郭 媛，王 充

（齊齊哈爾大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾161006）

1 引 言

傳統(tǒng)的采樣定理奈奎斯特指出，只有當(dāng)采樣速率達(dá)到信號(hào)帶寬的2倍以上，才能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)的重建，而這里有很多冗余的數(shù)據(jù)都需要拋棄，這就勢(shì)必會(huì)引起大量的采樣數(shù)據(jù)被浪費(fèi)，從而增加了成本。為了節(jié)約成本，克服上述問(wèn)題，壓縮感知理論（Compress Sensing，CS）由Candes和Donoho等人在2006年被等人提出。近些年來(lái)，壓縮感知理論在圖像加密領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。壓縮感知理論主要包括三部分：信號(hào)的稀疏性，測(cè)量矩陣的構(gòu)建以及信號(hào)的重構(gòu)［1-3］。而測(cè)量矩陣作為壓縮感知中較為關(guān)鍵的一步，決定著整個(gè)壓縮感知過(guò)程的好壞，傳統(tǒng)的測(cè)量矩陣由于占用空間較大，傳輸成本較高，不利已保存和運(yùn)輸。因此，在2006年，Candes和Tao［4］首次把高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣應(yīng)用在壓縮感知中。2014年Zhou等［5］采用密鑰控制生成測(cè)量矩陣，但在Zhou提出的方法中，參數(shù)比較少，缺乏一定的密鑰空間。2015年梁亞茹等［6］把由可變的參數(shù)來(lái)控制生成測(cè)量矩陣，驗(yàn)證了可變參數(shù)的測(cè)量矩陣的可行性。2017年王厚林、李智［7］通過(guò)控制參數(shù)映射生成觀測(cè)矩陣和加密控制矩陣。2019年朱禮亞等［8］通過(guò)并行的壓縮感知與混沌映射的加密設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了測(cè)量矩陣的可行性，但是其混沌系統(tǒng)的密鑰不具有一定的隨機(jī)性。

混沌系統(tǒng)是一種和密碼學(xué)特性相似的系統(tǒng)，混沌系統(tǒng)具有對(duì)初始值的極度敏感性，內(nèi)在的隨機(jī)性，以及隨著混沌的迭代長(zhǎng)時(shí)間不可預(yù)測(cè)等特性，與密碼學(xué)的特征相吻合，因此常用在加密領(lǐng)域［9-11］?；诨煦缦到y(tǒng)的測(cè)量矩陣，由于只需要保存混沌系統(tǒng)的初始密鑰少量參數(shù)，可以大大減少空間資源和傳輸成本的浪費(fèi)。因此，得到了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注，但是傳統(tǒng)的基于混沌系統(tǒng)的測(cè)量矩陣，沒(méi)有產(chǎn)生與明密文的關(guān)聯(lián)性，缺少抗明密文攻擊的能力。

一維混沌系統(tǒng)在構(gòu)建測(cè)量矩陣中得到廣泛應(yīng)用，但是一維混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程較為簡(jiǎn)單［12］。因此，本文則利用Lorenz混沌產(chǎn)生測(cè)量矩陣，由低維空間向高維空間進(jìn)行轉(zhuǎn)變，增大了系統(tǒng)的復(fù)雜性?；煦缦到y(tǒng)的參數(shù)采用哈希函數(shù)SHA-512來(lái)進(jìn)行產(chǎn)生，通過(guò)密鑰與明文相關(guān)聯(lián)，這樣就會(huì)產(chǎn)生一定的雪崩效應(yīng)，即使只對(duì)密鑰進(jìn)行極微的改變，測(cè)量矩陣構(gòu)造的結(jié)果也會(huì)千變?nèi)f化，使測(cè)量矩陣具有多樣性。

2 壓縮感知理論

壓縮感知中信號(hào)的稀疏性是十分關(guān)鍵的一步，對(duì)于信號(hào)稀疏性［13］定義如下：

其中：x∈RN為一維離散信號(hào)，N為長(zhǎng)度，ψ={ψ1，ψ2…，ψθ}為一組正交基，θ∈RN×1為信號(hào)x在正交基上k的展開(kāi)系數(shù)，若x中僅存在個(gè)非零系數(shù)，則稱(chēng)信號(hào)x是可稀疏化的，并且信號(hào)x是k稀疏的。測(cè)量矩陣可以說(shuō)就是把不同空間上的信號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)于可稀疏信號(hào)x將其投影到另一組測(cè)量基φ=[φ1，φ2…φM]T上，得到x的M個(gè)線性測(cè)量值，即：

其中：y為壓縮后的測(cè)量值，Θ=φψ是M×N的感知矩陣，其中滿(mǎn)足條件M＜＜N，因此，可以看出壓縮感知能夠?qū)π盘?hào)進(jìn)行壓縮和采樣的，CS理論表明，感知矩陣Θ在滿(mǎn)足k階約束等距條件（k_IP）時(shí)，即：

從測(cè)量值y中重構(gòu)出信號(hào)的稀疏系數(shù)θ可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)0的范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題：

L0的范數(shù)是NP難問(wèn)題，通常把它轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)1范數(shù)，從而進(jìn)行求解。

3 混沌系統(tǒng)與Zigzag置亂圖像加密

3.1 混沌系統(tǒng)

由于Logistic混沌表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，但是它也具有混沌系統(tǒng)的良好特性，因此在混沌系統(tǒng)中經(jīng)常被使用，其方程表示為：

其中：tk∈(0，1)；k=0，1，2...k；α是Logstic系統(tǒng)的一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)，α的取值范圍是(0，4]，當(dāng)α在區(qū)間范圍內(nèi)取不同的值時(shí)，式（8）就會(huì)出現(xiàn)不同的狀態(tài)，當(dāng)α∈[3.569，4]時(shí)，Logistic系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。

Lorenz混沌是由氣象學(xué)家洛倫茲在研究氣象時(shí)所發(fā)現(xiàn)的一種混沌現(xiàn)象，其是一個(gè)三維的連續(xù)混沌映射，其公式所描述的是微分的形式，具體公式如下：

其中：x，y，z組成了三維空間，σ，r，c是Lorenz混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)，一般情況下，在σ=10，r=28，c=83時(shí)，式（9）呈現(xiàn)出混沌的狀態(tài)［14］。

3.2 Zigzag置亂

Zigzag是一種類(lèi)似于中文漢字“之”形的一種遍歷方法，傳統(tǒng)的Zigzag置亂由于其總是從矩陣的左上角作為第一個(gè)元素，按照“之”形的方式開(kāi)始進(jìn)行遍歷，這樣勢(shì)必會(huì)存在一些弊端，比如，開(kāi)始的元素和最后的元素遍歷的位置總是固定的，缺乏一定的隨機(jī)性，因此，在置亂的過(guò)程中，很容易被破解，而本文是通過(guò)利用圖像的像素值總和以及像素的平均值來(lái)構(gòu)造遍歷的起始位置，這樣就增加了更多的可能性，遍歷后的矩陣會(huì)更復(fù)雜，便于后面構(gòu)造加密矩陣，提供了安全性。對(duì)于Zigzag的起始位置的確定可以由公式（10）～（15）進(jìn)行表達(dá)：

其中：s表示圖像中灰度值的一個(gè)總和，A表示像素點(diǎn)的平均值，m和n代表著圖像矩陣的行數(shù)和列數(shù)。

其中r1和r2表示的是外部的參數(shù)。

其中：abs代表著絕對(duì)值表示向下取整符號(hào)，例如表示取余。

3.3 基于Lorenz混沌的測(cè)量矩陣的構(gòu)建

對(duì)于Lorenz混沌，假定系統(tǒng)初始值為x0=1.156，y0=1.342，z0=1.247；Logistic混沌系統(tǒng)中，t0=0.234，α=3.966；利用哈希函數(shù)SHA-512對(duì)原圖像進(jìn)行加密產(chǎn)生512位哈希值［15］，每8位為一組進(jìn)行劃分，可以化成k1，k2，...，k64的十進(jìn)制數(shù)，密鑰與明文產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，具有剛好的安全性。與明文具有關(guān)聯(lián)關(guān)系后的Lorenz混沌系統(tǒng)初始值可以表示為：

Logistic混沌系統(tǒng)初始值表示為

把式（16）以及上述給出的Lorenz混沌參數(shù)帶入到式（9），迭代1 000+3×mnd次，然后舍棄前1 000項(xiàng)，產(chǎn)生3個(gè)混沌序列X=｛1，2，...，mnd｝，Y={1，2，...，mnd}，Z={1，2，...，mnd}，其中，m=CR×M，d為采樣的間隔距離，CR=1 4為壓縮率，M，N則代表著所要進(jìn)行加密圖像的行數(shù)和列數(shù)。則測(cè)量矩陣構(gòu)造如式（18）～式（21）所示：

為了使構(gòu)造的測(cè)量矩陣更加滿(mǎn)足CS的條件，可以對(duì)B2在進(jìn)行以下操作：

接下來(lái)就可以把B按照列優(yōu)先的方式進(jìn)行排列，則可以得到測(cè)量矩陣ΦM×N。

3.4 加密算法

（1）首先，選用一幅大小為M×N的Lena圖像。其次，通過(guò)DCT對(duì)Lena圖像進(jìn)行稀疏化操作，可以得到一個(gè)稀疏的矩陣C1，然后再根據(jù)上面介紹的Zigzag對(duì)DCT變換后的圖像C1進(jìn)行置亂，得到大小為M×N的置亂矩陣C2。

（2）將式（21）由Lorenz混沌產(chǎn)生的測(cè)量矩陣，與C2進(jìn)行操作，得到壓縮后的矩陣C3。

（3）對(duì)矩陣C3進(jìn)行量化操作，像素值的量化范圍在0～255之間，Sigmoid函數(shù)是常用來(lái)把數(shù)據(jù)量化到0～1之間，因此可以利用系數(shù)與Sigmoid函數(shù)相結(jié)合進(jìn)行量化，量化后的矩陣C4可以表示為：

（4）將式（17）和μ值代入式（8），迭代1 000+2×M×N次，舍棄前1 000項(xiàng)，得到長(zhǎng)度為2×M×N的序列，混沌產(chǎn)生的序列可以拆分成兩部分，第一部分為L(zhǎng)1={0，1，2，...，MN-1}，第二部分為L(zhǎng)2={MN，MN+1，...，2MN-1}。

（5）將L1={0，1，2，...，MN-1}轉(zhuǎn) 化 為M×N的矩陣R1，并將矩陣R1每個(gè)像素都量化到0～8之間，量化后的矩陣為R2。

其中：R1(i，j)，R2(i，j)表示矩陣R1，R2第i行第j列對(duì)應(yīng)的值。

（6）將矩陣C4的像素值都轉(zhuǎn)化為其所對(duì)應(yīng)的8位二進(jìn)制編碼形式，得到一個(gè)二進(jìn)制矩陣C5，將C5與R2進(jìn)行相應(yīng)位置的關(guān)聯(lián)實(shí)行循環(huán)移位操作，循環(huán)移位后得到的矩陣為C6，即：

其中：BR表示循環(huán)右移操作，C5(i，j)，R2(i，j)表示矩陣中第i行第j列位置的灰度值，由于R2(i，j)每個(gè)值都是小于8的，所以，當(dāng)R2(i，j)對(duì)應(yīng)的值為幾，C5(i，j)就相應(yīng)的向右整體移動(dòng)幾位。然后把C6再轉(zhuǎn)為十進(jìn)制的矩陣C7。

（7）將L2={MN，MN+1，...，2MN-1}轉(zhuǎn)化為M×N的矩陣R3，將R3轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的8位二進(jìn)制矩陣R4，將R4，C7進(jìn)行二進(jìn)制異或，得到C8，即：

圖1 加密算法框架圖Fig.1 Block diagram of encryption algorithm

其中：bintodec表示把二進(jìn)制與十進(jìn)制數(shù)之間的一個(gè)轉(zhuǎn)化，矩陣C8即為最終加密后的圖像。

由于該算法是對(duì)稱(chēng)加密算法，所以解密算法就是解密的反操作。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)仿真選用的軟件是Python 3.7.2對(duì)于大小為256×256的Lena圖像，加密過(guò)程中的初始密鑰包括Lorenz混沌和Logistic混沌的系統(tǒng)參數(shù)。其中：Lorenz中σ=10，r=28，c=83，x0=1.156，y0=1.342，z0=1.247；對(duì)于Logistic混沌系統(tǒng)，t0=0.234，α=3.966。外部參數(shù)r1=0.332 8，r2=0.445 6。

Lena圖像經(jīng)過(guò)加密的圖像和利用解密算法而解密得到的圖像如圖2所示，可以看到，加密后的圖像已經(jīng)很難找到原始圖像的信息，具有一定的安全性。與此同時(shí)，經(jīng)過(guò)解密算法又能恢復(fù)到原始圖像，表明具有一定的重構(gòu)能力。

4.1 直方圖分析

圖2 Lena加密解密圖像Fig.2 Lena encrypted and decrypted image

灰度直方圖是圖像的統(tǒng)計(jì)特性的一個(gè)直觀表達(dá)，從直方圖中能夠看出圖像像素之間的關(guān)系，未經(jīng)處理的圖像一般都是擁有很明顯的特征，大部分的灰度值密切關(guān)聯(lián)，可能只是分布在幾個(gè)灰度值附近，而經(jīng)過(guò)加密處理的圖像，這些灰度值之間的相關(guān)關(guān)系被破壞，像素值就會(huì)分布的更加的均勻，而不容易讓攻擊者通過(guò)直觀的分析就能找到更有價(jià)值的信息，因此可以根據(jù)原始圖像與加密圖像直方圖之間的差異來(lái)衡量加密算法的好壞［16-18］。如圖3所示，為L(zhǎng)ena圖像與加密后的圖像的一個(gè)直方圖分析。其中，橫坐標(biāo)是圖像的灰度級(jí)，縱坐標(biāo)是各個(gè)灰度值在圖像中所出現(xiàn)的次數(shù)。

4.2 密鑰空間分析

為抵御窮舉攻擊，加密算法的密鑰空間要盡可能的大，密鑰空間是相對(duì)于密鑰而言，表示密鑰所能達(dá)到的的取值范圍，一般認(rèn)為，當(dāng)密鑰空間的大小至少達(dá)到2100，就認(rèn)為加密算法是安全的，當(dāng)然隨著密鑰空間的逐漸增大，加密算法相應(yīng)的也就越安全。但是，加密算法也會(huì)越復(fù)雜。

本文算法的密鑰初始值主要包括兩部分，Lorenz混沌中的x0，y0，z0，Logistic混沌中的t0，α，這些數(shù)據(jù)都是double類(lèi)型，最大精度為10-15，所以密鑰空間可以粗略地看作0.5×1015×5=5×1074＞＞2100，該算法密鑰空間已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)的大于所要求的數(shù)值，已經(jīng)滿(mǎn)足了密鑰空間的安全性。另外還有外部參數(shù)r1和r2，也是屬于密鑰的一部分，也大大增加了密鑰空間。

圖3 Lena圖像與加解密直方圖Fig.3 Histogram of Lena image and encryption and decryption

4.3 密鑰敏感性分析

對(duì)于圖像加密，密鑰敏感性通常指的是初始的密鑰發(fā)生一定的變化，能否正確的恢復(fù)出原來(lái)的圖像，一個(gè)良好的加密算法要求在加密中體現(xiàn)出密鑰的敏感性。如圖4所示，正確的密鑰能夠把Lena圖像完整恢復(fù)，在Lorenz混沌中我對(duì)初始值進(jìn)行改變，改變量為Δx0=10-15，Δy0=10-15，Δz0=10-15，進(jìn)行圖像的解密，無(wú)法得到原始的Lena圖像，可見(jiàn)，密鑰盡管發(fā)生10-15的一個(gè)微小變化，也很難得到正確的解密圖像，從而驗(yàn)證了該算法滿(mǎn)足密鑰敏感性的要求。

圖4 Lena圖像敏感性分析Fig.4 Sensitivity analysis of Lena images

4.4 信息熵分析

信息熵是衡量圖像灰度值的分布信息，圖像內(nèi)部信息越混亂，表明圖像的信息熵就越大，不確定性越強(qiáng)，加密效果越好。一般的對(duì)于256灰度級(jí)的圖像加密的信息熵，其值越接近8，則表明加密效果越好。信息熵的定義如下所示：

其中：ci表示的是信息源，p(ci)為信息m出現(xiàn)的概率。計(jì)算加密后的Lena圖像的信息熵，并和其他文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，本文加密算法的信息熵更加接近于8，表明比所列對(duì)比文獻(xiàn)加密效果更好。

4.5 相鄰像素相關(guān)性分析

相鄰像素點(diǎn)之間具有密的切關(guān)聯(lián)，所以很容易受到攻擊者采用統(tǒng)計(jì)分析。而圖像的加密，則是把相鄰像素之間的這種強(qiáng)關(guān)聯(lián)信息給打破，從而保證了圖像信息的安全。因此，相鄰像素的相關(guān)性對(duì)于評(píng)價(jià)一個(gè)加密算法好壞也是至關(guān)重要的［19-21］。而相關(guān)性，則經(jīng)常用相關(guān)系數(shù)來(lái)進(jìn)行表示，相關(guān)系數(shù)r的范圍是[-1，1]，越接近1則表示正向相關(guān)性越強(qiáng)，越接近-1則表示負(fù)向相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)性越強(qiáng)加密效果就越差，一般的相關(guān)系數(shù)r越接近于0，則代表圖像像素的強(qiáng)關(guān)聯(lián)性被打破，具有很好的加密效果。相關(guān)系數(shù)的公式可以表示為：

表1 密文圖像的信息熵Tab.1 Information entropy of ciphertext image

其中：mi和ni表示相鄰的兩個(gè)像素值，N表示選取的像素點(diǎn)對(duì)數(shù)，rmn表示相關(guān)系數(shù)，covmn為協(xié)方差，E(m)為期望，D(m)為方差。選擇Lena圖像和加密圖像2 000對(duì)像素點(diǎn)，按照公式（27）分別進(jìn)行計(jì)算，得到水平、垂直、對(duì)角線方向上的相關(guān)系數(shù)［22-23］。如表2所示，為L(zhǎng)ena圖像在不同方向上的相關(guān)系數(shù)的分析。從表中數(shù)據(jù)可以看到，經(jīng)過(guò)本算法加密后的數(shù)據(jù)在水平和垂直方向上相關(guān)系數(shù)更加接近于0，相鄰像素的相關(guān)關(guān)系已經(jīng)得到破壞，具有良好的加密效果。

表2 相鄰像素的相關(guān)性分析Table 2 Correlation analysis of adjacent pixels

5 結(jié) 論

本文對(duì)傳統(tǒng)Zigzag置亂進(jìn)行了改進(jìn)，可以利用明文像素確定Zigzag的初始置亂位置，每次初始位置的改變都可以得到不一樣的置亂矩陣，極大地增加了系統(tǒng)的隨機(jī)性。利用哈希函數(shù)SHA-512，明文的哈希值可以作為密鑰的一部分，增大了密鑰空間，將密鑰與明文相關(guān)聯(lián)，使混沌序列具有自適應(yīng)性，具有一定的雪崩效應(yīng)和抵抗名密文攻擊的能力。還利用明文圖像通過(guò)DCT稀疏化，再通過(guò)改進(jìn)的zigzag置亂與Lorenz混沌構(gòu)造的測(cè)量矩陣進(jìn)行壓縮感知，經(jīng)過(guò)量化，置亂擴(kuò)散等操作得到的加密算法。實(shí)驗(yàn)通過(guò)對(duì)明密文信息熵和其他文獻(xiàn)的對(duì)比，本文加密后的信息熵為7.998 6，更加接近于8，密文圖像相關(guān)系數(shù)接近于0，密鑰空間為5×1074，表明本算法具有足夠大的密鑰空間，加密效果更好，具有很強(qiáng)的安全性和實(shí)用性。