陳修龍，陳天祥

（山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東青島 266590）

0 引言

機(jī)械原理課程設(shè)計(jì)是培養(yǎng)學(xué)生機(jī)構(gòu)分析能力的重要環(huán)節(jié)，但傳統(tǒng)課程設(shè)計(jì)主要針對平面連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析，動(dòng)力學(xué)分析的較少，特別是課程設(shè)計(jì)中對機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析還很鮮見。作為重要應(yīng)用機(jī)構(gòu)類型之一的機(jī)器人機(jī)構(gòu)受到了廣大企業(yè)和科研院所的關(guān)注［1-3］，在機(jī)械原理課程設(shè)計(jì)中增加機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的內(nèi)容，不但能滿足有較好課程基礎(chǔ)和分析能力學(xué)生的需要，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展思路，而且能做好校內(nèi)學(xué)習(xí)內(nèi)容與校外需求的統(tǒng)一，為學(xué)生分析能力的培養(yǎng)和就業(yè)都具有重要的作用。

平面3 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是機(jī)器人機(jī)構(gòu)的重要分支，其結(jié)構(gòu)簡單，制造成本低，在芯片封裝及電路板精密切割等領(lǐng)域具有較廣的應(yīng)用，已逐漸成為國內(nèi)外研究熱點(diǎn)［4-8］。并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模分析是動(dòng)力學(xué)性能評價(jià)、精確控制和優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)［9-14］，也是機(jī)器人機(jī)構(gòu)工程應(yīng)用的理論依據(jù)。Hamdoun 等［15］研究了3-RRR并聯(lián)機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，并進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)研究；馬立等［16］建立了3-PRR平臺的偽剛體模型及對其進(jìn)行位姿分析，獲得了平臺的正、逆解；Mo等［17］、楊杰等［18］對平面3-RRR 和3PRR 并聯(lián)平臺進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和運(yùn)動(dòng)控制研究；Can 等［19］研究了平面3-RRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)3 個(gè)曲柄在不同方向旋轉(zhuǎn)時(shí)的奇異位姿。Lipiński［20］研究了基于RRR平臺并聯(lián)機(jī)器人復(fù)雜機(jī)電一體化系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題；趙磊等［21］建立了3-RRR柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的偽剛體模型，并采用矢量代數(shù)法理論推導(dǎo)了該機(jī)構(gòu)的位姿正解；張東勝等［22］基于（2PRR）～2 +R 3 自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)造了一種新型5 自由度串并混聯(lián)機(jī)器人并對其并聯(lián)部分進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，推導(dǎo)出冗余和非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度矩陣和機(jī)構(gòu)固有頻率方程；陳修龍等［23］對3-PRR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與分析，并研究了其工作空間及運(yùn)動(dòng)學(xué)特性；?zgür 等［24］提出了一種用于并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模的線性方法；朱大昌等［25］采用優(yōu)化準(zhǔn)則算法，結(jié)合矢量同構(gòu)映射方程，對3-PRR型平面3 自由度全柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了同構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)；Li 等［26］研究了冗余驅(qū)動(dòng)平面旋轉(zhuǎn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)（RAPRPMS）通過改變內(nèi)力來調(diào)節(jié)機(jī)器人剛度的設(shè)計(jì)方法；鄒琦等［27］提出了一種新型的具有無窮對稱位置的平面3 自由度可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用閉環(huán)矢量方程進(jìn)行正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，通過遺傳算法進(jìn)行桿件優(yōu)化。

本文在機(jī)械原理課程設(shè)計(jì)中對3-移動(dòng)副-轉(zhuǎn)動(dòng)副-轉(zhuǎn)動(dòng)副（3-prismatic pair-rotating pair-rotating pair，3-PRR）平面并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)剛體動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究，建立機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解數(shù)學(xué)模型，基于第2 類拉格朗日方程進(jìn)行逆動(dòng)力學(xué)建模與分析，求出各個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)上的驅(qū)動(dòng)力，結(jié)合Adams仿真結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。

1 3-PRR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)介紹

如圖1 所示，3-PRR 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)具有三條對稱的PRR支鏈，機(jī)構(gòu)整體主要由7 個(gè)活動(dòng)構(gòu)件，6 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和3 個(gè)移動(dòng)副構(gòu)成，每條支鏈上的滑塊底部與定平臺通過移動(dòng)副連接，滑塊上部與從動(dòng)連桿通過轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，從動(dòng)連桿的另一端與動(dòng)平臺轉(zhuǎn)動(dòng)連接。通過自由度計(jì)算公式可知，3-PRR 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的自由度為3，具有平面內(nèi)2 個(gè)移動(dòng)1 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)共3 個(gè)自由度。

圖1 3-PRR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)模型簡圖

如圖1 所示，3-PRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要包含1 個(gè)定平臺A1A2A3，1個(gè)動(dòng)平臺a1a2a3，3個(gè)滑塊Bi，3個(gè)從動(dòng)桿Biai，其中AiBi為固定在定平臺上的3 個(gè)滑動(dòng)導(dǎo)軌，Bi和ai處為平面轉(zhuǎn)動(dòng)軸承。全局坐標(biāo)系為OA-XAYA，原點(diǎn)OA為等邊三角形A1A2A3的中心，XA 軸沿A2A3方向；動(dòng)平臺局部坐標(biāo)系為Oa-XaYa，原點(diǎn)Oa為等邊三角形a1a2a3的中心，Xa軸沿a2a3方向。

2 3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解建模

2.1 位置分析

對于第i條支鏈（i=1～3），滑塊Bi的中心與點(diǎn)Ai之間的距離為li，從動(dòng)連桿Biai的桿長為Si，動(dòng)平臺a1a2a3的外接圓半徑為r，定平臺A1A2A3的外接圓半徑為R。其中l(wèi)i和Si與全局坐標(biāo)系XA 軸的夾角分別為αi和θi，且li指向定平臺中心OA，Oaai與動(dòng)平臺局部坐標(biāo)系的Xa軸的夾角為βi。動(dòng)平臺中心Oa的坐標(biāo)在全局坐標(biāo)系下為

式中：x、y分別為動(dòng)平臺中心的全局坐標(biāo)；φ為動(dòng)平臺局部坐標(biāo)系相對全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度。

對于支鏈i，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)反解方程如下：

式中：AxAi=Rcos αi；AyAi=Rsin αi；Axai=x+rcos (βi+φ）；Ayai=y+rsin (βi+φ）。

2.2 速度分析

將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（1）對時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，得到速度反解方程如下：

將方程（2）寫成矩陣形式：

2.3 加速度分析

速度反解方程（3）對時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，得到加速度反解方程：

3 基于拉格朗日方程的動(dòng)力學(xué)建模分析

動(dòng)力學(xué)模型描述了并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)和各個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)力傳遞關(guān)系。在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)階段，逆動(dòng)力學(xué)建模分析對電動(dòng)機(jī)選型、能耗分析和軌跡規(guī)劃等具有重要指導(dǎo)意義。本文使用第2 類拉格朗日方程對3-PRR 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行逆動(dòng)力學(xué)建模分析。

3.1 構(gòu)件質(zhì)心坐標(biāo)

在不考慮摩擦力、黏滯阻力等因素影響，只考慮機(jī)構(gòu)本身的力傳遞關(guān)系前提下建立剛體逆動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)圖1 的坐標(biāo)描述，可定義各個(gè)構(gòu)件的質(zhì)心坐標(biāo)，其中滑塊的質(zhì)心坐標(biāo)為（AXli，AYli），從動(dòng)桿的質(zhì)心坐標(biāo)為（AXSi，AYSi），動(dòng)平臺的質(zhì)心坐標(biāo)為（x，y），分析可得：

3.2 構(gòu)件質(zhì)心速度

對構(gòu)件的質(zhì)心坐標(biāo)求導(dǎo)可得各構(gòu)件的質(zhì)心速度，滑塊的質(zhì)心速度，從動(dòng)桿的質(zhì)心速度為），動(dòng)平臺的質(zhì)心速度。滑塊和從動(dòng)桿的質(zhì)心速度可以表示為：

3.3 系統(tǒng)動(dòng)能

系統(tǒng)的總動(dòng)能T 分別包括3 個(gè)滑塊的動(dòng)能Tli，3個(gè)從動(dòng)連桿的動(dòng)能TSi和動(dòng)平臺的動(dòng)能T0。整理可得系統(tǒng)的總動(dòng)能為：

經(jīng)整理可得系統(tǒng)的動(dòng)能：

3.4 等效廣義力

并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)為一個(gè)非保守系統(tǒng)，由非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程可知，方程式等號右邊的Qi即為非保守力，作用于其上的非保守力主要包括驅(qū)動(dòng)力、生產(chǎn)阻力和耗散力等。最主要的耗散力為摩擦阻力，由于系統(tǒng)的摩擦力相對于驅(qū)動(dòng)力和生產(chǎn)阻力而言很小，所以為了簡化動(dòng)力學(xué)模型，可以不考慮耗散力的影響，只計(jì)算驅(qū)動(dòng)力和生產(chǎn)阻力產(chǎn)生的影響。

機(jī)構(gòu)的3 個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)為移動(dòng)副，設(shè)3 個(gè)滑塊的驅(qū)動(dòng)力分別為Fdi，機(jī)構(gòu)所受外力負(fù)載全部等效作用于動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)換到定坐標(biāo)系中表示為f。

由虛功原理可知，

式中：δ W′為虛功之和；δ qi為廣義虛位移；Qdi=為驅(qū)動(dòng)力所對應(yīng)的廣義力；為外力負(fù)載所對應(yīng)的廣義力；f=［fxfyMf］T為外力負(fù)載。

3.5 系統(tǒng)的拉格朗日方程

選擇動(dòng)平臺所在的平面為零勢能面，機(jī)構(gòu)在平面系統(tǒng)內(nèi)沒有重力做功，由于系統(tǒng)中所有運(yùn)動(dòng)副都屬于理想約束，所以平面3-PRR 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)屬于存在非有勢力的理想約束完整系統(tǒng)，系統(tǒng)的拉格朗日方程可寫成：

已知系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L=T -V。其中：T為動(dòng)能；V為勢能。由于機(jī)構(gòu)所在平面為零勢能面，故勢能V=0；L=T。系統(tǒng)的拉格朗日方程可寫為：

把系統(tǒng)的總動(dòng)能方程式（6）代入拉格朗日方程式（8），選取li為廣義坐標(biāo)為廣義速度，可求得各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力：

3.6 動(dòng)力學(xué)模型數(shù)值算例與Adams仿真分析

動(dòng)力學(xué)仿真在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)階段有重要意義，可通過機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真，確定驅(qū)動(dòng)功率大小、分析負(fù)載特性等，同時(shí)仿真分析也可以驗(yàn)證理論計(jì)算的正確性。因此，有必要對平面3-PRR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析。

數(shù)值算例的理論計(jì)算部分采用Matlab，分別對理論計(jì)算結(jié)果和Adams 軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對比分析。平面3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端在運(yùn)行圓形軌跡的時(shí)候，3個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)對稱，為了驗(yàn)證理論計(jì)算的正確性和便于觀察，軌跡將采用圓形軌跡，對比理論計(jì)算的每個(gè)關(guān)節(jié)的廣義力和仿真得到的驅(qū)動(dòng)力，如圖2、3 所示。

表1 計(jì)算仿真參數(shù)表

動(dòng)平臺和定坐標(biāo)系之間的角度φ=30°，動(dòng)平臺中心沿一個(gè)半徑為0.01 m的圓形軌跡運(yùn)行，軌跡的圓心為全局坐標(biāo)系原點(diǎn)OA，每0.2 s 運(yùn)行一周。軌跡方程表達(dá)式為：

圖2 空載時(shí)Matlab計(jì)算曲線圖

圖3 空載時(shí)Adams仿真曲線圖

動(dòng)平臺質(zhì)心的初始坐標(biāo)為：x0=0.01，y0=0，φ0=30°。

通過圖2、3 的曲線對比，可以看出理論計(jì)算結(jié)果的值和Adams仿真的結(jié)果的值基本一致，3 個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)對稱，相位互差2/3 πrad。Adams 仿真結(jié)果驗(yàn)證了3-PRR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模的正確性。

在動(dòng)平臺質(zhì)心處沿著定坐標(biāo)系x 軸方向施加5N的負(fù)載力，保持式（10）的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，進(jìn)行Matlab數(shù)值計(jì)算與Adams仿真對比分析，結(jié)果見圖4、5。

圖4 負(fù)載為5N時(shí)Matlab計(jì)算曲線圖

通過對比圖4、5 和圖2、3 可以看出，給動(dòng)平臺添加負(fù)載之后，各驅(qū)動(dòng)桿的驅(qū)動(dòng)力都收到不同程度的影響，Adams仿真結(jié)果和Matlab計(jì)算的結(jié)果基本一致。

圖5 負(fù)載為5N時(shí)Adams仿真曲線圖

4 結(jié)語

在機(jī)械原理課程設(shè)計(jì)中對平面3-PRR 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模和分析。建立了3-PRR 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解數(shù)學(xué)模型，基于第二類拉格朗日方程對平面3-PRR 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行逆剛體動(dòng)力學(xué)建模，推導(dǎo)出3-PRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)動(dòng)能方程，計(jì)算了系統(tǒng)的等效廣義力，在空載和施加負(fù)載力兩種情況下進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分別求解出了在相同給定軌跡下空載和負(fù)載時(shí)各個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力，并采用Adams仿真結(jié)果與Matlab 理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證了理論建模的正確性。