徐 可，王洪雁

（1.周口師范學(xué)院網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，河南 周口 466000；2.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

0 引言

采集、傳輸以及處理過程中，數(shù)字圖像無可避免被噪聲所干擾，導(dǎo)致部分細(xì)節(jié)丟失，從而使得圖像質(zhì)量顯著下降［1-2］。為提升噪聲污染圖像質(zhì)量，可精確恢復(fù)原始圖像并盡可能保留邊緣及紋理信息的圖像去噪相關(guān)算法被提出。然而，由于圖像去噪模型的欠定性，所得優(yōu)化問題的求解較為困難，因此，基于圖像相關(guān)先驗(yàn)信息獲得去噪優(yōu)化問題的有效求解進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高效去噪已成為圖像去噪領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［3-4］。

根據(jù)圖像先驗(yàn)信息的空域分布，圖像降噪算法可分為如下兩類：局部先驗(yàn)信息方法以及非局域自相似（NSS）先驗(yàn)信息方法。局部先驗(yàn)信息方法主要包括基于小波收縮方法（WS）［5］，全變分方法（TV）［6］和基于退火算法的改進(jìn)圖像去噪方法（PID）［7］。上述算法僅利用圖像局部先驗(yàn)信息，忽略非局域圖像空域之間相似性，從而使得去噪算法性能有限。非局域圖像空域相似性是指：基于給定圖像非局域相似塊之間線性相關(guān)的物理事實(shí)，搜索相似于給定區(qū)域的圖像塊，實(shí)踐表明NSS 已成為圖像恢復(fù)任務(wù)中非常有效的先驗(yàn)信息［8］。由此，基于加權(quán)平均相似圖像塊以提升去噪性能的非局域均值去噪（NLM）方法被提出，然而當(dāng)圖像信噪比較低時(shí)，由于相似區(qū)域噪聲成分較多，從而使得所得去噪圖像模糊［9］?；诖耍S塊匹配（BM3D）算法被提出，其將多個(gè)相似二維圖像塊重構(gòu)為三維數(shù)據(jù)以實(shí)現(xiàn)聯(lián)合去噪從而提升去噪性能，然而因其相似圖像塊查找及三維數(shù)據(jù)聯(lián)合去噪計(jì)算復(fù)雜度較高，因而限制了此算法的實(shí)際應(yīng)用［10］。針對(duì)此問題，組稀疏的非局域集中稀疏表示（NCSR）方法被提出，然而此算法所得去噪圖像具有較強(qiáng)偽影及關(guān)鍵紋理細(xì)節(jié)模糊等問題［11-12］。針對(duì)上述問題，相關(guān)研究表明：矢量化非局域相似圖像塊并聚合為矩陣，則此矩陣由于列矢量之間相關(guān)性而呈現(xiàn)低秩特性［13］，因此，可基于其低秩空域先驗(yàn)知識(shí)改善去噪性能。由此，基于核范數(shù)逼近秩函數(shù)以構(gòu)造低秩去噪模型的核范數(shù)最小化（NNM）方法被提出，然而由于此算法平等對(duì)待各奇異值，而忽略各奇異值表征先驗(yàn)信息重要性的不同，因而去噪性能改善有限［14］?；诖耍訖?quán)核范數(shù)逼近秩函數(shù)以體現(xiàn)各奇異值不同重要性的加權(quán)核范數(shù)最小化（WNNM）方法被提出，然而，基于核范數(shù)逼近秩函數(shù)將過懲罰較大奇異值，從而使得所得去噪優(yōu)化問題無法獲取最優(yōu)解［15］。

針對(duì)上述圖像去噪性能改善有限的問題，基于可無偏逼近秩函數(shù)的伽馬范數(shù)［16］，基于伽馬范數(shù)最小化的圖像去噪方法被提出。所提方法基于結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)（SSIM）搜尋相似區(qū)域以提升相似塊搜索精確性，而后基于伽馬范數(shù)無偏逼近秩函數(shù)的特性構(gòu)建低秩去噪模型，最后基于凸優(yōu)化理論求解低秩去噪優(yōu)化問題。與PID，NLM，BM3D 和NNM 等主流去噪算法相比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法可有效濾除高斯噪聲，并盡可能保持原始圖像細(xì)節(jié)。

1 低秩去噪概述

將上述操作作用于各重疊塊，并重組各圖像塊即可重構(gòu)原始圖像。然而，需要注意的是，作為有偏估計(jì)子的核范數(shù)，其逼近秩函數(shù)可過懲罰較大奇異值，從而導(dǎo)致上述最優(yōu)化問題僅可獲得次優(yōu)解，進(jìn)而使得去噪性能提升有限［20］?；诖?，本文利用伽馬范數(shù)替換核范數(shù)以無偏逼近秩函數(shù)，進(jìn)而提升低秩去噪模型性能。

2 基于伽馬范數(shù)最小化的圖像去噪算法

基于歐氏距離的傳統(tǒng)非局域相似塊搜尋方法忽略空域間相似性，從而使得非局域相似塊搜尋性能較差［21］。為提升相似塊搜尋性能，本文提出基于SSIM 的自適應(yīng)相似圖像塊搜索方法。SSIM 是一種綜合的圖像相似性評(píng)價(jià)指標(biāo)［22］，其考慮圖像間亮度，對(duì)比度和結(jié)構(gòu)3 個(gè)不同特性，可較好評(píng)價(jià)兩幅圖像的相似程度。給定兩幅圖像x 和y，SSIM 定義如式（5）所示：

自適應(yīng)相似塊搜尋思想可表述如下：給定圖像塊yi及圖像數(shù)據(jù)集，計(jì)算yi與圖像數(shù)據(jù)集中分割所得圖像塊的SSIM，其值越大表明二者相似度越高，基于此，搜尋相似度最高的m 個(gè)圖像塊，相似塊數(shù)需基于噪聲特征自適應(yīng)確定。而后矢量化相似塊并基于相似度降序自左至右排列以構(gòu)建相似塊矩陣Yi。

基于以上所述，所提相似塊搜尋方法可有效利用非局域自相似先驗(yàn)知識(shí)以改善相似塊搜尋精度。基于所得矩陣Yi，所提伽馬范數(shù)最小化的低秩去噪模型可表述如下。

表1 所提算法去噪流程

3 仿真結(jié)果及分析

為驗(yàn)證所提算法去噪性能，實(shí)驗(yàn)選取標(biāo)準(zhǔn)圖像庫(kù)中6 幅圖像進(jìn)行測(cè)試，分別為256×256 Monarch、720×576 Boats、512×512 Lena、512×512 Pepper、256×256 House 和720×576 Barbara，如圖1 所示。采用PID［7］，NLM［9］，BM3D［10］和NNM［14］作為對(duì)比算法。仿真軟硬件環(huán)境為：Intel Core i7-7700，處理器主頻3.60 GHz，內(nèi)存8 GB，64 位Windows 10，Matlab R2014a。

本節(jié)基于文獻(xiàn)［26］所提峰值信噪比（PSNR）定量評(píng)價(jià)去噪效果。給定圖像x 和y，PSNR 定義如式（17）所示：

其中，MSE 表示均方誤差，M×N 為兩幅圖像尺寸。

圖1 六幅測(cè)試圖像

對(duì)6 幅測(cè)試圖像分別添加零均值高斯白噪聲以生成噪聲圖像。由于篇幅限制，本文只顯示3 個(gè)噪聲等級(jí)去噪結(jié)果。其中，對(duì)于噪聲方差σn=10，σn=50 和σn=100，不同算法去噪結(jié)果如下頁表2 所示，最高PSNR 用粗體表示。由表2 可知，NLM 去噪性能不明顯，而所提算法幾乎每種情況皆可獲得較高的PSNR。相比PID，NLM，BM3D 和NNM 算法，所提算法PSNR 分別平均提高0.32 dB，2.76 dB，0.35 dB及1.99 dB，隨著信噪比降低，PSNR 提升較為明顯。此可歸因?yàn)樗岱椒ɑ赟SIM 塊匹配以改善相似塊搜尋精確度，且基于伽馬范數(shù)改善秩函數(shù)近似度?；谝陨纤?，相較于對(duì)比算法，不同噪聲特征條件下所提算法均可獲得優(yōu)良的去噪效果。

對(duì)于噪聲方差σn=50 的House 圖像，不同算法去噪結(jié)果分別如圖2 所示。由圖2 可知，基于NLM算法所得去噪圖像模糊較大，此可歸因于NLM 搜尋相似塊具有大量噪聲，且僅加權(quán)平均相似塊以實(shí)現(xiàn)去噪；而NNM 算法基于低秩先驗(yàn)知識(shí)以消除模糊，然其平等對(duì)待各奇異值導(dǎo)致去噪結(jié)果關(guān)鍵紋理細(xì)節(jié)模糊；PID 算法基于空頻聯(lián)合處理以應(yīng)對(duì)紋理細(xì)節(jié)丟失，細(xì)節(jié)模糊仍存在；BM3D 算法基于聯(lián)合濾波以提升去噪性能，但去噪圖像存在較強(qiáng)偽影。所提算法則采用基于SSIM 的相似圖像塊搜索方法，并利用伽馬范數(shù)無偏逼近秩函數(shù)以應(yīng)對(duì)上述問題。由圖2（f）易知，本文方法所得去噪圖像偽影較弱，且邊緣及紋理等關(guān)鍵特征保持較好。綜上所述，相較于對(duì)比算法，所提方法去噪性能提升明顯，其不僅有效避免模糊及偽影，且可有效保持原始關(guān)鍵細(xì)節(jié)。

4 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)去噪算法降噪性能較差的問題，本文提出基于無偏逼近秩函數(shù)的伽馬范數(shù)最小化的去噪方法。首先將噪聲圖像重疊分塊并采用基于SSIM的塊匹配算法構(gòu)造相似塊矩陣，以應(yīng)對(duì)傳統(tǒng)方法相似塊搜尋精度較低的問題；而后基于伽馬范數(shù)構(gòu)造低秩去噪模型，以避免傳統(tǒng)秩逼近方法估計(jì)性能較差的缺點(diǎn)；最后基于凸優(yōu)化理論求解所得優(yōu)化問題并重組去噪塊以獲得最終去噪圖像。相較于主流去噪算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法可有效濾除高斯噪聲，且盡可能保持原始圖像細(xì)節(jié)。

表2 不同去噪算法PSNR 對(duì)比

圖2 不同算法對(duì)House 圖像去噪結(jié)果（σn=50）