趙柳月，王全保，周平方，段登平

(上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院，上海 200240)

0 引言

位移測量技術(shù)在工程中具有重要意義，是其他變形測量的基礎(chǔ)。為了解決高低溫等非常溫下進(jìn)行亞像素位移測量的問題，研究了多種測量方法，包括非接觸式全場變形測量技術(shù)，如云紋干涉法、數(shù)字圖像相關(guān)方法、電子散斑干涉法、電子散斑干涉法等[1]。其中，數(shù)字圖像相關(guān)(digital image correction，DIC)是一種非接觸全場測量方法，量程大、精度高、設(shè)備簡單、對測試環(huán)境要求低且易于操作，被廣泛應(yīng)用于位移場和應(yīng)變場測量[2]。該方法利用圖像處理技術(shù)對材料結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)位移、變形以及應(yīng)力測量，通過匹配變形前后散斑圖像的對應(yīng)點(diǎn)，確定散斑圖像點(diǎn)的位移信息，從而確定全場位移。為了解決整數(shù)形式的像素坐標(biāo)導(dǎo)致攝影測量精度只能達(dá)到像素級的問題，一般采用插值或亞像素算法求得更精確的亞像素位移，曲面擬合法是常用的方法之一[2]。

高低溫環(huán)境下的數(shù)字圖像相關(guān)方法需要利用保溫裝置將相機(jī)與外界非常溫環(huán)境隔離。文獻(xiàn)[2]表明相機(jī)裝上保護(hù)裝置后，透過光學(xué)窗口拍攝的照片足夠清晰可進(jìn)一步分析。文獻(xiàn)[3]將玻璃折射簡單類比為鏡頭徑向畸變，通過畸變校正減弱了玻璃折射對光路改變的影響。Lyons等[4]用對比實(shí)驗(yàn)證明保溫實(shí)驗(yàn)箱的光學(xué)窗口對圖片質(zhì)量和測量匹配有影響并最終影響數(shù)字圖像相關(guān)方法的測量結(jié)果。然而當(dāng)前對光學(xué)玻璃引起的折射誤差進(jìn)行詳細(xì)地評估和修正的研究還不夠充分。

本文推導(dǎo)了光學(xué)窗口玻璃折射下的誤差模型，針對偏移誤差提出了一種基于DIC方法的理論校正模型，以減小位移測量時由光學(xué)窗口折射引起的測量誤差。通過研究光學(xué)窗口的玻璃折射光路，分析了其折射效應(yīng)對偏移誤差的影響，定量研究了玻璃和拍攝距離等因素對誤差的影響，驗(yàn)證本文的校正方法對DIC測量精度的提高作用。

1 數(shù)字圖像相關(guān)方法測量系統(tǒng)

1.1 測量系統(tǒng)

數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)(DIC)是常用的變形測量技術(shù)和圖像匹配技術(shù)。典型的二維數(shù)字圖像相關(guān)方法測量系統(tǒng)如圖1所示，系統(tǒng)由計(jì)算機(jī)、工業(yè)攝像機(jī)、照明光源和試件等構(gòu)成。試件表面有承載物體信息的紋理圖案，如果原有的紋理圖案不足以表現(xiàn)其變形信息，則在其表面制作人工散斑[5]。

圖1 數(shù)字圖像相關(guān)方法測量系統(tǒng)

1.2 亞像素位移算法

攝像機(jī)對不同變形情況下的物體進(jìn)行拍攝，數(shù)字圖像相關(guān)算法通過相關(guān)函數(shù)尋找變形前后對應(yīng)的像素點(diǎn)。為了得到精度更高的亞像素位移發(fā)展了多個亞像素位移算法，如牛頓-拉夫森(N-R算法)，梯度法和曲面擬合法。文獻(xiàn)[6]表明曲面擬合法能夠兼顧精度和效率，常用于實(shí)際工況中。

像素點(diǎn)信息由以該像素點(diǎn)為中心的正方形子區(qū)表征。假設(shè)變形前后像素點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)和(x′,y′)，變形前后圖像中對應(yīng)的灰度值分別為f(x,y)和g(x′,y′)，u和v表示橫縱方向的位移，變形前后像素點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系為：x′ =x+u；y′=y+v。

相關(guān)函數(shù)是描述變形前后圖像子區(qū)相似程度的函數(shù)，最小平方距離相關(guān)函數(shù)[6]表達(dá)式如下：

(1)

其中，2M+1是子區(qū)大小。在變形后的圖像中搜索與變形前像素點(diǎn)(x,y)相似度最高的像素點(diǎn)，但通過相關(guān)搜索獲得的位移u和v只能是整像素。為了獲得更加精確的小數(shù)位移值，使用曲面擬合法進(jìn)一步定位變形后像素點(diǎn)，常用二元二次多項(xiàng)式擬合相關(guān)函數(shù)曲面[6]。對于整像素變形像素點(diǎn)(x′,y′)，鄰域像素點(diǎn)如圖2，擬合的曲面表達(dá)式為

(2)

圖2 曲面擬合像素點(diǎn)

文獻(xiàn)[6]證明擬合窗口大小為3×3時，精度最高、效果最好。因此有3×3個表達(dá)式，完全足夠求解a0，…，a5的6個未知數(shù)。擬合的曲面求得極值時認(rèn)為變形后的亞像素位置定位準(zhǔn)確，即

(3)

(4)

綜上，使用最小二乘法求解二次曲面的待求系數(shù)，擬合曲面的極值點(diǎn)坐標(biāo)和亞像素位移分別為：

(5)

u=x′-x；v=y′-y

(6)

1.3 保溫裝置

非常溫環(huán)境下，需要特殊的保護(hù)措施才能保證相機(jī)正常工作，圖3展示了常見的I-CAN保護(hù)罐。保溫罐可正常工作的溫度范圍為-200～100 ℃，內(nèi)部溫度保持在相機(jī)正常工作溫度范圍內(nèi)，保溫罐前端會開設(shè)一個由玻璃組成的光學(xué)窗口,相機(jī)在保溫罐內(nèi)透過光學(xué)窗口對圖片進(jìn)行拍攝。

圖3 保溫罐

2 玻璃折射誤差及校正

2.1 折射誤差

保溫罐由一個保溫罐體和一個光學(xué)窗口組成，相機(jī)通過光學(xué)窗口對待測物進(jìn)行攝影，試樣放置在觀察窗口前方，保溫罐內(nèi)放置CCD照相機(jī)，其光軸垂直于樣品表面。對于帶有普通光學(xué)玻璃的保溫罐，高低溫下DIC實(shí)驗(yàn)中的測量光路如圖4所示，由于玻璃折射的影響，像素點(diǎn)由真實(shí)的位置A點(diǎn)偏移至A′點(diǎn)。L為相機(jī)鏡頭到試件的距離，t為玻璃厚度，n為玻璃折射率，x為垂直方向像素點(diǎn)到中心的距離。Δx為因?yàn)檎凵洚a(chǎn)生的位移偏移。

圖4 包含玻璃影響的DIC實(shí)驗(yàn)的光路

分析圖4中的偏移誤差，由折射定律、幾何相似關(guān)系及MN=OA′-AA′-AQ-OP，化簡得到Δx的表達(dá)式為

(7)

式(7)是玻璃折射引起的像素點(diǎn)位移誤差。為了進(jìn)一步分析其對數(shù)字圖像相關(guān)方法的位移精度的影響，必須對其進(jìn)行簡化處理。

為了分析像素點(diǎn)偏差規(guī)律，對兩塊玻璃a和b分別進(jìn)行測試。玻璃各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。圖5展示了不同玻璃不同距離下不同階次的擬合誤差，計(jì)算范圍為到中心點(diǎn)50 pixel距離內(nèi)的點(diǎn)。

表1 玻璃參數(shù)

(a)玻璃a

(b)玻璃b圖5 不同玻璃不同拍攝距離下折射偏移的擬合誤差

圖5表明當(dāng)拍攝距離較小時，二階和三階等函數(shù)更好地擬合真實(shí)的偏移誤差的走勢，更高次項(xiàng)的擬合沒有明顯減小誤差，但增加了計(jì)算量。根據(jù)誤差擬合分析，可以合理假設(shè)偏移誤差可以由x的多項(xiàng)式近似擬合，為了證明假設(shè)的正確性，令

(8)

式中f為一個關(guān)于x的未知函數(shù)，且滿足x的階數(shù)在-3～0之間。

這樣的假設(shè)是基于二次和三次函數(shù),可以很好擬合偏移誤差的驗(yàn)證。由于x是小于1的數(shù)，為了簡化，省略x高階項(xiàng)x4,x6,x8得到：

(9)

最終可以得到：

(10)

任意方向上的偏移誤差只與像素點(diǎn)到光心投影中心的距離有關(guān)，分解在x軸和y軸上為

(11)

至此，基于實(shí)驗(yàn)分析和假設(shè)驗(yàn)證合理推出折射誤差模型，根據(jù)玻璃折射的各方向同理性折射僅對像素點(diǎn)相對于圖像中心的模長有影響，該偏移誤差隨著像素點(diǎn)距離中心點(diǎn)距離的增大而增大，外部因素僅與玻璃折射率和厚度以及相機(jī)拍攝距離有關(guān),偏移誤差隨著像素點(diǎn)的遠(yuǎn)離光心投影點(diǎn)的距離的增大而增大。

2.2 數(shù)字圖像相關(guān)方法校正

玻璃折射使參考圖像上的像素點(diǎn)A偏移了原來的位置，折射前后的坐標(biāo)分別為(xA,yA)和(x′A,y′A)。經(jīng)過變形之后A點(diǎn)在變形圖像中的對應(yīng)點(diǎn)表示為A′，其在折射前后的坐標(biāo)分別表示為(xA,yA′)和(x′A,y′A)。則折射下的像素點(diǎn)的位移可以表示為：

(12)

(13)

式中：σxA、σyA分別為變形前x和y方向的折射偏移量；σxA′、σyA′分別為變形后的x和y方向的折射偏移量，具體值由式(11)給出；U和V分別為變形前x和y方向的位移。

考慮到像素點(diǎn)坐標(biāo)是整數(shù)的形式，直接進(jìn)行坐標(biāo)變換無疑在增加工作量的同時引入插值算法的誤差。因此，尋求一個能夠在經(jīng)典曲面擬合的求解過程中便捷地處理玻璃折射誤差的算法。在玻璃折射后的變形圖像中使用相關(guān)函數(shù)尋找極值，通過整像素搜索得到整像素位移值。此時，待求參數(shù)為P=(a0,…,a6),確定n(n≥3)個匹配點(diǎn)代入式(3)和式(4)即可由最小二乘法求得待求參數(shù)的初值。

求得擬合曲面的系數(shù)后，根據(jù)式(5)和式(6)可以得到有折射的位移值，再根據(jù)式(12)和式(13)進(jìn)行校正得到校正后真實(shí)的位移表達(dá)式，其中像素點(diǎn)到圖像中心的距離近似為變形前的坐標(biāo)距離，在推導(dǎo)時做了逆向的近似，因此互相抵消。真實(shí)位移值如下：

u={U′-K2[x′(x′2+y′2)-x′(x′2+y′2)]}/(1+K1)

(14)

v={V′-K2[y′(x′2+y′2)-y′(x′2+y′2)]}/(1+K1)

(15)

式中：U′和V′分別為變形后x和y方向的位移。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)定板實(shí)驗(yàn)

為了對光學(xué)窗口的玻璃折射對數(shù)字圖像相關(guān)方法測量精度的影響進(jìn)行定性的分析，設(shè)計(jì)標(biāo)定板實(shí)驗(yàn)在有玻璃遮擋和無玻璃的情況下對算法計(jì)算的位移結(jié)果進(jìn)行研究，如圖6。實(shí)驗(yàn)主要分為靜態(tài)試驗(yàn)和平移試驗(yàn)。靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中可以對玻璃引起的偏移誤差進(jìn)行觀察，對比理論結(jié)果，對玻璃折射的理論誤差模型的推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。平移試驗(yàn)是為了研究光學(xué)窗口的玻璃折射對位移測量的影響以及校正方法的有效性。

圖6 實(shí)驗(yàn)圖片

3.2 折射誤差模型驗(yàn)證

標(biāo)定板實(shí)驗(yàn)共分為3組，在相機(jī)和試件靜止的情況下，對鏡頭前加玻璃進(jìn)行保溫裝置光學(xué)窗口的模擬，鏡頭情況分別為無玻璃-有玻璃遮擋，無玻璃-左半部分玻璃遮擋，無玻璃-右半部分玻璃遮擋。使用2個玻璃分別做了對比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果類似。下面給出玻璃a的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

其中實(shí)驗(yàn)步驟中無玻璃的圖片可以相互驗(yàn)證，位移值近似為0可認(rèn)為平臺穩(wěn)定。圖7～圖9展示了在攝像距離為1.5 m的情況下，在玻璃分別對鏡頭進(jìn)行全遮擋、左半部分遮擋、右半部分遮擋下，與未進(jìn)行玻璃遮擋拍攝的圖片進(jìn)行數(shù)字圖像相關(guān)方法計(jì)算得到的u方向的位移變化三維圖?？梢钥闯霾Ａд凵鋵ξ灰朴兄黠@的影響，有玻璃遮擋的部分位移明顯呈現(xiàn)以圖片中心為輻射點(diǎn)，越向外位移量越大的趨勢，與折射誤差模型相符合。圖中展示的測量范圍是100～400 pixel，由玻璃折射產(chǎn)生的偏移誤差達(dá)到了4個像素，測量范圍變大誤差將更大。像素點(diǎn)的位移是計(jì)算應(yīng)變、匹配的基礎(chǔ)。相應(yīng)地，折射也會引起其他力學(xué)信息的測量。

圖7 全部玻璃遮擋下折射導(dǎo)致的u方向位移三維圖

圖8 左半玻璃遮擋下折射導(dǎo)致的u方向位移三維圖

圖9 右半玻璃遮擋下折射導(dǎo)致的u方向位移三維圖

3.3 校正方法驗(yàn)證

采用本文提供的校正方法，根據(jù)玻璃參數(shù)和拍攝距離常量參數(shù)對變形前后的圖片進(jìn)行誤差修正，最終得到校正后的圖片的u方向和v方向的三維位移圖，如圖10所示。對比校正前后的圖片可以看到，位移偏差基本上由4 pixel降到了0.2 pixel。允許測量中微小變動的誤差存在，基本上可以認(rèn)為通過本文的校正方法，玻璃折射對位移產(chǎn)生的偏移誤差被顯著減小，能夠很好地提高數(shù)字圖像相關(guān)方法的測量精度。

圖10 校正后的位移云圖

進(jìn)一步研究平移情況下玻璃折射的偏移誤差對測量精度的影響。在玻璃遮擋的情況下，對標(biāo)定板進(jìn)行拍攝，標(biāo)定板在儀器控制下每次進(jìn)行1 mm的水平移動，根據(jù)拍攝情況1 mm對應(yīng)2.5 pixel。不同位移下，無玻璃拍攝圖片與鏡頭覆蓋玻璃的拍攝圖片分別作為變形前后圖片，使用數(shù)字圖像相關(guān)方法對其進(jìn)行計(jì)算，得到校正前后的位移量如表2所示，未校正的最大絕對誤差為0.192 9 pixel，校正后的最大絕對誤差為0.030 9 pixel，隨著測量范圍的增大，校正對測量精度的改善會更加明顯。

表2 位移計(jì)算結(jié)果比較 pixel

圖11為位移測量值誤差。從圖11可以看出不進(jìn)行校正的圖片由于偏移誤差的存在，導(dǎo)致數(shù)字圖像相關(guān)方法最終得到的位移測量值不穩(wěn)定，誤差較大。經(jīng)過校正后的位移測量誤差低于3%，提高了5%左右。整體測量誤差小于未校正的測量誤差，且測量結(jié)果更加穩(wěn)定。

4 結(jié)束語

針對非常溫環(huán)境下，攝影測量技術(shù)需在保護(hù)裝置中進(jìn)行，無法避免光學(xué)窗口的玻璃折射影響的問題，本文提出可靠的誤差模型及校正方法。本文通過分析保溫裝置光學(xué)窗口的玻璃折射光路，在合理的簡化、假設(shè)基礎(chǔ)上提出了玻璃折射誤差模型，并根據(jù)誤差模型對數(shù)字圖像相關(guān)方法進(jìn)行校正。該誤差模型可以準(zhǔn)確地表征折射帶來的位移偏差，相應(yīng)的校正方法可以有效地降低數(shù)字圖像相關(guān)方法測量中玻璃折射的影響，提高匹配的精度和位移測量精度，解決了玻璃厚度和測量精度的制約問題，可以在低成本光學(xué)玻璃的情況下進(jìn)行高精度的測量。

圖11 位移測量值誤差