趙新華，劉培昌，趙 磊*，李 彬

（1.天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300384；2.天津理工大學(xué)機(jī)電工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津300384；3.天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300384）

1 引 言

機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展在對提高先進(jìn)生產(chǎn)競爭力、促進(jìn)國民經(jīng)濟(jì)以及提高戰(zhàn)略地位具有重要深遠(yuǎn)的意義。在機(jī)器人應(yīng)用中，串聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡單和易操作的特點(diǎn)，最早被運(yùn)用到工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域［1］。但由于僅擁有一條控制鏈，存在誤差積累效應(yīng)，工作速度相對較低。并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有負(fù)載能力強(qiáng)、剛度大和誤差不累積等優(yōu)勢，但由于存在多條控制鏈，關(guān)節(jié)數(shù)量多，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦難度較大［2-4］。從力學(xué)角度分析，對于高速并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，隨著機(jī)構(gòu)原動(dòng)構(gòu)件轉(zhuǎn)速的提高，慣性負(fù)荷會(huì)成為激振力的主要組成部分，而且激振力的頻率也隨之提高［5］。由于連桿機(jī)構(gòu)的各構(gòu)件的慣性負(fù)荷與原動(dòng)構(gòu)件轉(zhuǎn)速的平方成正比，故隨著機(jī)械速度的增加，并聯(lián)機(jī)器人擁有的多個(gè)關(guān)節(jié)的彈性變形以及內(nèi)部慣性力的耦合作用越加明顯，導(dǎo)致軌跡動(dòng)態(tài)跟蹤時(shí)機(jī)器人伴隨著不同程度的振動(dòng)［6-8］。雖然具有多支鏈、大范圍運(yùn)動(dòng)工業(yè)并聯(lián)機(jī)器人的控制精度相對較低，但其擁有的高速和高負(fù)載等明顯優(yōu)勢使其仍在工業(yè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［9］。

并聯(lián)機(jī)器人具有良好的高速運(yùn)動(dòng)特性，但也存在精度和平穩(wěn)性相對較差的難題。通常采用誤差補(bǔ)償來提高工作精度，選取合理的控制策略實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的高速平穩(wěn)控制。各種數(shù)值算法如改進(jìn)蟻群算法、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法被應(yīng)用到機(jī)器人路徑規(guī)劃［10-12］?，F(xiàn)階段，工業(yè)機(jī)器人在進(jìn)行實(shí)際軌跡跟蹤時(shí)，在軌跡末端存在一定的慣性速度導(dǎo)致不同程度的沖擊晃動(dòng)，末端控制精度和平穩(wěn)性較差［13-14］。目前，機(jī)器人系統(tǒng)中常用的速度規(guī)劃算法有梯型速度規(guī)劃算法和S型速度規(guī)劃算法。Hu等［15］通過梯型速度規(guī)劃方法控制機(jī)床，驗(yàn)證加速度的不連續(xù)變化會(huì)引起振動(dòng)和沖擊。史步海等［16-18］提出一種等價(jià)梯型的新型S型速度規(guī)劃算法，算法簡單，一定程度上降低機(jī)械沖擊，但實(shí)質(zhì)上仍屬于梯型速度規(guī)劃。文獻(xiàn)［17-18］研究表明：S型速度規(guī)劃雖然控制算法比梯型控制更為復(fù)雜，但速度過渡更為平滑，有效緩解或消除梯型控制存在的因速度突變產(chǎn)生的誤差尖峰。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，采用S型速度規(guī)劃算法仍然無法消除或緩解在軌跡末端呈現(xiàn)的沖擊效應(yīng)。

針對3-RRRU大范圍平動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦和速度自適應(yīng)規(guī)劃方法展開系統(tǒng)、深入地研究。應(yīng)用DH法建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦模型，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人的自動(dòng)化控制；在S型速度規(guī)劃策略中引入自適應(yīng)修正機(jī)制，實(shí)現(xiàn)了不同軌跡下最大速度的自適應(yīng)優(yōu)化，避免了由于速度參數(shù)設(shè)置不合理導(dǎo)致S型速度曲線的不對稱分布，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人軌跡跟蹤過程中速度過渡的平滑性和平穩(wěn)控制。開展軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所采用速度自適應(yīng)規(guī)劃方法的有效性和可行性。

2 并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦

2.1 并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)

圖1 是本文所研究的3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人，由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和三條支鏈構(gòu)成。圖2是其對應(yīng)的結(jié)構(gòu)示意圖，靜平臺(tái)固定在上方，動(dòng)平臺(tái)則位于下方，且靜、動(dòng)平臺(tái)均為正三角。三條支鏈結(jié)構(gòu)相同，每條支鏈由三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和一個(gè)虎克鉸連接而成?？拷o平臺(tái)的均為驅(qū)動(dòng)副，其余為被動(dòng)副；Aij為第i支鏈第j的運(yùn)動(dòng)副，三個(gè)驅(qū)動(dòng)副的軸線均平行于三個(gè)相鄰被動(dòng)副的軸線，同時(shí)平行于靜平臺(tái)所在平面，又分別垂直于第三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副（即第二組被動(dòng)副）的軸線，三個(gè)虎克鉸與動(dòng)平臺(tái)連接。

2.2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系的建立

以第一條支鏈為例建立運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系，O是靜平臺(tái)的幾何中心，也是基坐標(biāo)系O-x0y0z0的原點(diǎn)，OZ0垂直于靜平臺(tái)，設(shè)OX0的方向?yàn)閄軸方向，如圖3所示。θij為第i支鏈第j關(guān)節(jié)的角位移，旋轉(zhuǎn)軸zi1垂直于軸zi2和zi3，zi3平行于軸zi4；動(dòng)平臺(tái)的幾何中心為P，其坐標(biāo)系O-x′0y′0z′0三個(gè)坐標(biāo)軸的方向與靜平臺(tái)坐標(biāo)系O-x0y0z0的坐標(biāo)軸方向相同。設(shè)機(jī)器人支鏈中各桿件長度為Lij（第i條支鏈中第j個(gè)桿件），R和r分別為靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)的外接圓半徑。

圖1 3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人Fig.1 3-RRRU parallel robot

圖2 3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure diagram of 3-RRRU parallel robot

圖3 第一支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系Fig.3 Kinematic coordinate system of the first branch chain

2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

為了實(shí)現(xiàn)3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人的自動(dòng)化控制，應(yīng)用DH法建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。第一支鏈齊次傳遞矩陣T可表示為：

其中：AR為靜平臺(tái)幾何中心到第一關(guān)節(jié)的齊次變換矩陣，Aij為第i支鏈第j的運(yùn)動(dòng)副。

相關(guān)矩陣參數(shù)如表1所示，對式（1）作如式（2）般變換：

表1 第一支鏈DH矩陣參數(shù)Tab.1 DH matrix parameters of the first chain

代入矩陣參數(shù)可得到第一支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如式（3）所示：

基于機(jī)器人結(jié)構(gòu)約束，關(guān)節(jié)θ13∈[-π/2，π/2]，故由式（3）可得：

將式（4）代入式（3）矩陣方程進(jìn)而可求得剩余轉(zhuǎn)角θ11和θ12。同理，將坐標(biāo)系A(chǔ)R分別旋轉(zhuǎn)60°和120°，亦可完成其他兩條支鏈關(guān)節(jié)角的計(jì)算。結(jié)合表2中機(jī)器人各構(gòu)件參數(shù)可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦計(jì)算，具體計(jì)算過程這里不做過多贅述，詳見參考文獻(xiàn)［19］。

3 速度控制策略優(yōu)化

表2 各構(gòu)件參數(shù)Tab.2 Parameters of each component（mm）

3.1 速度自適應(yīng)修正方法

軌跡規(guī)劃是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的核心，旨在確定機(jī)器人末端執(zhí)行器在其工作空間的軌跡［19-21］。關(guān)于梯型控制原理在文獻(xiàn)［16］已詳細(xì)說明，此處不做贅述，標(biāo)準(zhǔn)S型加減速控制過程共由7個(gè)階段組成，分別為加加速、勻加速、減加速、勻速、加減速、勻減速和減減速，文獻(xiàn)［17］給出了位移、速度和加減速過程曲線如圖4所示。圖4中每個(gè)控制階段的加速度和速度均可通過下式（5）中的加速度和速度函數(shù)計(jì)算獲取。S型控制過程相比梯型復(fù)雜很多，設(shè)最大速度vm即勻速階段速度，最大加速度am，加加速度J，軌跡長度為s，s123表示經(jīng)過加加速階段s1、勻加速階段s2、減加速階段s3達(dá)到最大速度時(shí)完成的位移；s13表示僅經(jīng)過加加速段s1和減加速階段s3達(dá)到最大速度時(shí)完成的位移，對s123和s13可由式（5）中的速度和加速度函數(shù)計(jì)算得到。

圖4 S型加減速控制過程Fig.4 Acceleration and deceleration of S-type control

S型速度規(guī)劃策略中，常采用參數(shù)定值控制方式，當(dāng)軌跡較短時(shí)致使預(yù)設(shè)最大速度值不合理，引起速度曲線呈現(xiàn)不對稱分布，此時(shí)機(jī)器人產(chǎn)生沖擊效應(yīng)即出現(xiàn)明顯的晃動(dòng)?；谏鲜龇治?，引入最大速度自適應(yīng)修正機(jī)制如下：

（1）若2s123≤s，仍采用標(biāo)準(zhǔn)S型定值速度控制策略驅(qū)動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行預(yù)設(shè)軌跡的動(dòng)態(tài)跟蹤；

（2）當(dāng)2s13≤s＜2s123，由式（5）可知在給定路徑內(nèi)可以達(dá)到最大加速度am，但無法加速到最大速度vm而進(jìn)入勻速階段，故S型最大速度vm修正為vnew如下：

則修正前、后速度曲線如圖5所示。

圖5 修正前后S型控制速度曲線Fig.5 S-type speed curve before and after correction

基于上述修正機(jī)制，速度自適應(yīng)規(guī)劃步驟如下：

Step1：在預(yù)設(shè)路徑軌跡上共采樣n個(gè)位置點(diǎn)，Po(xo，yo，zo)和Pi(xi，yi，zi)分別為機(jī)器人初始位置原點(diǎn)和路徑軌跡上第i（i=1，2，...，n）點(diǎn)得空間理論坐標(biāo)，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)反解控制機(jī)器人進(jìn)行軌跡跟蹤；

Step2：依據(jù)機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)定的最大速度vm，最大加速度am和加加速度J等參數(shù)值進(jìn)行快速判定，是否修正最大速度參數(shù)，修正后最大速度為vnew；

Step3：設(shè)采樣時(shí)間為Tc，n為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，則可獲取第i個(gè)采樣點(diǎn)在t=iTc時(shí)刻的速度和加速度，進(jìn)而可計(jì)算出該位置點(diǎn)坐標(biāo)；

Step4：依據(jù)Step2中確定的控制參數(shù)應(yīng)用激光跟蹤儀對機(jī)器人終端進(jìn)行動(dòng)態(tài)跟蹤，并記錄Step1中軌跡上各理論采樣位置點(diǎn)所對應(yīng)的實(shí)際空間坐標(biāo)則第i點(diǎn)跟蹤誤差為：

Step5：機(jī)器人實(shí)際速度ve(t)可由傳感器反饋數(shù)據(jù)獲得，則任意時(shí)刻t的速度誤差Δv(t)=

Step6：采用梯型控制策略進(jìn)行上述軌跡跟蹤，并記錄對應(yīng)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)。

3.2 實(shí)驗(yàn)

機(jī)器人初始位置為Po(0，0，-0.4)，相關(guān)控制參數(shù)如表3所示，直線軌跡跟蹤在相關(guān)文獻(xiàn)已做了大量研究，這里不再重復(fù)。對xoy平面上兩個(gè)不同半徑的圓軌跡進(jìn)行動(dòng)態(tài)跟蹤實(shí)驗(yàn)，圓心均為初始位置點(diǎn)Po，圓半徑分別為0.4 m和0.1 m，其對應(yīng)軌跡長度s分別為2.512 m和1.256 m。

基于預(yù)設(shè)軌跡通過快速計(jì)算和判定，機(jī)器人可以加速到最大速度且能夠保持速度控制曲線的對稱分布。圖7是第一條軌跡即半徑為0.4 m圓形路徑的跟蹤情況，基于激光跟蹤儀獲取的空間采樣點(diǎn)位置如圖7（a），擬合給出了梯型和常規(guī)S型控制策略下機(jī)器人實(shí)際與理論采樣點(diǎn)分布。

圖6 3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)Fig.6 Trajectory tracking experiment of 3-RRRU parallel robot

圖7 （b）實(shí)際跟蹤軌跡可以看出：S型控制策略對于曲線軌跡跟蹤精度明顯優(yōu)于梯型控制策略。采用梯型控制機(jī)器人的跟蹤軌跡反映出由于加減速引起的速度突變導(dǎo)致跟蹤精度較差且軌跡整體平滑性不如S型速度算法；圖8是機(jī)器人跟蹤誤差曲線，從誤差曲線可知：S型控制下機(jī)器人的位置誤差跟蹤曲線不存在尖峰值，表明整個(gè)路徑下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性良好，梯型控制由于速度突變產(chǎn)生的最大位置誤差達(dá)到4.513 mm，是S型控制策略的3倍；此外，從x，y和z方向誤差曲線反映機(jī)器人在z向誤差明顯小于x和y方向，S型z向誤差分布在-1～1 mm，梯型最大誤差約是S型控制策略的2倍；由于并聯(lián)機(jī)器人采用三支鏈對稱設(shè)計(jì)，存在多支鏈閉環(huán)約束效應(yīng)，故兩種控制策略下x和y向跟蹤誤差分布也基本一致；若單向誤差極大表明機(jī)器人結(jié)構(gòu)組裝存在很大的誤差，需要對支鏈重新定位和安裝。

表3 機(jī)器人控制參數(shù)Tab.3 Control parameters of robot

圖7 空間位置點(diǎn)分布和軌跡跟蹤Fig.7 Distribution of space points and trajectory tracking

圖8 S型和梯型速度規(guī)劃下的位置跟蹤誤差Fig.8 Position tracking error under S-type and ladder type velocity planning

圖8 表明：S型速度規(guī)劃策略對軌跡跟蹤時(shí)具有良好的平穩(wěn)性，加、減速轉(zhuǎn)變時(shí)速度過渡平滑，整體誤差分布在0.225～1.615 mm，且沒有明顯尖峰。

為了測試S型控制策略加入自適應(yīng)修正機(jī)制后控制策略的有效性和可行性，設(shè)計(jì)第二次路徑規(guī)劃即半徑為0.1 m的圓形軌跡，通過修正計(jì)算公式，獲得優(yōu)化后的最大速度為1.944 m/s，如表4所示，與預(yù)設(shè)2 m/s最大速度很接近，故下面測試了最大速度修正前、后機(jī)器人的動(dòng)態(tài)跟蹤誤差。

表4 不同軌跡下速度修正Tab.4 Velocity correction under different trajectories

從圖9（a）中實(shí)際跟蹤位置點(diǎn)分布情況發(fā)現(xiàn)，最大速度修正后采樣點(diǎn)整體跟蹤精度優(yōu)于修正前，而通過擬合后的跟蹤軌跡不難看出，修正前的跟蹤軌跡起始點(diǎn)和終點(diǎn)位置誤差明顯較大；雖然修正后在最大速度位置點(diǎn)與修正前跟蹤誤差并不明顯，但是在軌跡終點(diǎn)機(jī)器人速度未減速到零而具有一定的慣性速度，產(chǎn)生沖擊效應(yīng)導(dǎo)致起始點(diǎn)和終點(diǎn)位置偏差很大。

圖9 速度修正前后空間位置點(diǎn)分布和軌跡跟蹤Fig.9 Distribution of position points and trajectory tracking before and after velocity correction

圖10 S型控制速度修正前后位置跟蹤誤差Fig.10 Tracking error before and after speed correction by S-type control

由圖10和表5數(shù)據(jù)可知：速度修正后機(jī)器人整體路徑的跟蹤精度優(yōu)于修正前，二者誤差曲線中誤差尖峰很少，表明速度過渡平滑性良好；但修正前機(jī)器人在軌跡終點(diǎn)處產(chǎn)生最大誤差，表明機(jī)器人停止時(shí)因具有較大慣性速度而呈現(xiàn)明顯的沖擊晃動(dòng)即沖擊效應(yīng)，勢必產(chǎn)生誤差尖峰，對于航空航天和船舶制造等高精密領(lǐng)域而言是非常危險(xiǎn)的；第二次實(shí)驗(yàn)預(yù)設(shè)軌跡是周長未0.628 m的圓，修正前機(jī)器人加速到最大速度時(shí)其運(yùn)動(dòng)距離達(dá)到0.330 m，由于S型速度控制曲線是呈對稱分布，故在機(jī)器人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，速度并未由減減速階段平滑過渡為零，產(chǎn)生明顯的位置尖峰誤差，高達(dá)2.676 mm；修正后其位置最大誤差僅為1.125 mm，起點(diǎn)和終點(diǎn)位置跟蹤誤差分別為0.722 mm和0.382 mm，位置相對誤差為0.34 mm，表明機(jī)器人有效消除了上述尖峰誤差。

表5 修正前后位置誤差Tab.5 Error before and after correction

圖11 修正前、后速度曲線Fig.11 Velocity curve before and after correction

圖11 是機(jī)器人最大速度修正后速度控制曲線，機(jī)器人控制仍采用預(yù)設(shè)最大速度值，雖然速度增加到了2 m/s，但是按原有加加速度和加速度進(jìn)行減速時(shí)，在勻減速階段已到達(dá)預(yù)設(shè)軌跡終點(diǎn)，此時(shí)具有一定的慣性速度，停止時(shí)勢必出現(xiàn)誤差尖峰，這與圖10所得結(jié)論一致；

不難發(fā)現(xiàn)，修正后的最大速度為1.944 m/s。雖然略小于預(yù)設(shè)值2 m/s，但終點(diǎn)位置誤差降低了一個(gè)數(shù)量級，末端控制平穩(wěn)性大幅提高，有效解決定值控制方式下因速度參數(shù)設(shè)定不合理而導(dǎo)致機(jī)器人末端常出現(xiàn)沖擊效應(yīng)的問題。

4 結(jié) 論

S型速度控制策略相比梯型控制具有良好的跟蹤精度和平穩(wěn)性。梯型速度控制下位置跟蹤曲線存在多個(gè)誤差尖峰，其最大誤差達(dá)到4.513 mm；S型速度規(guī)劃策略下的位置和速度曲線更為平滑，最大位置誤差僅為梯型控制的1/3；

在較短軌跡下，修正前機(jī)器人在軌跡末端存在明顯的沖擊效應(yīng)，其最大位置誤差高達(dá)2.676 mm；修正后最大誤差為1.125 mm，且機(jī)器人終點(diǎn)位置誤差僅為0.382 mm，相比修正前降低了一個(gè)數(shù)量級；

機(jī)器人路徑變化時(shí)，較短軌跡下仍采用常規(guī)定值控制，使得預(yù)設(shè)最大速度值過大進(jìn)而導(dǎo)致機(jī)器人產(chǎn)生末端沖擊效應(yīng)；

引入速度自適應(yīng)修正機(jī)制，有效解決了機(jī)器人的沖擊效應(yīng)問題，大幅提高了機(jī)器人的動(dòng)態(tài)跟蹤精度和平穩(wěn)性。