張廣順 蓋琦 蔡鋒濤 楊迎接

(天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院,天津 300380)

0 引言

卷積運算是信號處理與系統(tǒng)分析課程中極為重要的一種數(shù)學(xué)運算,對于連續(xù)信號,需要求積分,也稱卷積積分;對于離散信號,需要求和,也稱卷積和[1]。但由于教材中對于卷積的定義通常拘泥于形式,使學(xué)生感覺難以理解,學(xué)習(xí)起來比較困難,影響了學(xué)習(xí)效果。事實上,卷積也可稱之為“加權(quán)平均積”,卷積的離散形式便是人人會用的加權(quán)平均,而連續(xù)形式則可考慮為對連續(xù)函數(shù)的加權(quán)平均。卷積定理表明,對信號在時間域做卷積運算,相當(dāng)于在頻率域做濾波處理。M A T L A B 是目前廣泛使用的科學(xué)計算軟件,應(yīng)用M A T L A B 軟件編程實現(xiàn)卷積的計算過程,可以幫助學(xué)生更好的理解卷積的意義和計算過程,激發(fā)學(xué)生的興趣,提高學(xué)習(xí)質(zhì)量[2]。

1 卷積的定義

1.1 卷積積分

設(shè) f1(t) 和 f2( t) 為定義在 ( -∞, +∞) 區(qū)間上的兩個一維連續(xù)時間信號,定義積分運算如式(1)所示:

稱 f ( t) 為 f1(t) 和 f2(t) 的卷積積分,簡稱卷積,用*代表卷積運算,表示為[1]。

1.2 卷積和

設(shè) f1(n) 和 f2(n) 為定義在 ( -∞, +∞) 區(qū)間上的兩個一維離散時間信號,定義求和運算如式(2)所示:

稱 f (n) 為 f1(n) 和 f2(n) 的卷積和,簡稱卷積,用*代表卷積運算,表示為

1.3 計算步驟

根據(jù)卷積的定義,計算過程可分為四步[3]:(1)換元;(2)反轉(zhuǎn)、平移;(3)相乘;(4)求積分(或求和)。由于卷積的結(jié)果是關(guān)于t(或n)的函數(shù),所以當(dāng)t(或n)取不同值時,卷積結(jié)果是不同的,而t(或n)代表的是平移的量。

卷積的物理意義是,任何信號都可以表示成信號本身和單位沖激信號的卷積,不同的信號都可以分解成相同的形式,在分析線性時不變系統(tǒng)時,可以應(yīng)用卷積運算來求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

2 MATLAB仿真

2.1 卷積計算

下面以連續(xù)信號為例,編寫MA TLA B代碼,計算兩個信號的卷積。設(shè),要求畫出 f ( t )的波形圖[4]。

根據(jù)卷積積分的計算過程,卷積的結(jié)果實際上是讓一個信號 f1(τ) 保持不變,另外一個信號 f2(τ) 先做反轉(zhuǎn)得到f2(-τ) ,然后讓 f2(-τ) 在時間軸上做平移,從左往右穿過第一個信號 f1(τ) 所覆蓋的區(qū)域,平移的量記為t,則卷積的結(jié)果就是兩個信號重合部分的面積,是關(guān)于t的函數(shù)。為了能夠清楚的表示兩個信號之間的相對位置及計算結(jié)果,編寫MATLAB代碼,把兩個原始信號的波形及計算過程中兩信號的相對位置的變化用動畫的形式演示出來,結(jié)果如圖1所示,其中(a)～(f)分別表示平移t取不同值時,兩信號的相對位置。

圖1 卷積過程演示Fig.1 The convolution process

圖2 f (t)波形圖Fig.2 f1(t) waveform

圖3 f 2(t)波形圖Fig.3 f2(t)waveform

圖4 f (t)波形圖Fig.4 f3(t) waveform

同時,把三個信號的波形圖分別顯示,結(jié)果如圖2～圖4所示。

對于離散信號,在MATLAB 中提供了計算卷積和的函數(shù)conv,此函數(shù)可用于計算兩個起始位置在原點的信號的卷積和[5]。

2.2 卷積濾波實例

下面以聲音信號為例,編寫MA TLA B代碼,通過對純凈的語音信號加噪聲,再做卷積運算實現(xiàn)去噪[6]。

調(diào)用函數(shù)audioread讀入一純凈語音信號,語音內(nèi)容為古詩“人閑桂花落”,記為 x ( n) ;噪聲選擇為一單頻正弦波,將語音信號與噪聲信號疊加,得到,畫圖觀察波形圖的變化,如圖5所示,并調(diào)用sound函數(shù),播放聲音,體會加噪前和加噪后兩段聲音的區(qū)別,可以聽到加噪后的聲音信號中有明顯的干擾音。

為了實現(xiàn)去噪,我們選擇了兩種方法:(1)調(diào)用conv函數(shù),選擇信號,計算;(2)調(diào)用filter函數(shù),用 h( n) 作為濾波器,對 x '( n) 做濾波處理。

經(jīng)過兩種方法處理后,分別畫出處理后信號的波形圖,并播放處理后的聲音信號,結(jié)果如圖6所示。

圖5 原始信號與含噪信號Fig.5 Original signal and noisy signal

從波形圖上看,兩種方法都能很好的濾除噪聲,從播放的聲音效果上,可以聽到去噪效果基本相同。通過具體的實例,驗證了卷積運算可以實現(xiàn)濾波的效果,所以頻域濾波可以通過時域卷積來實現(xiàn),也驗證了卷積定理的內(nèi)容。

3 結(jié)語

通過上述的例子,我們能夠更清晰的了解卷積的意義與計算過程,并體會到卷積運算在實際工作和生活中的具體應(yīng)用,為學(xué)好后續(xù)知識打下堅實的基礎(chǔ),同時應(yīng)用M A T L A B 軟件編程實現(xiàn)對信號的處理過程,也鍛煉了學(xué)生的編程能力,調(diào)動了學(xué)習(xí)的積極性,提高了學(xué)習(xí)效率。

圖6 兩種方法去噪后的信號Fig.6 Signal denoised by two methods