張慶山 裴世源 洪 軍

（西安交通大學現代設計與轉子軸承系統(tǒng)教育部重點實驗室）

0 引言

航空發(fā)動機作為飛機的心臟，是飛機工作性能的決定因素之一，而航空發(fā)動機轉子作為航空發(fā)動機的核心部件，其可靠性直接影響飛機的安全性。航空發(fā)動機轉子使用螺栓連接各級盤，盡管在裝配工藝中給連接螺栓設計了足夠的預緊力，以防止系統(tǒng)出現螺栓松脫現象，但是由于航空發(fā)動機工作在高速、高溫、高負荷的環(huán)境中，螺栓連接結構受到交變載荷的作用，難以避免地會產生預緊力松弛、螺栓松脫等故障[1-3]。目前國內外針對螺栓松脫問題的研究多集中在螺栓連接的可靠性上，對于螺栓松脫后轉子服役性能的變化研究非常少。因此，深入研究螺栓松脫對航空發(fā)動機轉子系統(tǒng)動力學特性的影響，對保障航空發(fā)動機的安全運行有著重要的意義。

自20 世紀八九十年代以來，國內外逐漸出現對旋轉機械系統(tǒng)中螺栓松脫現象的研究。Zhao等人[4-5]采用“螺栓拆卸方法（BRM）”，推導了螺栓松動轉子的運動方程，研究了螺栓松動引起的系統(tǒng)局部剛度的變化規(guī)律，但是螺栓拆卸法可被視為螺栓松動的極限情況（螺栓完全松開），并沒有考慮較低的松動程度。Keiner 等人[6-7]采用間隙插入法（GIM）對具有螺栓松脫特性的轉子與實際橫向裂紋轉子的振動響應進行了比較，發(fā)現兩者具有很好的一致性，證明了螺栓松脫特征與橫向裂紋的呼吸機理在一定程度上是相似的，但是并沒有相關的理論依據，只是通過實驗驗證了兩者之間具有相似性。Zadoksa 等人[8-10]建立了一個受橫向激勵的螺栓自松動力學模型，利用赫茲接觸應力理論得到了系統(tǒng)的接觸剛度，并給出了在動態(tài)激勵力下螺栓連接處所受的橫向力，為預測螺栓出現松脫提供了理論依據，但是其模型中并未考慮螺栓松脫對系統(tǒng)動力學特性的影響。劉卓乾等人[11-13]建立了含有螺栓結構的航空發(fā)動機轉子系統(tǒng)，采用ANSYS 商用軟件對轉子動力學特性進行了仿真計算，借助遺傳算法識別并分析了轉子系統(tǒng)的彎曲剛度以及穩(wěn)態(tài)響應，但是并沒有分析系統(tǒng)的耦合剛度以及瞬態(tài)振動響應。

本文采用“螺栓松脫-裂紋等效法”將航空發(fā)動機轉子的螺栓松脫特征等效為橫向裂紋的呼吸機理，采用應力強度為零法[14-15]分析了由于航空發(fā)動機轉子一級盤和二級盤連接螺栓松脫導致兩盤之間結合面開閉的變化規(guī)律。利用Dimarogonas 等[16-17]提出的應變能釋放率法推導了螺栓松脫單元的剛度矩陣，研究了松脫不同數量的螺栓時，航空發(fā)動機轉子松脫單元處剛度的時變特性。此外，本文還采用諧波平衡法求解了系統(tǒng)的運動方程，通過時域、頻域和三維頻譜圖對比分析了有無螺栓松脫兩種工況下系統(tǒng)的振動響應。

1 航空發(fā)動機轉子系統(tǒng)建模

1.1 等效方法

航空發(fā)動機轉子各級盤是由螺栓連接的，當兩盤連接處出現螺栓松脫時（假設其完全松開），其不會對結合面產生約束，因此考慮將連接處的螺栓松脫等效為在該處產生橫向裂紋來研究，即通過橫向裂紋的呼吸機理對航空發(fā)動機轉子的螺栓松脫工況進行數值模擬。此前，Keiner等人[6-7]對螺栓松脫轉子和實際橫向裂紋轉子的振動響應進行了比較，結果表明螺栓松脫特征與橫向裂紋的呼吸機理在一定程度上是相似的。因此證明這種等效方法是可行的，為了上下文使用方便，本文將這種方法稱為“螺栓松脫-橫向裂紋等效法”。

假設兩盤連接處共有6個螺栓，且松脫的螺栓都是相鄰的（不相鄰的螺栓松動的情況很少出現）如圖1 所示，圖中空白部分為螺栓松脫時兩盤結合面的張開區(qū)域，陰影部分為閉合區(qū)域。當有1/2 螺栓松脫時，最大張開區(qū)域為結合面橫截面積的一半。當有1/3 螺栓松脫時，兩盤之間最大張開區(qū)域為圖1 白色部分（深度為圖1中a）。綜上所述，螺栓松動個數與等效橫向裂紋深度的表達式為：

其中, N 為螺栓總數；n 為螺栓松脫個數；R 為轉子半徑；a 為等效裂紋深度；u 為無量綱裂紋深度。

圖1 螺栓松脫與橫向裂紋等效示意圖Fig.1 Equivalent schematic diagram of bolt loosening and transverse crack

1.2 建立有限元模型

航空發(fā)動機轉子系統(tǒng)是由多級壓氣機輪盤、一級渦輪盤、前后軸頸及支承部分組成，且各部分采用螺栓連接，如圖2所示。本文采用Timoshenko梁單元對航空發(fā)動機轉子建模，如圖3 所示。轉子模型共有85 個節(jié)點，84個梁單元，每個節(jié)點6個自由度，圓盤在節(jié)點23，30，37，45，52，70，軸承在節(jié)點4，83，軸承剛度各向同性，為5×107N/m，不平衡質量為500g·mm。假設一級盤和二級盤連接處存在螺栓松脫，螺栓松脫處等效為橫向裂紋，其余各級盤螺栓連接處等效為剛性連接，存在螺栓松脫的單元是編號為30的梁單元。

1.3 推導螺栓松脫單元剛度矩陣

圖2 航空發(fā)動機轉子三維實體模型Fig.2 3D solid model of aero engine rotor

圖3 航空發(fā)動機轉子有限元模型Fig.3 Finite element model of aero-engine rotor

航空發(fā)動機轉子螺栓松脫單元的受力以及由一級盤、二級盤連接螺栓松動等效的橫向裂紋如圖4 所示，假設等效橫向裂紋位于梁單元的中間位置，松脫單元受到軸向力P1，P7，剪力P2，P3，P8，P9，扭矩P4，P10，以及彎矩P5，P6，P11，P12的作用。

當梁單元內無螺栓松脫時，其應變能為：

圖4 螺栓松脫單元受力簡圖Fig.4 Force diagram of bolt loosening unit

其中，E 為材料的彈性模量，Ge為切變模量，I 為單元的慣性矩，A 為結合面的截面面積，αs為剪切系數，T=P4，FN=P ，Fτ1=P2，Fτ2=P3，M1=P3x+P5，M2=P2x-P6。此時，梁單元的柔度系數為：

其中，T 為轉換矩陣。

1.4 系統(tǒng)動力學方程

根據有限元理論知識，航空發(fā)動機轉子-螺栓松脫系統(tǒng)的運動微分方程為：

1.5 方程求解

當螺栓松脫數量一定時，剛度矩陣隨旋轉角度的變化而變化，為了最大限度的描述轉子的振動響應，本文選擇旋轉角度為180°時系統(tǒng)的剛度矩陣。因為當旋轉角度為180°時，由于重力作用，此時積分區(qū)域面積S最大，系統(tǒng)剛度最小，振動響應最大。確定剛度矩陣K后，采用諧波平衡法求解運動微分方程，假設系統(tǒng)的響應為：

其中，i=1,2,3，…n 是諧波次數；Ω 是轉子的轉速，本文選擇四次諧波，將式（8）代入運動方程式（7），即可得到系統(tǒng)在特定轉速下的振動響應。

2 動力學特性研究

2.1 結合面的開閉變化規(guī)律

根據式（6）可得，當且僅當Gc中一級盤和二級盤之間結合面張開區(qū)域的面積S 確定時，剛度矩陣[K]c才有唯一值，所以為了確定系統(tǒng)的剛度矩陣，有必要研究結合面的開閉變化規(guī)律。

假設在結合面張開區(qū)域與閉合區(qū)域之間的存在一條分界線CD，它將結合面分成了張開和閉合兩部分，其垂直于等效裂紋深度線AB，如圖5 所示。將等效裂紋深度線AB平均分成50份，從A到B編號為1～50，B到A編號為50～100，分別在100 個節(jié)點處作垂直于AB 的直線。

圖5 分界線隨旋轉角度的變化示意圖Fig.5 Schematic diagram of the change of the dividing line with the rotation angle

根據斷裂力學的概念，當垂線處的應力強度因子值K0為正時，則表明該垂線左側區(qū)域張開；反之表明垂線左側區(qū)域閉合。如果某一垂線處的應力強度因子值K0為零，則該垂線就為分界線。為此，在不同旋轉角度下從編號1 開始依次計算各垂線的應力強度因子值K0，具體計算公式為：

圖5 展示了在一個旋轉周期內一級盤和二級盤結合面隨旋轉角度的開閉變化規(guī)律，圖中空白部分表示兩盤之間結合面的張開區(qū)域，陰影部分表示兩盤之間結合面的閉合區(qū)域，分界線為圖5 中粗黑實線CD。轉子在不同旋轉角度下，一級盤和二級盤結合面張開與閉合區(qū)域的變化規(guī)律如下所示：

1）在初始位置，由于重力作用，此時兩盤之間的間隙為零，結合面完全閉合。

2）當轉子旋轉角度為0～180°時，分界線的位置逐漸向右移動，此時兩盤之間逐漸出現間隙，結合面張開區(qū)域為圖5中空白部分，且張開區(qū)域隨著旋轉角度的增大而增大；

3）當轉子旋轉角度為180°時，兩盤之間的間隙最大，結合面張開區(qū)域為圖5 中空白部分，此時張開區(qū)域最大；

4）當轉子旋轉角度為180°～360°時，分界線的位置逐漸向左移動，兩盤之間的間隙由最大逐漸變小，結合面張開區(qū)域為圖5中空白部分，即張開區(qū)域隨著旋轉角度的增大而減?。?/p>

5）當轉子旋轉角度為360°時，與初始位置重合，此時兩盤之間的間隙為零，結合面完全閉合。

2.2 螺栓松脫單元時變剛度特性分析

首先根據螺栓松脫的數量利用式（1）計算等效裂紋深度，然后根據式（6）計算螺栓松脫單元的剛度矩陣，得到螺栓松脫單元在松脫不同數量的螺栓時，主剛度和耦合剛度隨分界線CD的變化曲線。

圖6為松脫不同數量螺栓時，螺栓松脫單元主剛度與分界線位置的變化曲線，其中K11 表示軸向剛度，K22、K33 表 示 剪 切 剛 度，K44 表 示 扭 轉 剛 度，K55、K66 表示彎曲剛度。由圖可知，當螺栓松脫數量較小時，主剛度隨分界線位置的變化非常小；反之，變化較大。當分界線位置在0～50 范圍內變化時，主剛度值逐漸減小，表明結合面的張開區(qū)域逐漸增大；當分界線位置在50～100范圍內變化時，主剛度值逐漸增大，表明結合面的張開區(qū)域逐漸減小。當分界線從0～100 變化且松脫的螺栓個數為較大時，彎曲剛度K55、K66 的變化范圍為2×109Nm/rad～7×109Nm/rad，其變化幅度比較大，即表明航空發(fā)動機轉子的橫向振動受螺栓松脫個數的影響較大。

圖6 松脫不同數量螺栓時，主剛度與分界線的變化曲線Fig.6 Change curve of main stiffness and dividing line when different number of loosened bolts

圖7為松脫不同數量的螺栓時，螺栓松脫單元各耦合剛度項隨分界線位置的變化曲線，由圖中可知，當松脫的螺栓數量較小時，耦合剛度全都為接近于零，無耦合作用；當螺栓松脫數量較大時，耦合剛度才逐漸出現，此時螺栓松脫單元存在明顯的軸向、橫向、彎曲與扭轉振動之間的相互耦合，且螺栓松脫數量越大，耦合作用越強。當分界線在0～50或50～100范圍內變化時，K12，K16，K26，K34，K35，K45 單調增大或減小，即表明結合面的張開或閉合過程對其的影響是單一的，且松脫單元在一個周期內這些耦合剛度值都比較大，耦合作用比較強。而當分界線在0～50 或50～100 范圍內變化時，K13，K14，K15，K23，K24，K25，K36，K46，K56 只在特定范圍內產生較大的耦合剛度值，在其他范圍內耦合剛度值基本為零，曲線變化趨勢多變，即表明結合面的張開或閉合過程對其的影響比較復雜。

圖7 松脫不同數量螺栓時，耦合剛度與分界線的變化曲線Fig.7 Variation curve of coupling stiffness and dividing line when different number of loosened bolts

2.3 振動響應分析

假設圖3中節(jié)點55處存在不平衡質量500g·mm，相位角為0°，軸承剛度各項同性，系統(tǒng)的阻尼為500N·s/m，且一級盤和二級盤連接螺栓的松脫數量n=4。經過計算可得，轉子系統(tǒng)的第一階臨界轉速為3 061.9r/min，第二階臨界轉速為9 270.2r/min。

圖8為無螺栓松脫時，轉子在節(jié)點30處x方向的振動響應。其中圖8(a)為時域內航空發(fā)動機轉子轉速為1 000r/min 時的瞬態(tài)振動響應，由于轉子的節(jié)點較多，為了簡化計算，對復雜公式進行了簡化，且選擇了較低的諧波次數，所以轉子的瞬態(tài)振動響應是近似的正弦波形；圖8(c)為對應的頻域內的瞬態(tài)振動響應；圖8(b)為轉子在升速過程中的穩(wěn)態(tài)振動響應。圖9 為螺栓松脫數量n=4 時，轉子在節(jié)點30 處x 方向的振動響應。其中圖9(a)為時域內轉子轉速為1 000r/min時的瞬態(tài)振動響應；圖9(c)為相對應的頻域內的瞬態(tài)振動響應；圖9(b)為轉子在升速過程中的穩(wěn)態(tài)振動響應。對比圖8 和圖9 可得，當一級盤和二級盤連接處存在螺栓松脫時，轉子系統(tǒng)在一階臨界轉速以及1/2，1/3，1/4臨界轉速附近出現峰值，在頻域圖中除了基頻成分還出現了二倍頻成分2X和三倍頻成分3X，且系統(tǒng)的最大振動響應增大了一個數量級，這些特征為航空發(fā)動機螺栓松脫現象的故障診斷提供一定的理論基礎。

圖8 轉子系統(tǒng)無螺栓松脫時，節(jié)點30處的振動響應Fig.8 Vibration response at node 30 when the rotor system has no loosened bolts

圖9 當梁單元30存在螺栓松脫且螺栓松脫數量n=4時，節(jié)點30處的振動響應Fig.9 When the beam element 30 has bolt loosening and the number of bolt loosening n=4,the vibration response at node 30

圖10 是無螺栓松脫的轉子在升速過程中，節(jié)點30處x方向的三維頻譜圖。圖11是螺栓松脫數量n=4時，轉子在升速過程中，節(jié)點30處x方向的三維頻譜圖。對比圖10和圖11可得，當無螺栓松脫時，轉子在400～1 200r/min轉速范圍內，系統(tǒng)的振動響應只有基頻；當存在螺栓松脫時，轉子在400～1 200r/min 轉速范圍內，系統(tǒng)的振動響應以基頻成分為主，同時出現二倍頻、三倍頻、四倍頻成分，其中二倍頻成分顯著，三倍頻和四倍頻成分較小。且在兩種工況下，系統(tǒng)的振動響應都隨著轉速的增大而增大。

圖10 無螺栓松脫轉子的三維頻譜圖Fig.10 Three-dimensional spectrogram of the rotor without loosened bolts

圖11 當螺栓松脫數量為4時，轉子的三維頻譜圖Fig.11 When the number of loosened bolts is 4,the three-dimensional spectrum of the rotor

3 結論

本文以航空發(fā)動機模擬轉子為研究對象，建立了轉子-軸承-螺栓松脫有限元模型，利用螺栓松脫-橫向裂紋等效法分析了一級盤和二級盤結合面的開閉變化規(guī)律以及螺栓松脫單元的時變剛度特性，采用諧波平衡法求解了系統(tǒng)的運動方程，通過時域、頻域和三維頻譜圖對比分析了有無螺栓松脫兩種工況下系統(tǒng)的振動響應。主要得出如下結論：

1）當一級盤和二級盤之間存在螺栓松脫時，在一個旋轉周期內，兩盤之間結合面的張開閉合區(qū)域隨旋轉角度的變化而變化，具體變化過程為：旋轉角度為0～180°時，結合面張開區(qū)域隨著旋轉角度的增大而增大；旋轉角度為180°～360°時，結合面張開區(qū)域隨著旋轉角度的增大而逐漸減小。

2）當螺栓松脫個數較少時，主剛度隨分界線位置的變化幅度較小，耦合剛度項基本為零，對航空發(fā)動機轉子的剛度矩陣影響較小，可以忽略其對航空發(fā)動機轉子動力學特性的影響；當螺栓松脫個數較大時，主剛度隨分界線位置的變化幅度較大，且產生軸向-剪切、軸向-扭轉、彎曲-扭轉、剪切-彎曲等耦合剛度，使得航空發(fā)動機轉子的動力學特性變得更加復雜。

3）當航空發(fā)動機轉子存在螺栓松脫時，系統(tǒng)在一階臨界轉速以及1/2，1/3，1/4臨界轉速附近出現共振峰值，在三維頻譜圖中除了基頻成分還出現了二倍頻成分2X、三倍頻成分3X 和四倍頻成分4X，這些特征可以為航空發(fā)動機螺栓松脫現象的故障診斷提供一定的理論基礎。