長時間[2]。

新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)的癥狀, 一般包括發(fā)熱、鼻塞、流涕、咽痛以及最常見的干咳。輕型和普通型患者一般兩周左右可以痊愈, 重型的患者可能會出現(xiàn)氣促、胸悶、低氧血癥, 甚至進展為呼吸衰竭、急性呼吸窘迫綜合征、膿毒癥休克以及多器官功能衰竭等嚴重情況, 需要入住ICU進行呼吸支持。一般老年人, 或者有嚴重基礎(chǔ)疾病的患者, 進展到危重型的風險較大, 應(yīng)該進行早期預(yù)警。

為研究COVID-19在人群中的傳播情況, 分析影響疾病流行的原因和關(guān)鍵因素, 尋求預(yù)防和控制的最優(yōu)策略, 構(gòu)建合理的能夠刻畫COVID-19傳播的傳染病模型, 并對模型動力學性態(tài)進行定性分析和數(shù)值模擬, 進而分析疾病的發(fā)展過程, 揭示流行規(guī)律, 可以為新型冠狀病毒肺炎的預(yù)防和控制起到指導作用, 具有一定的實際意義和應(yīng)用價值。

1 模型建立

將我國在COVID-19疫情期間的總?cè)丝贜分為9個不同的倉室: 易感者(S)、潛伏期感染者(E)、顯性感染者(I)、隱性感染者(A)、隔離的易感者(Sq)、隔離的潛伏期感染者(Eq)、入院治療者(H)、康復(fù)者(R)和死亡者(M)。基于目前已有的研究基礎(chǔ)[3-8], 為綜合考慮隔離和治療措施對COVID-19傳播的影響，做如下假設(shè):

1)人口總數(shù)在研究區(qū)域內(nèi)呈均勻分布, 且在傳染期內(nèi)人群總數(shù)保持不變。

2)康復(fù)者(R)內(nèi)的治愈者獲得免疫不會二次感染。

3)模擬2020年2—5月的疫情情況, 故不考慮人口的出生率和自然死亡率, 并且忽略遷入率和遷出率。

4)潛伏期感染者(E)、顯性感染者(I)、隱性感染者(A)的傳染力分別為εβ、β、θβ。

由上述假設(shè),建立的倉室模型的流程如圖1所示，參數(shù)意義見表1。

表1 SEIAHRMSqEq模型的參數(shù)意義

其中λ(t)=βc(εE+I+θA)/N，依此構(gòu)建的模型(1)為：

(1)

2 控制再生數(shù)

控制再生數(shù)Rc代表1個閾值, 即當環(huán)境中都是易感者并且存在治療措施, 在平均染病周期內(nèi)具有傳染性的1個感染者有效接觸易感者后, 導致新增的平均感染人數(shù)。當Rc>1時, 疫情一般會繼續(xù)擴散; 當Rc<1時, 可以認為疫情得到了有效的控制[9-11]?？紤]到我國現(xiàn)在嚴控嚴防的隔離措施, 因此隔離的易感者Sq、隔離的潛伏期感染者Eq、入院治療者H在嚴格的隔離措施下, 不具備繼續(xù)擴散傳染的能力,康復(fù)者R獲得免疫, 因此在短期內(nèi)不能再次被感染, 不參與疾病傳播, 故只需研究模型(2)：

(2)

模型(2)具有感染力的倉室為E、I、A,模型(2)的無病平衡點P0=(S0,0,0,0)。

由

(3)

(4)

可以算出:

(5)

(6)

(7)

可求出控制再生數(shù)為:

Rc=ρ(FV-1)=

(8)

3 穩(wěn)定性及敏感度分析

定理:如果Rc<1,模型(2)的無病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的;Rc>1時不穩(wěn)定。

證明:模型(2)在無病平衡點P0的雅可比矩陣[12-13]為:

J|P0=

(9)

由特征多項式(10)：

|λE-J|P0|=

(10)

可得：

λ3+[γI+α+η+γA+k-(1-ρ)φβcε]λ2+

{(γI+α+η)γA+(γI+α+η+γA)[k-

(1-ρ)φβcε]-(1-ρ)φβcpk-

(1-ρ)φβcθk(1-p)}λ+

(γI+α+η)γA[k-(1-ρ)φβcε]-(1-ρ)φβcpkγA-

(1-ρ)φβcθk(1-p)(γI+α+η)=0

(11)

為方便計算,將上面的式子記為：

λ3+p1λ2+p2λ+p3=0

(12)

其中p1、p2、p3分別為：

p1=k(1-R0)+μpk+μθk(1-p)+γI+α+η

(13)

p2=k(1-R0)(γI+α+η+γA)+

(14)

p3=(1-R0)kγA(γI+α+η)

(15)

其中μ=(1-ρ)φβc。

顯然當Rc<1時,有p1>0、p2>0并且：

p1p2-p3=k2(1-R0)2(γI+α+η+γA)+

(1-R0)(γI+α+η)γAk+

(1-R0)(γI+α+η+γA)μpk2(1-p)+

(γI+α+η)μθkγA(1-p)+k(1-R0)(γI+α+η)2+

(16)

故由Hurwitz定理可知模型(2)的雅可比矩陣的特征多項式的特征根具有負實部,因此無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的。

當Rc>1時,有p1>0、p2>0和p3=(1-Rc)kγA(γI+α+η)<0,因此可知特征多項式至少有一個特征值是正的,所以無病平衡點是不穩(wěn)定的。

敏感度分析是了解參數(shù)對疾病的影響以及如何控制疾病發(fā)展的一種重要方法[14-15]。變量m關(guān)于n的敏感度指數(shù)定義為:

(17)

將計算Rc對每個參數(shù)的敏感度。依次求Rc關(guān)于φ、β、θ、ε、c的偏導數(shù),可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由計算可知,Rc隨著φ、β、θ、β、c的增加而增加。由Rc關(guān)于ρ、η、k、γA、γI的偏導數(shù)：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

可發(fā)現(xiàn)Rc隨著ρ、η、k、γA、γI的增加而減小。

綜上所述,Rc隨著ρ的增加而減少,當ρ>0.5時Rc對ρ的變化最為敏感,ρ的增加會導致Rc相同甚至更多比例地減少;當ρ<0.5時Rc隨著ρ的增加而減少;φ、β、c的增加會導致Rc相同比例地增加。從敏感度分析可知,在傳染病傳播過程中減少接觸率對控制疾病傳播有更好的效果。

4 數(shù)值模擬

查詢2020年2—5月國家衛(wèi)生健康委員會關(guān)于COVID-19的數(shù)據(jù)[1],可知當下新型冠狀肺炎疫情在我國已經(jīng)得到了較好的控制。

由圖2可知，2020年2—5月, 我國新增確診人數(shù)正在逐漸減少，累計死亡人數(shù)在長時間內(nèi)保持不變。

圖2 新增確診人數(shù)和累計死亡人數(shù)隨時間序列

由圖3可知，2020年2—5月, 我國累計確診人數(shù)逐漸增加但增幅越來越小，累計治愈人數(shù)也在同步增加, 兩者間的差距日益縮小, 我國現(xiàn)存確診人數(shù)在逐漸減少, 截至2020年5月31日, 我國現(xiàn)存確診人數(shù)不足100人。

圖3 累計確診人數(shù)、累計治愈人數(shù)和現(xiàn)存確診人數(shù)隨時間序列

由圖4可知,Rc隨著φ、β、θ、ε的增加而增加,且Rc對β的變化最敏感。

圖4 Rc隨φ、β、θ、ε的變化趨勢

由圖5可知,Rc隨著η、k、γI、γA的增加而減少, 且Rc對k、γA的變化更敏感。

圖5 Rc隨η、k、γI、γA的變化趨勢

5 結(jié)論

本文構(gòu)建了一類具有隔離和治療措施的新型冠狀病毒肺炎傳染病模型,預(yù)測了COVID-19的發(fā)展趨勢,對模型的局部穩(wěn)定性進行了系統(tǒng)的分析,確定了傳染病是否流行的閾值Rc。研究結(jié)果表明當Rc<1時,系統(tǒng)的無病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的,即當Rc<1時,疾病會逐漸消失;當Rc>1時,疾病會持續(xù)傳播。

基于對模型(2)的控制再生數(shù)Rc和無病平衡點P0的靈敏度分析和數(shù)值模擬結(jié)果, 可知傳染率系數(shù)β和接觸率c對疫情的傳播起到了至關(guān)重要的影響。通過媒體宣傳教育等各種手段提醒民眾注意個人衛(wèi)生清潔, 加強自我防范意識, 減少非必要外出活動, 切斷傳播途徑，能夠有效地降低疫情傳播能力進而達到防控的目的。