姜 奎

（蚌埠工商學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 蚌埠 233000）

0 引言

最優(yōu)消費(fèi)投資問題一直是金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究中的熱點(diǎn)問題。Robert［1］研究了連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，并利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理對(duì)冪效用函數(shù)下最優(yōu)投資問題構(gòu)造顯式解。在Robert研究的基礎(chǔ)上，許多學(xué)者開始對(duì)最優(yōu)消費(fèi)?投資問題展開研究。Liu［2］在CRRA（constant relative risk averse）效用函數(shù)下獲得了最優(yōu)消費(fèi)?投資問題顯式解，其中假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益滿足二次過程。劉敬真等［3］利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，針對(duì)CRRA 效用類型個(gè)體獲得了最優(yōu)消費(fèi)和投資策略的解析解。Gong 等［4］從保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司角度探討了最優(yōu)投資策略問題。郭文旌等［5］研究了利率波動(dòng)對(duì)投資者的最優(yōu)投資消費(fèi)策略的影響，其中利率由Vasicek 模型刻畫。楊璐等［6］在Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下研究了帶負(fù)債的最優(yōu)投資問題。Zhou 等［7］在隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)模型框架下研究了最優(yōu)投資問題。

現(xiàn)實(shí)生活中影響消費(fèi)投資策略的因素很多，其中投資者的勞動(dòng)收入就是一個(gè)關(guān)鍵因素。Morten［8］探討了帶有固定勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)投資問題，通過CRRA 效用函數(shù)獲得顯式解。Zhang 等［9］基于通脹和勞動(dòng)收入模型研究了最優(yōu)消費(fèi)投資問題，并獲得HARA（hyperbolic absolute risk aversion）效用函數(shù)下的解析解。李仲飛等［10］探討了隨機(jī)工資情形下的最優(yōu)投資?消費(fèi)問題，并在消費(fèi)者具有時(shí)變相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的基礎(chǔ)上考慮隨機(jī)收入因素，并在完備市場(chǎng)中研究最優(yōu)消費(fèi)?投資問題。姜奎等［11］用消費(fèi)籃子折現(xiàn)方法研究了帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)投資問題，并分別針對(duì)投資者的就業(yè)階段和退休階段分析得到最優(yōu)消費(fèi)投資策略。費(fèi)為銀等［12］在隨機(jī)利率服從CIR（cox?ingersoll?ross）模型基礎(chǔ)上，重點(diǎn)分析了投資者就業(yè)期帶有一份勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)投資問題。本文探討了在隨機(jī)波動(dòng)模型基礎(chǔ)上考慮勞動(dòng)收入因素的最優(yōu)消費(fèi)投資問題，研究問題更貼合實(shí)際。

1 金融市場(chǎng)框架

本文研究的問題是基于完備金融市場(chǎng)，即不考慮任何交易成本和稅收費(fèi)用，所有交易可以連續(xù)進(jìn)入市場(chǎng)。首先對(duì)金融市場(chǎng)做一些假設(shè)，然后給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，最后給出投資者的財(cái)富過程。

1.1 基本假設(shè)

1）假設(shè)(Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P)是完備的概率空間，W(t)是定義在該空間上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，{Ft}t∈{0,T}是該布朗運(yùn)動(dòng)在完備概率空間上生成的σ?域流。

2）假設(shè)投資者在金融市場(chǎng)可投資2 種資產(chǎn)：一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（銀行存款），另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票）。投資者的投資時(shí)間區(qū)間為[0,T]，T＞0。

3）假設(shè)在投資時(shí)間[0,T]內(nèi)投資者擁有一份連續(xù)確定的勞動(dòng)收入率l，定義這里h(t)是l以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)到t時(shí)刻的未來勞動(dòng)收入財(cái)富值。

1.2 建立模型

根據(jù)1.1 中的假設(shè)2），分別給出t時(shí)刻2 種資產(chǎn)價(jià)格過程：

t時(shí)刻無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程B(t)滿足常微分方程

式中，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率。

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程S(t)在t時(shí)刻服從如下微分方程

式中，k和σ1是常數(shù)，v(t)滿足如下的CIR 模型

式中，b,a和σ2均是大于0 的常數(shù)，且滿足2b＞σ22，對(duì)所有t≥0 有v(t) ≥0。

1.3 投資者的財(cái)富方程

在投資區(qū)間[0,T]上投資者將其財(cái)富一部分用于消費(fèi)，另一部分用于投資，假設(shè)投資者的初始財(cái)富為x0＞0?，F(xiàn)定義c(t)表示投資者在t時(shí)刻的消費(fèi)率，π(t)表示投資者在t時(shí)刻將金融財(cái)富投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例，1 ?π(t)表示投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例，則由（1）、（2）和（3）式可知投資者財(cái)富過程X(t)滿足下面的隨機(jī)微分方程：

通過上述模型框架分析，本文的目的是在投資期[0,T] 內(nèi)尋找最優(yōu)消費(fèi)投資策略(c*(t),π*(t))。

2 最優(yōu)消費(fèi)投資問題

為尋找最優(yōu)消費(fèi)投資策略(c*(t),π*(t))，下面基于期望效用準(zhǔn)則研究最優(yōu)消費(fèi)投資問題。

2.1 最優(yōu)化準(zhǔn)則

定義1（可容許策略） 一個(gè)消費(fèi)投資策略（π(t),c(t)）若滿足下列條件則是可容許的：

1）（π(t),c(t)）是循序可測(cè)過程；

假設(shè)所有的可容許策略被定義為Γ={ }(π(t),c(t)):t∈[0,T] ，定義投資者的目標(biāo)最大化期望消費(fèi)效用和終端財(cái)富效用，即

式中，U1(?)表示投資者的消費(fèi)效用函數(shù)，U2(?)表示投資者的終端財(cái)富效用函數(shù)，這里假設(shè)U1(?)和U2(?)是嚴(yán)格遞增且是二階可導(dǎo)的連續(xù)凹函數(shù)，β( ＞0)是主觀貼現(xiàn)率。

2.2 最優(yōu)消費(fèi)投資策略

本節(jié)利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，得到相應(yīng)的HJB 方程，進(jìn)而得到最優(yōu)消費(fèi)c*(t)和最優(yōu)投資策略π*(t)的函數(shù)表達(dá)式。

假設(shè)值函數(shù)

邊界條件為H(T,v,l,x)=(1 ?α)e?βTU2(x)。

利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，得到相應(yīng)的HJB 方程為

由最優(yōu)化一階條件可知

3 冪效用函數(shù)情形下的顯式解

2.2 節(jié)由隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到最優(yōu)消費(fèi)投資策略的函數(shù)表達(dá)式，此處選擇冪效用函數(shù)形式來求最優(yōu)消費(fèi)投資策略(c*(t),π*(t))的顯式表達(dá)式。

假設(shè)冪效用函數(shù)形式為

式中，γ是風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子。

推測(cè)值函數(shù)形式為

為了得到最優(yōu)消費(fèi)投資問題的顯式解，進(jìn)一步假設(shè)在完備的金融市場(chǎng)中勞動(dòng)收入可作為可以交易資產(chǎn)，未來的勞動(dòng)收入可用交易證券進(jìn)行完全復(fù)制，則定義調(diào)整財(cái)富(t)=X(t)+h(t)，此時(shí)投資者調(diào)整后的財(cái)富過程變?yōu)?/p>

根據(jù)式（14），利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理可以得到相應(yīng)的HJB 方程為

式中，邊界條件為H(t,v,?)=(1 ?α)

根據(jù)最優(yōu)化一階條件可得

對(duì)（14）式求各階偏導(dǎo)，將（16）、（17）式代入（15）式，通過分離變量x?可得

由（18）式可得到關(guān)于F(t,v)的偏微分方程，即

假設(shè)F有如下形式：

對(duì)F求偏導(dǎo)數(shù)，即可得到

將F的偏導(dǎo)數(shù)公式代入（19）式中，可得到

式中，邊界條件為f(T,v)=

根據(jù)文獻(xiàn)［2］的假設(shè)，這里假設(shè)F有如下形式

式中，g(t,v)= ep(t)+q(t)v，邊界條件為p(T)=q(T)= 0。

結(jié)合（21）式和（22）式，通過整理化簡(jiǎn)可得

式中，邊界條件為g(T,v)= 1。

類似于文獻(xiàn)［2］中對(duì)偏微分方程的處理方法，本文求解方程（21）式等價(jià)于求解（23）式。再對(duì)g(t,v)求相關(guān)偏導(dǎo)數(shù)，并代入（23）式中可得

為消除對(duì)變量v的依賴，可將（24）式分解為如下的兩個(gè)常微分方程求解：

對(duì)常微分方程（25）求解可得

其中

γ＜＜1 保證方程（25）有2 個(gè)不同實(shí)數(shù)根。

對(duì)常微分方程（26）求解可得

通過上述分析，得到下面命題1。

命題1在冪效用函數(shù)，若＜1 且γ≠0，則帶有固定勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)投資策略為

式 中，f=f(t,v)=exp(p(s)+q(s)v)ds+exp(q(t) +p(t))，q(t)和p(t)分別滿足式（27）和式（28）。

4 數(shù)值模擬

為更好地體現(xiàn)勞動(dòng)收入和隨機(jī)波動(dòng)等市場(chǎng)參數(shù)對(duì)最優(yōu)消費(fèi)投資策略的影響，針對(duì)上述命題，下面通過固定某些參數(shù)值，將所得結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬和分析。

通過分析瞬時(shí)波動(dòng)率參數(shù)σ2和勞動(dòng)收入對(duì)最優(yōu)消費(fèi)?投資策略的影響，給出如下參數(shù)：r=0.019 5，σ1= 0.6，a= 0.6，b= 1，t= 0，T= 10，x0= 20，l0= 4，β= 0.1，γ= ?1，α= 0.4，k= 0.6，v= 0.36，σ2∈[0.1,1]，通過MATLAB 軟件模擬作圖可得到圖1。圖1 說明最優(yōu)投資策略隨著瞬時(shí)波動(dòng)率σ2的增加而減少，實(shí)際上σ2的值越大，v(t)的波動(dòng)項(xiàng)越大，導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率越大，因此投資風(fēng)險(xiǎn)增加會(huì)引起投資者減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。同時(shí)也可以看到當(dāng)投資者擁有一份勞動(dòng)收入時(shí)，投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例較投資者不含有勞動(dòng)收入時(shí)高，因?yàn)橐环莨潭ǖ膭趧?dòng)收入會(huì)增加投資者財(cái)富，引起投資比例增加。但瞬時(shí)波動(dòng)率σ2的增加會(huì)引起投資者的消費(fèi)增加，此時(shí)由于投資者減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，多余的財(cái)富一部分進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資，另一部分用于消費(fèi)，因此消費(fèi)水平會(huì)較之前提高，同時(shí)擁有勞動(dòng)收入的投資者的消費(fèi)水平會(huì)比不含勞動(dòng)收入的投資者的消費(fèi)水平高。

通過分析風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子γ和勞動(dòng)收入對(duì)最優(yōu)消費(fèi)?投資策略的影響，給出如下參數(shù)：r=0.019 5，σ1= 0.6，σ2= 0.8，a= 0.6，b= 1，t= 0，T= 10，x0= 20，l0= 4，β= 0.1，α= 0.4，k=0.6，v=0.36，γ∈[?2,?0.1]，通過MATLAB 軟件模擬作圖可得到圖2。圖2 說明最優(yōu)投資策略隨風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子γ的增加而增加，因?yàn)樵趦缧в煤瘮?shù)中投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)定義為1 ?γ，它代表隨著γ的增大投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)減少。因此投資者會(huì)隨著γ的增大而加大對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)投資者擁有一份勞動(dòng)收入時(shí)，投資者投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例會(huì)比不含有勞動(dòng)收入的投資者要高。但隨著γ的增加會(huì)引起投資者的消費(fèi)減少，因?yàn)殡S著γ的增大，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越少，會(huì)把更多財(cái)富用于投資而減少消費(fèi)。同時(shí)從圖2 中也可以發(fā)現(xiàn)擁有勞動(dòng)收入的投資者的消費(fèi)水平會(huì)比不含勞動(dòng)收入的投資者的消費(fèi)水平高。

圖1 瞬時(shí)波動(dòng)率參數(shù)σ2 對(duì)最優(yōu)消費(fèi)投資策略的影響Fig.1 The effect of the instantaneous volatility σ2 on optimal consumption-portfolio strategy

圖2 風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子γ 對(duì)最優(yōu)消費(fèi)投資策略的影響Fig.2 The effect of the risk aversion factor γ on optimal consumption-portfolio strategy

5 結(jié)論

本文主要是在隨機(jī)波動(dòng)模型框架下研究了帶有勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，通過構(gòu)建完備金融市場(chǎng)模型，首先利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃和分離變量的方法推導(dǎo)出相應(yīng)的HJB 方程，并得到最優(yōu)消費(fèi)和投資問題的解析表達(dá)式；其次利用MATLAB 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，最后給出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)解釋。結(jié)果表明，投資者的消費(fèi)投資策略不僅受瞬時(shí)波動(dòng)率和風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子影響，也依賴于其勞動(dòng)收入；勞動(dòng)收入的多少會(huì)引起投資者消費(fèi)投資策略的變化。

今后可以進(jìn)一步考慮在隨機(jī)波動(dòng)模型下投資者帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入時(shí)的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，當(dāng)投資者面臨隨機(jī)勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，最優(yōu)消費(fèi)投資策略會(huì)更復(fù)雜，但會(huì)使研究的問題更貼近現(xiàn)實(shí)。