丁文旭，李 瑩，王 棟，王 濤

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

對(duì)于多線性乃至非線性系統(tǒng)問題計(jì)算的數(shù)值方法,矩陣表示一直是一個(gè)無法繞行的瓶頸問題。對(duì)此,程代展研究員提出了矩陣半張量積這一有利工具。相比矩陣普通乘法,矩陣半張量積打破了矩陣維數(shù)的限制,并且滿足準(zhǔn)交換性。 目前,矩陣半張量積的應(yīng)用越來越廣泛,函數(shù)矩陣微分、非線性多元映射的泰勒展式、向量場和函數(shù)等運(yùn)算都可通過矩陣半張量積來實(shí)現(xiàn)[1]。此外,在非線性控制系統(tǒng)的對(duì)稱性[2,3]、非正規(guī)反饋線性化[4]、布爾網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[5,6]、系統(tǒng)的能控能觀性的判斷[7]、布爾網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定和鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)最優(yōu)問題[8]、圖染色[9]以及博弈論的邏輯動(dòng)態(tài)過程和策略最優(yōu)化[10]等問題的研究中均體現(xiàn)出矩陣半張量積的合理性、有效特殊型矩陣在許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,其中形如性和優(yōu)越性。本文將半張量積的應(yīng)用范圍進(jìn)一步拓展到復(fù)線性矩陣方程的特型解的計(jì)算問題中。

的矩陣被稱為Toeplitz矩陣,其在工程中有大量應(yīng)用。例如,在雷達(dá)、聲吶探測等目標(biāo)定位領(lǐng)域,有賴于利用Toeplitz矩陣將陣列觀測數(shù)據(jù)的相干函數(shù)進(jìn)行重排,構(gòu)造一滿秩的Toeplitz矩陣,再利用奇異值分解來提高對(duì)相干信源的DOA估計(jì)性能[11]; 利用四元數(shù)Toeplitz矩陣重構(gòu)算法解決電磁矢量陣列的相干信源波達(dá)方向估計(jì)[12],此外,在偏微分方程和卷積型積分方程的求解、pade逼近和控制理論中的最小實(shí)現(xiàn)問題中也起著十分重要的作用[13]。

線性矩陣方程可以被用來解決結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、振動(dòng)分析、自動(dòng)控制等諸多實(shí)際問題,關(guān)于矩陣方程的理論及算法已有大量的文獻(xiàn)[14-16]。例如對(duì)于矩陣方程的Toeplitz解,應(yīng)用格點(diǎn)濾波理論導(dǎo)出了一種遞推解法[17],利用矩陣的Kronecker積、Vec算子和MP廣義逆給出了AXB+CYD=E的Toeplitz矩陣解和對(duì)稱Toeplitz矩陣解的表達(dá)式等[18]。本文利用矩陣半張量積研究復(fù)矩陣方程AX=B的下上三角形Toeplitz解。

本文內(nèi)容安排,第1部分給出所需的預(yù)備知識(shí),第2部分提出關(guān)于復(fù)向量、復(fù)矩陣的新的實(shí)向量表示并研究其運(yùn)算性質(zhì),第3部分,結(jié)合復(fù)矩陣的實(shí)向量表示和矩陣半張量積研究問題1、2的解，第4部分,給出算法及數(shù)值例子檢驗(yàn)方法的有效性,最后,第5部分總結(jié)全文。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[19]設(shè)A∈Rm×n,B∈Rp×q,n與p的最小公倍數(shù)為t=lcm(n,p),則A與B的半張量積定義為A×B=(A?It/n)(B?It/p)。

當(dāng)n=p時(shí),A與B的半張量積轉(zhuǎn)化成A與B的普通乘積。

半張量積具有如下性質(zhì)。

定理1[20]設(shè)x∈Rm,y∈Rn,則x×y=x?y。

定理2[21]設(shè)x∈Rm,A為任意實(shí)矩陣,則x×A=(Im?A)×x。

MF稱為F的結(jié)構(gòu)矩陣。

2 復(fù)矩陣的實(shí)向量表示及性質(zhì)

本節(jié)我們將提出復(fù)矩陣的實(shí)向量表示的概念。為此,首先定義復(fù)數(shù)的實(shí)向量表示。

定義3 設(shè)x=x1+x2i∈C,記vR(x)=(x1,x2)T,稱vR(x)為復(fù)數(shù)x的實(shí)排列式。

利用矩陣半張量積,可將兩復(fù)數(shù)相乘的實(shí)排列式利用兩復(fù)數(shù)的實(shí)排列表示。

相仿地,可以定義復(fù)向量的實(shí)排列。

定義4設(shè)x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)T為復(fù)向量,分別稱

為復(fù)向量x和y的實(shí)排列。

下面利用復(fù)向量的實(shí)排列定義復(fù)矩陣的實(shí)向量表示的概念。

定義5設(shè)A∈Cm×n,Colj(A)(1≤j≤n),Rowi(A)(1≤i≤m)分別表示A的第j列和第i行,稱

分別為復(fù)矩陣A的實(shí)列排及實(shí)行排。

我們提出并證明復(fù)向量和復(fù)矩陣的實(shí)向量表示的如下性質(zhì)。

(2)vR(ax)=avR(x),

證明(1),(2)顯然成立。下面僅證性質(zhì)(3)。利用定理4,可得

vR(xy)=vR(〗x1y1+x2y2+…+xnyn)

=MC×v(x1)×vR(y1)+…+MC×vR(xn)×vR(yn)

=MC×[v(x1)×vR(y1)+…+vR(xn)×vR(yn)]

其中

證明(1)-(3)顯然成立,僅證(4)。記

則有

3 問題1、2的解

定理8設(shè)A,B∈Cm×n,AX=B有下三角Toeplitz解當(dāng)且僅當(dāng)

(1)

(2)

證明X為復(fù)矩陣方程AX=B的下三角Toeplitz解,可以得到

‖AX-B‖=0,

利用MP逆的性質(zhì)得

類似的可以得到問題2的解,證明過程省略。

定理9設(shè)A,B∈Cm×n,AX=B有上三角Toeplitx解當(dāng)且僅當(dāng)

(3)

極小范數(shù)上三角Toeplitz解XU滿足

(4)

4算法及數(shù)值例子

算法1(問題1)設(shè)AX=B滿足具有下三角Toeplitz解的條件，本算法用于計(jì)算極小范數(shù)下三角Toeplitz解。

(2) 輸入G,T,輸出矩陣M;

(3) 根據(jù)(2),輸出問題1的極小范數(shù)下三角Toeplitz解XL的有效元素實(shí)排列結(jié)果,可進(jìn)一步得到XL。

算法2(問題2)設(shè)AX=B滿足具有上三角Toeplitz解的條件，本算法用于計(jì)算極小范數(shù)上三角Toeplitz解。

(3) 根據(jù)(4),輸出問題2的極小范數(shù)上三角Toeplitz解XU的有效元素實(shí)排列結(jié)果,可進(jìn)一步得到XU。

算例1考慮復(fù)矩陣方程AX=B的下、上三角形Toeplitz解,不妨令m=n。A在Matlab中利用‘rand’隨機(jī)生成:A=rand(n)+rand(n)i。 隨機(jī)生成兩個(gè)向量,利用‘Toeplitz’及Tril(Triu)生成下上三角形Toeplitz矩陣XL(XU)。計(jì)算B=AX,n=5k(k=1:8)。

圖1 下三角形Toeplitz解的誤差

圖2 上三角形Toeplitz解的誤差

由圖中數(shù)據(jù)可以看出,利用算法1和2所得的不同規(guī)模的矩陣方程的解的誤差的數(shù)量級(jí)均小于-13,充分說明了該算法的有效性。

5 結(jié)論

本文介紹了基于矩陣半張量積求解復(fù)線性系統(tǒng)AX=B的三角形Toeplitz解的新方法。利用復(fù)矩陣的實(shí)向量表示,將復(fù)矩陣方程轉(zhuǎn)化為實(shí)矩陣方程,進(jìn)而給出AX=B的上、下三角形Toeplitz通解的表達(dá)式。利用數(shù)值例子驗(yàn)證了這種方法的有效性。該方法還可以應(yīng)用于其他多種代數(shù)結(jié)構(gòu)上線性系統(tǒng)的特型解的計(jì)算,為矩陣半張量積在數(shù)值分析領(lǐng)域?qū)ふ业搅诵碌膽?yīng)用價(jià)值。