李夢月，李必文

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

自Pecora L M和Carroll T L[1]引入混沌同步以來，同步在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面的研究已然成為一個熱門的課題。聚同步即屬于同一個集群的個體完全同步，來自不同集群的個體不同步。作為一種更復(fù)雜的同步模式，近年來對于它的研究已涉及到了很多領(lǐng)域，如萬維網(wǎng)絡(luò)、電網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)和細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[2，3]。Cao Jinde等人[4]研究了具有時滯的混合耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚同步問題，通過構(gòu)造特殊的耦合矩陣，提出了實現(xiàn)聚同步的新方法。文獻(xiàn)[5]討論了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在有限時間的隨機(jī)同步問題，利用有限時間穩(wěn)定性理論和不等式技巧，得到了保證復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)隨機(jī)同步的充分條件。Liu Peng等人[6]從整數(shù)階的集群同步拓展到分?jǐn)?shù)階，研究了具有時滯的分?jǐn)?shù)階耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸近和有限時間聚同步問題，通過引入分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論和Filippov正則化框架，得到了實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)漸近和有限時間聚同步的充分條件。更多的結(jié)果可參看文獻(xiàn)[7～10]。值得注意的是這些研究主要是實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

在大量的實際應(yīng)用中，復(fù)信號經(jīng)常出現(xiàn)，實值網(wǎng)絡(luò)不易解決此類問題，因此對復(fù)值網(wǎng)絡(luò)的研究變得極為重要。在各領(lǐng)域研究者的不懈努力與探索下，復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已基本建立，并且在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如聯(lián)想記憶、圖像處理和通信[11～14]等。復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種擴(kuò)展，它有更復(fù)雜的狀態(tài)，權(quán)值矩陣，激活函數(shù)等。它能解決更為復(fù)雜的問題，如單一實值神經(jīng)元無法解決的XOR問題和探測對稱問題。從而對復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)研究是十分重要的，目前對復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究包括平衡點的存在唯一性[15]、各種穩(wěn)定性問題[16～21]和各種同步問題等。值得注意的是，雖然近年來對復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題已有不少研究，如文獻(xiàn)[22]研究了具有離散和分布式的兩個加性時變時滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步，并基于矩陣不等式和倒凸方法，得到了確定復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主從全局同步的準(zhǔn)則。Chen jie jie等人[23]研究了具有時滯的分?jǐn)?shù)階復(fù)值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定和自適應(yīng)最終Mittag-Leffler同步。在文獻(xiàn)[24]中，Zhang wei wei等人通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，利用分?jǐn)?shù)階比較原理，建立了具有遺漏時滯分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的一些準(zhǔn)則等。但是關(guān)于復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)聚同步這方面的研究還比較少。

在實際生活中時滯幾乎是無法避免的，尤其是在信號傳輸?shù)倪^程中，由于放大器的切換速度有限，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不可避免的會有延遲，這會給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)造成震蕩、分岔、不穩(wěn)定等問題，從而影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為，因此討論具有時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為十分重要。

基于以上討論，本文的目的旨在研究具有時變時滯的復(fù)值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚同步問題。利用Halanay不等式，F(xiàn)ilippov解的框架和微分包含原理，得到了復(fù)值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在相應(yīng)控制策略下實現(xiàn)漸近和有限時間聚同步的充分條件。本文余下部分組織如下，第一節(jié)是對本文符號進(jìn)行說明和模型的描述。第二節(jié)給出了本文的主要結(jié)果。在第三節(jié)中用兩個數(shù)值例子說明了我們所得結(jié)果的有效性。最后一節(jié)給出結(jié)論。

1 準(zhǔn)備工作

1.1 符號說明

C([t0-τ,t0],n)表示具有一致收斂拓?fù)涞膹膮^(qū)間[t0-τ,t0]到n連續(xù)函數(shù)的Banach空間。QR和QI分別表示矩陣Q∈m×n的實部和虛部。

1.2 模型描述

用Ω={N，ε，G}表示有節(jié)點集N={1，2，…，N}(∈+,N>2),邊集ε?N×N和耦合矩陣

G=[gsj]N×N∈N×N的圖，這里的gsj滿足：對于任意的s=1,…,N有如果從第s個節(jié)點到第j個節(jié)點間有連接，則gsj>0，否則gsj=0.用{W1,W2,…,WM}表示具有M(2≤M

考慮由N個復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的耦合系統(tǒng)，第s個復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)方程可描述為：

(1)

這里的zs(t)=(zs1(t),zs2(t),…,zsn(t))T∈n表示第s個復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在t時刻的狀態(tài)向量；

f(zs(t))=(f1(zs1(t)),f2(zs2(t)),…,fn(zsn(t)))T∶n→n表示神經(jīng)元的激活函數(shù)；τ(t)是時變傳輸時滯且滿足n表示外部輸入；us(t)是被設(shè)計的控制器。

在本文中，我們假設(shè)(1)中的激活函數(shù)滿足如下所給假設(shè)條件：

假設(shè)2 令w=w1+iw2，其中w1,w2∈.fm(w)可由它的實部和虛部表示為：

基于以上假設(shè)，現(xiàn)令zs(t)=xs(t)+iys(t)，其中xs(t)，ys(t)∈n則復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)可改寫為如下形式：

(2)

將其寫成如下更緊湊的形式：

(3)

這里

F1(ps(t))=((fR(xs(t)))T,(fR(xs(t)))T)T

F2(ps(t))=((fI(ys(t)))T,(fI(ys(t)))T)T

系統(tǒng)(3)的初始條件如下：

(4)

則復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)能夠以有限時間t1實現(xiàn)集群{W1,W2,…，WM}的聚同步。這里的rk(t)表示第k個集群所有節(jié)點的相同局部動態(tài)。它可能是第k個集群中的平衡點，周期軌道或者是一個混沌吸引子，且滿足如下微分方程：

(5)

類似地，把該復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分解為實部和虛部，則(5)可改寫為如下形式：

(6)

其中

假設(shè)3 假設(shè)耦合矩陣G滿足

其中Gkk∈(lk-lk-1)×(lk-lk-1)是一個具有非對角元素非負(fù)的零行和矩陣，Gkr∈(lk-lk-1)×(lr-lr-1)(k≠r)是零行和矩陣，k，r=1,2,…,M.

結(jié)合假設(shè)3和(5)式，對于任意的s∈Wk，k=1,2,…,M，有下式成立：

(7)

在推導(dǎo)本文的結(jié)果前，先給出下面幾個非常有用的引理。

引理1[25]如果存在常數(shù)k1>k2>0，使得定義在[t0-τ,+∞)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)y(t)滿足如下不等式：

h→0+表示h從右邊趨向于0.

引理2 假設(shè)V(t)是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，如果

D+V(t)≤μ1V(t)+μ2?t≥t0

其中μ1≠0和μ2為常數(shù)，則對于任意的t≥t0，有下式成立：

V(t)≤(V(t0)+μ2/μ1)eμ1(t-t0)-μ2/μ1

證明 在不等式D+V(t)≤μ1V(t)+μ2兩邊同乘e-μ1(t-t0)，則有D+(e-μ1(t-t0)V(t))≤μ2e-μ1(t-t0)，接著對該不等式左右兩邊從t0到t積分，即可得到V(t)≤(V(t0)+μ2/μ1)eμ1(t-t0)-μ2/μ1.

2 主要結(jié)果

在這節(jié)中，給出了復(fù)值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)漸近和有限時間聚同步的判據(jù)。

2.1 漸近聚同步

令es(t)=ps(t)-qk(t)，s∈Wk，控制器設(shè)計如下：

(8)

根據(jù)(3)(6)(7)和假設(shè)1，誤差動力系統(tǒng)可以描述為：

(9)

基于以上準(zhǔn)備，得到如下結(jié)果：

(10)

構(gòu)造如下非負(fù)函數(shù)

下面計算V(t)沿著系統(tǒng)(9)方向的右上Dini導(dǎo)數(shù)

(12)

這里的sgn(es(t))=(sgn(es1(t))，sgn(es2(t)),…,sgn(es,2n(t)))T∈2n,

顯然

(13)

(14)

類似地，令

可以得到

(15)

(16)

和

(17)

另一方面，有如下不等式成立

(18)

利用耦合矩陣G的性質(zhì)，我們可以得到

和

然后結(jié)合(18)式可得如下不等式

(19)

接著，依次結(jié)合不等式(13)(14)(15)(16)和(17)得到不等式：

≤-aminV(t)+bmaxV(t-τ(t))

這里的

定理證明完畢。

2.2 有限時間聚同步

由于設(shè)計的控制規(guī)律us(t)是不連續(xù)的，因此系統(tǒng)(1)的解不能用常規(guī)意義下的解來定義。為了得到系統(tǒng)(1)的解，下面考慮Filippov意義下的解。

首先介紹關(guān)于集值映射的定義。對于任意的E?n，令

ER={Re(z)∶z∈E}EI={Im(z)∶z∈E}

假設(shè)E?n，稱z→F(z)是由E到n的集值映射，如果對任意z∈E，存在非空集合F(z)?n.

由文獻(xiàn)[23]，我們可以定義系統(tǒng)(1)的Filippov解，如果z(t)在[t0,∞)的任意緊區(qū)間上絕對連續(xù)且滿足微分包含：

(20)

則稱復(fù)值函數(shù)z(t)是系統(tǒng)(1)在[t0,∞)上滿足初值條件下的一個Filippov解，其中K[us(t)]表示us(t)的凸閉包?？刂埔?guī)律如下：

(21)

令us(t)的集值映射為：

其中

將系統(tǒng)(1)分解為實部和虛部，則其微分包含可表示為

根據(jù)(5)(6)(7)，假設(shè)1和微分包含原理，可得對于任意的t≥t0，誤差系統(tǒng)滿足下式

(22)

(23)

另外可得

(24)

(25)

最后將(23)式和(13)(14)(15)(19)和(25)式結(jié)合，有下面不等式成立

(26)

根據(jù)引理2，V(t)≤(V(t0)+)e-η(t-t0)-,這里的令

(27)

下證對于所有t≥T1，有V(t)=0成立。

作為定理2的一個特殊的情況，有如下結(jié)果成立：

(28)

3 數(shù)值模擬

這節(jié)中，我們將給出幾個數(shù)值例子來闡述該文章的主要結(jié)果。

例1 考慮二維復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)，對于任意的zsj=xsj+iysj，其中xsj，ysj∈，激活函數(shù)滿足

對于任意的t∈[-1,0]，rk=(0.5+0.8i,-2-3i)T，k=1,2,3.給定復(fù)值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的耦合矩陣如下

且系統(tǒng)(1)分為三個集群W1={1,2,3}，W2={4,5}，W3={6,7}.基于以上陳述，可得

(29)

通過計算可得：

這是一個非奇異M-矩陣。根據(jù)定理1，系統(tǒng)(1)在控制器(29)下能夠?qū)崿F(xiàn)漸近聚同步。在模擬中，對于任意t∈[-1,0],令z1(t)=z4(t)=z6(t)=(0.5+0.8i,-2-3i)T，并且

zs(t)=(xs1+iys1，xs2+iys2)Ts=2,3,5,7

圖1 控制器(29)下的實部同步誤差軌跡 圖2 控制器(29)下的虛部同步誤差軌跡

由圖3和圖4也可看出所有狀態(tài)實現(xiàn)漸近聚同步。

圖3 控制器(29)下集群W1，W2，和W3的實部狀態(tài)圖 圖4 控制器(29)下集群W1，W2和W3的虛部狀態(tài)圖

(30)

并令

通過計算可得

根據(jù)定理2，系統(tǒng)(1)在控制器(30)下可以在有限時間實現(xiàn)聚同步，另外對于任意t∈[-1,0]，令z1(t)=z4(t)=z6(t)=(0.5+0.8i,-7-8i)T，zs(t)的實部和虛部同例1是從[-10,10]中隨機(jī)產(chǎn)生的，其中s=2,3,5,7，于是可得這個同步時間估計值T1=16.8501.圖5和圖6可看出系統(tǒng)t≤2在同步，另外圖7和圖8也能明顯看出所有狀態(tài)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)了聚同步。這表明實際同步時間可能遠(yuǎn)小于理論獲得值T1.這是因為定理2中T1是同步時間的上確界。因此找到有限時間同步更精確的上確界是一個值得探討的問題。

圖5 控制器(30)下的實部同步誤差軌跡

圖7 控制器(30)下集群W1，W2和W3的實部狀態(tài)圖 圖8 控制器(30)下集群W1，W2和W3的虛部狀態(tài)圖

4 結(jié)論

本文主要討論了具有時變時滯的復(fù)值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸近和有限時間聚同步的問題。在處理復(fù)值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題上采用實部虛部分離的方法?；贖alanay不等式理論得到了復(fù)值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)漸近聚同步的充分條件?；贔ilippov解的框架和微分包含原理給出了復(fù)值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不連續(xù)控制規(guī)律下實現(xiàn)有限時間聚同步的準(zhǔn)則，并推導(dǎo)出了同步時間的上確界。有限時間聚同步更精確的上確界是進(jìn)一步可探討研究的問題。另外將漸近聚同步問題中的控制器設(shè)計為脈沖控制器或基于事件觸發(fā)的脈沖控制器也是我們下一步考慮研究的方向。