丁承君，李 慶，高少彬，馮玉伯，賈麗臻

(1.河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300130；2.中鐵十四局集團(tuán)房橋有限公司，北京 102488； 3.天津通信廣播集團(tuán)有限公司，天津 300140；4.中國(guó)民航大學(xué) 航空工程學(xué)院，天津 300300)

0 引 言

目前，塔式起重機(jī)被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代建筑工地具有復(fù)雜欠驅(qū)動(dòng)特性的非線性機(jī)電系統(tǒng)中。塔式起重機(jī)要實(shí)現(xiàn)有效的貨物運(yùn)輸，需要進(jìn)行快速、準(zhǔn)確地定位(包括變幅小車的變幅運(yùn)動(dòng)和塔臂回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng))；同時(shí)，為保證運(yùn)輸?shù)陌踩?，在其定位過(guò)程中抑制貨物的擺動(dòng)同樣重要。

國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者針對(duì)起重機(jī)負(fù)載擺動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了仿真計(jì)算和控制研究。文獻(xiàn)[1]針對(duì)船式起重機(jī)采用了最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的控制器，仿真結(jié)果表明其能較大幅度抑制負(fù)載擺動(dòng)，可以提高船式起重機(jī)的運(yùn)輸效率與安全系數(shù)。與龍門起重機(jī)和橋式起重機(jī)相比，塔式起重機(jī)具有更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性和更強(qiáng)的耦合性，目前有關(guān)塔式起重機(jī)防擺控制的研究較少[2]。文獻(xiàn)[3]將粒子群優(yōu)化算法用于塔式起重機(jī)滑模控制器的參數(shù)優(yōu)化，提高了防擺控制器的性能。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了基于延遲反饋和模糊控制的塔機(jī)變幅小車定位和負(fù)載防擺控制器，在提高控制小車位置精度的同時(shí)，能有效地消除負(fù)載擺動(dòng)。

當(dāng)前，大多數(shù)塔式起重機(jī)的控制策略是基于原始非線性動(dòng)力學(xué)在平衡點(diǎn)附近的線性化理論提出的，這樣會(huì)造成一定的模型誤差，使得基于模型的起重機(jī)消擺控制算法的性能受到一定影響。因此，筆者在全面分析本研究領(lǐng)域國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，針對(duì)四自由度塔式起重機(jī)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論提出一種防擺控制算法，通過(guò)理論分析證明系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，當(dāng)起重機(jī)塔臂回轉(zhuǎn)角度、變幅小車位移和負(fù)載擺角與偏離各自平衡點(diǎn)的距離較遠(yuǎn)時(shí)，提出的控制算法仍然有效。

本文采用差分進(jìn)化算法對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，降低參數(shù)整定難度。但差分進(jìn)化算法性能優(yōu)劣主要與其參數(shù)的設(shè)置和進(jìn)化策略的選擇有關(guān)，如若選擇不當(dāng)，通常導(dǎo)致進(jìn)化種群過(guò)早地丟失多樣性，使得種群個(gè)體集中到某一局部最優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)而使得種群整體早熟收斂，搜索停滯[5]。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文對(duì)差分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)，以實(shí)現(xiàn)塔臂回轉(zhuǎn)角度、變幅小車位移的快速跟蹤定位，以及對(duì)負(fù)載擺角的有效抑制。

1 三維塔式起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

三維定繩長(zhǎng)塔式起重機(jī)簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1 三維塔式起重機(jī)簡(jiǎn)化模型

系統(tǒng)建模所需的狀態(tài)變量及相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)狀態(tài)變量及相關(guān)參數(shù)

基于Lagrange動(dòng)力學(xué)微分方程，可以得到簡(jiǎn)化后的塔式起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型[6]：

(1)

上述矩陣與向量的詳細(xì)表達(dá)式為：

(2)

(3)

(4)

(5)

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2.1 控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于三維塔式起重機(jī)系統(tǒng)而言，主要控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)快速且準(zhǔn)確的變幅小車定位，同時(shí)保證負(fù)載擺動(dòng)的抑制消除。根據(jù)塔機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，其控制目標(biāo)可以描述為：

(6)

式中：βd—塔臂回轉(zhuǎn)角度的期望值，rad；sd—變幅小車移動(dòng)距離的期望值，m。

(7)

對(duì)式(7)關(guān)于時(shí)間進(jìn)行微分，可得：

(8)

由式(1)可得：

(9)

(10)

進(jìn)而可得：

(11)

設(shè)計(jì)防擺控制器為：

(12)

式中：eβ—塔臂回轉(zhuǎn)角度跟蹤誤差，eβ=β-βd；es—變幅小車定位跟蹤誤差，es=s-sd；λ1β,λ2β,λ3β,λ4β,kpβ,kdβ,λ1s,λ2s,λ3s,λ4s,kps,kds—控制器參數(shù)，其取值范圍為正實(shí)數(shù)。

2.2 穩(wěn)定性分析

證明：選取Lyapunov函數(shù)：

(13)

對(duì)V求導(dǎo)得：

(14)

將式(11，12)代入式(14)可得：

(15)

3 基于改進(jìn)差分進(jìn)化算法的防擺控制器參數(shù)優(yōu)化

由式(12)可知，防擺控制器需要整定的參數(shù)有12個(gè)，若根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行人工調(diào)參，工作復(fù)雜艱巨。筆者采用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，使控制器能獲得更好的性能。

差分進(jìn)化算法(differential evolution，DE)是一種高效的基于群體差異的啟發(fā)式并行搜索方法，具有控制參數(shù)少、設(shè)置簡(jiǎn)單、優(yōu)化結(jié)果穩(wěn)健等優(yōu)點(diǎn)。差分進(jìn)化算法的性能在很大程度上取決于變異因子F和交叉概率CR。而在傳統(tǒng)DE算法中，2個(gè)參數(shù)的設(shè)置為定值，導(dǎo)致算法不能夠根據(jù)實(shí)際情況作出調(diào)整[9]。因此，本文基于傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)。

本文所采用的改進(jìn)差分進(jìn)化算法主要包括以下步驟：

(1)種群初始化及參數(shù)設(shè)置

首先根據(jù)問(wèn)題，設(shè)置種群的大小NP以及個(gè)體向量的維數(shù)D[10]，然后隨機(jī)初始化一個(gè)種群Xi,G=(X1,G,X2,G,…,XNP,G)T。其中，G代表當(dāng)前種群的迭代次數(shù)；

(2)變異操作

差分進(jìn)化算法中，變異操作是利用變異策略使種群中的每個(gè)父代個(gè)體產(chǎn)生新的個(gè)體。

為了提高變異策略在前期的開(kāi)發(fā)性能和算法后期的局部搜索能力，本文在高斯變異策略[11]的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)：

(16)

式中：Xpbest,G—當(dāng)前種群按照適應(yīng)度由好到劣進(jìn)行排序，進(jìn)而從適應(yīng)度較好的前p%個(gè)個(gè)體中隨機(jī)選擇的個(gè)體；Xi,G—當(dāng)前個(gè)體；Vi,G—生成的變異新個(gè)體。

(3)交叉操作

交叉操作的目的是提高種群的多樣性，其公式為：

(17)

式中：uij,G,j=1,2,…,D—交叉生成的試驗(yàn)個(gè)體Ui,G的各維分量；CR—交叉概率；randj—介于0到1的隨機(jī)數(shù)；jrand—介于1到D的隨機(jī)整數(shù)。

交叉概率CR決定變異個(gè)體對(duì)實(shí)驗(yàn)向量的影響權(quán)重，當(dāng)選取較大的交叉概率時(shí)，能夠提高種群多樣性，同時(shí)通常也會(huì)加速收斂，而較小的交叉概率有利于分析個(gè)體各維可分離問(wèn)題。在自適應(yīng)DE算法JADE[12]中，交叉概率的初始值是由均值0.5和標(biāo)準(zhǔn)偏差0.1的正態(tài)分布獨(dú)立生成的，同時(shí)在算法執(zhí)行過(guò)程中，會(huì)根據(jù)搜索經(jīng)驗(yàn)來(lái)更新CR。

遵循這一思想，本文提出了一種簡(jiǎn)單的自適應(yīng)策略來(lái)動(dòng)態(tài)更新CR，具體如下：

(18)

式中：CRi,G—對(duì)應(yīng)個(gè)體Xi,G的交叉概率；c—介于0到0.5的常數(shù)；f(·)—適應(yīng)度函數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)值越小代表個(gè)體性能更加優(yōu)越；μi,G,i=1,2,…,D—更新交叉概率的高斯分布均值，其初始值為0.5。

(4)選擇操作

選擇操作是對(duì)試驗(yàn)個(gè)體Vi,G與目標(biāo)個(gè)體Xi,G進(jìn)行適應(yīng)度的比較，適應(yīng)度較好的個(gè)體進(jìn)入子代，從而提高種群的適應(yīng)度。其過(guò)程如下：

(19)

由于防擺控制器性能由12個(gè)主要的控制參數(shù)決定，則設(shè)定差分進(jìn)化算法的個(gè)體維度為12，適應(yīng)度函數(shù)反映控制系統(tǒng)所要求的控制目標(biāo)，指導(dǎo)算法按控制目標(biāo)要求不斷進(jìn)化。為了得到較好的過(guò)程動(dòng)態(tài)特性，此處采用誤差絕對(duì)值與時(shí)間的乘積的時(shí)間積分作為最小目標(biāo)函數(shù)。

考慮到塔機(jī)在進(jìn)行變幅和回轉(zhuǎn)時(shí)如果超調(diào)量較大，可能會(huì)引起塔機(jī)間或者貨物與障礙物間的碰撞，因此，在適應(yīng)度函數(shù)中引入系統(tǒng)超調(diào)量，即目標(biāo)函數(shù)為：

(20)

4 仿真分析

為了驗(yàn)證使用改進(jìn)差分進(jìn)化算法優(yōu)化防擺控制器的優(yōu)越性，筆者采用經(jīng)典DE/rand/1/bin優(yōu)化算法進(jìn)行仿真對(duì)比。設(shè)置差分進(jìn)化算法種群規(guī)模為100，最大迭代次數(shù)為30次，c=0.4,p=3，設(shè)置DE/rand/1/bin的參數(shù)為F=0.5,CR=0.9[13]。塔式起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型相關(guān)參數(shù)取為mt=50 kg，mc=5 kg,l=3 m,J=30 kg·m2,bs=90,bβ=140,bθ1=12,bθ2=12,g=9.81。期望位置設(shè)為sd=1 m,βd=45°。優(yōu)化算法適應(yīng)度函數(shù)權(quán)重系數(shù)分別設(shè)置為ω1=ω2=1,ω3=ω4=3，ωMp=[100 100 38 38]T。

進(jìn)行仿真試驗(yàn)后，得到適應(yīng)度函數(shù)值變化曲線如圖2所示。

圖2 適應(yīng)度函數(shù)值變化曲線

由圖2可以看出：改進(jìn)差分進(jìn)化算法與DE/rand/1/bin優(yōu)化算法收斂速度幾乎相同，但改進(jìn)差分進(jìn)化算法求得的最優(yōu)解的適應(yīng)度函數(shù)值較DE/rand/1/bin更小，具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力，減小了陷入局部最優(yōu)的概率。

為了進(jìn)一步分析該塔式起重機(jī)控制方法的有效性與可行性，采用MATLAB/Simulink進(jìn)行數(shù)值仿真試驗(yàn)驗(yàn)證；對(duì)部分反饋線性化防擺控制器[14]與本文改進(jìn)差分進(jìn)化算法自動(dòng)整定的防擺控制器分別進(jìn)行仿真試驗(yàn)，期望位置及系統(tǒng)參數(shù)與上述試驗(yàn)相同。

本文控制算法參數(shù)整定結(jié)果為：λ1β=90.64,λ2β=8.09,λ3β=42.18,λ4β=11.04,kpβ=98.43,kdβ=4.31,λ1s=14.25,λ2s=20.87,λ3s=51.08,λ4s=18.28,kps=37.79,kds=0.31。經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)整定，對(duì)于部分反饋線性化控制器參數(shù)取為Kd1=0.8,Kd2=0.9,Kp1=1.2,Kp2=1.4。

部分反饋線性化控制器及本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)差分進(jìn)化算法整定后的控制器仿真結(jié)果如圖(3～6)所示。

圖3 塔臂回轉(zhuǎn)角度跟蹤曲線

圖4 變幅小車位移跟蹤曲線

圖6 負(fù)載擺角θ2變化曲線

由仿真結(jié)果可以看出：兩種控制方法都可以實(shí)現(xiàn)塔式起重機(jī)防擺與定位控制，且塔臂回轉(zhuǎn)、變幅小車位移無(wú)超調(diào)；但使用本文所提控制器較部分反饋線性化控制器的系統(tǒng)收斂時(shí)間更短，消擺效果更好。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)未經(jīng)線性化處理的塔式起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，筆者提出了一種防擺控制器，并將改進(jìn)后的差分進(jìn)化算法用于控制器的參數(shù)優(yōu)化；仿真結(jié)果表明：改進(jìn)差分進(jìn)化算法克服了傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法尋優(yōu)速度不足和容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，得到的適應(yīng)度函數(shù)值更優(yōu)。

將本文所提控制方法與部分反饋線性化方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明：本文控制方法能對(duì)塔機(jī)期望位置快速跟蹤與消擺，有助于提高塔式起重機(jī)工作效率，并更好地保障系統(tǒng)的安全。