柴 楊，劉 成，王青元，白寶雪，張桂南

（1 西南交通大學 電氣工程學院，成都 611756；2 中國鐵道科學研究院集團有限公司 機車車輛研究所，北京 100081）

隨著我國鐵路運輸規(guī)模的不斷擴大，如何削減鐵路系統(tǒng)的能源消耗成為重要問題。因此，研究如何實現(xiàn)貨運列車的節(jié)能運行，對降低鐵路運輸成本具有關鍵意義。1970年，F(xiàn)iguera[1]提出列車在以平緩坡道為主的短途區(qū)間運行時，列車優(yōu)化操縱應包括牽引、惰行以及制動3個階段。后來，Milroy[2]以最優(yōu)控制理論為基礎，利用Pontrayagin極大值原理推導列車最優(yōu)的操縱工況序列為全力牽引、惰行和最大制動3種不同的工況組合而成。丁勇[3]提出了基于目標速度的列車控制策略，改善了定時約束下的列車節(jié)能操縱。王青元[4]等將再生制動與空氣制動相分離，提出了考慮再生制動能量利用和牽引系統(tǒng)效率的高速列車節(jié)能最優(yōu)操縱優(yōu)化算法。Lee[5]發(fā)現(xiàn)在長距離運行時，還會存在區(qū)間恒速工況。Liu R F[6]發(fā)現(xiàn)在準點和限速約束下，還存在部分制動工況，并討論了5種最優(yōu)工況的切換時機。

基于極值原理推導，以伴隨變量尋優(yōu)間接求解列車節(jié)能最優(yōu)控制問題，優(yōu)勢在于，解釋了有限種操縱工況的最優(yōu)性及應用時機，這與優(yōu)秀司機操縱經驗高度一致。但基于極大值原理的速度軌跡最優(yōu)化間接求解法涉及大量的微分計算及迭代求解，算法復雜，且計算量較大[7]。因此，一類數(shù)學規(guī)劃方法被應用到列車運行優(yōu)化控制，其特點在于將最優(yōu)控制問題轉化為數(shù)學規(guī)劃問題進行求解，可避免復雜的理論推導，計算量在一定程度上可根據求解精度需求進行調整。荷蘭代爾夫特理工大學的Wang Y[8-9]等將高斯偽譜法、混合整數(shù)規(guī)劃等方法引入列車節(jié)能優(yōu)化操縱中，并應用于地鐵線路。唐海川[10]將列車車速離散化，將線路劃分成子區(qū)間，應用動態(tài)規(guī)劃算法進行在線求解。Zhang[11]以減小貨運列車車鉤間作用力、牽引能耗、提高速度跟蹤性能為目標，將列車節(jié)能優(yōu)化問題轉化為二次規(guī)劃問題進行求解。但這類數(shù)學規(guī)劃方法在最底層尋優(yōu)往往采用非線性規(guī)劃，其空間離散求解的本質決定了其無法得到恒速區(qū)段的奇異控制工況，取而代之的是一定速度波動下的準恒速控制。此外，上述研究都忽略了電分相存在時不可使用牽引工況的實際工程應用情況。

嘗試將最優(yōu)控制理論得到的有限工況集及奇異控制工況應用優(yōu)勢，與數(shù)學規(guī)劃求解高效靈活的特點相結合，同時考慮電氣化鐵路電分相對操縱工況的影響，提出了一種基于極大值原理分析結論的動態(tài)規(guī)劃算法，在保證求解精度的同時實現(xiàn)快速優(yōu)化，可有效降低列車運行能耗，實現(xiàn)全局意義的節(jié)能運行優(yōu)化。

1 問題描述與建模

1.1 列車節(jié)能運行優(yōu)化問題

列車節(jié)能運行優(yōu)化問題可以做如下描述：

對于給的列車車型與列車運行線路，列車由靜止出發(fā)，在所給運行時間的約束下到達終點站并停車。在滿足列車安全、平穩(wěn)運行的前提下，建立列車節(jié)能優(yōu)化操縱模型，采用特定求解算法進行優(yōu)化、計算求解，給出列車操縱策略，保證列車運行能耗最少。

圖1 列車節(jié)能運行優(yōu)化框圖

1.2 列車節(jié)能運行優(yōu)化模型

列車節(jié)能運行優(yōu)化模型的目標函數(shù)為：

式中：S0為運行區(qū)間起點位置；S1為運行區(qū)間終點位置；Ft為列車所發(fā)揮的牽引力；Fe為列車發(fā)揮的電制動力；ηt、ηe分別對應于列車牽引、電制動工況下的整車機電效率的等效值；α為列車再生制動能量利用率。

列車運行速度應滿足：

式(2)為列車在起車點與停車點的關鍵點約束；式(3)中，vlim表示列車的限速。

列車運行時分應滿足：

式中：T為區(qū)間的計劃總運行時分；v(S)為位置S處的速度；δ為最大允許時分偏差，δ＞0。

列車的運動方程如下：

式中：M為列車質量；γ為列車回轉質量系數(shù)；Fb為列車所受總制動力；W0為列車所受基本運行阻力；Wj為列車所受線路附加阻力。

列車受力應滿足：

式中：Ft，max、Fb，max分別為當前運行速度下能施加的最大牽引力、制動力；SD為電分相區(qū)域集合；g為重力加速度，a、b、c為基本阻力系數(shù)，r為線路曲線半徑i(x)為坡度千分數(shù)。

列車節(jié)能運行優(yōu)化模型可由式(1)～式(12)建立。

2 動態(tài)規(guī)劃求解

2.1 列車節(jié)能運行優(yōu)化理論

根據極大值原理的分析結論，要使列車在規(guī)定時間內的區(qū)間運行能耗最小，列車的運行操縱方式應由最大牽引、恒速、惰行和最大制動4種工況組成[2]。對于簡單線路，典型的列車節(jié)能最優(yōu)操縱過程如圖2所示：

圖2 典型列車節(jié)能最優(yōu)操縱方式示意圖

2.2 動態(tài)規(guī)劃求解算法設計

文中的優(yōu)化方法基于列車節(jié)能操縱的基本原理，利用列車動力學模型，設定列車恒速工況的速度間隔實現(xiàn)離散化，這種正向推導的方法與其他動態(tài)規(guī)劃方法相比，狀態(tài)生成數(shù)量要大大減少，狀態(tài)空間更符合實際情況，從而使得算法計算量減少，有利于快速求解。做出定義如下：

(1) 狀態(tài)：用列車所處的位置以及運行速度表示，記為G(s，v)；

(2) 決策變量：列車下一步可采取的操縱工況，記為u，u∈{u1，u2…，un}；

(3) 狀態(tài)轉移：由當前狀態(tài)確定下一狀態(tài)的過程。取決因素為決策變量，記為Gq=f(Gp，ui)，列車行駛方向正向為狀態(tài)轉移的方向；

(4) 狀態(tài)轉移成本：列車在一個狀態(tài)轉移或相連的若干狀態(tài)轉移中所付出的成本由能耗E、時間消耗T構成，記為D=E+λT，其中λ為權重系數(shù)；

(5)狀態(tài)空間：所有列車狀態(tài)所構成的全部集合；

(6) 狀態(tài)轉移路線：使列車由初狀態(tài)到末狀態(tài)的狀態(tài)轉移的集合。

綜上，在求解列車的節(jié)能最優(yōu)操縱方式時，需要確定列車可能到達的狀態(tài)。然后求解使狀態(tài)轉移成本最小的狀態(tài)轉移路線，得到最優(yōu)決策變量集合，即成本最小的操縱方式。

文中的優(yōu)化算法可以通過不斷調整能耗、時間的權重系數(shù)進行迭代計算，最終使最優(yōu)操縱方式在時間成本滿足總運行時間約束前提下實現(xiàn)成本最小，即為在給定時間約束下的列車操縱方式。

2.2.1確定全部狀態(tài)空間

建立以位置為橫軸，以速度為縱軸的直角坐標系，狀態(tài)可用坐標系中的點（位置，速度）表示，其中，原點表示列車在始發(fā)站的狀態(tài)。定義單位速度Δv，令列車只能以Δv的整數(shù)倍速度作為恒速運行時的巡航速度，即允許巡航速度集為vCR，其中：

考慮到實際列車具有一定長度，將線路限速以位置-速度關系繪于坐標系中。其中，在線路限速上升處，為保證列車車尾不超過限速，在列車車尾駛離低限速區(qū)段時才允許加速運行，故對限速上升處進行預處理，將低限速區(qū)向列車行駛方向延長L，如圖3所示。

圖3 限速處理示意圖

在本算法的動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)空間確定的過程中，引入了最優(yōu)操縱優(yōu)化的結論，定義了單位速度為Δv，以Δv為依據，按照其整數(shù)倍劃分網格，將其作為巡航速度，繪制列車恒速曲線，從起車以及限速升高位置正向繪制全力牽引曲線，從停車以及限速降低位置反向繪制全力制動曲線。在繪制完成后，以列車的制動曲線為基礎，按照Δv的間隔，反向繪制列車惰行曲線。所有曲線繪制完畢后，分別代表了4種不同的操縱工況，全線曲線之交點作為動態(tài)規(guī)劃算法的狀態(tài)點，所有的狀態(tài)點構成了狀態(tài)空間。若線路存在電分相，電分相區(qū)域內牽引曲線將被刪除，從電分相始端的牽引曲線處向電分相末端繪制惰行曲線，再從惰行曲線末端繪制牽引曲線，如圖4中第2區(qū)間所示；若電分相區(qū)域存在制動曲線，則無需處理，如圖4中第3區(qū)間所示；其他情況則在電分相起止端的惰行曲線處向電分相兩側添加牽引曲線，如圖4中第1區(qū)間所示。

求得狀態(tài)空間后，兩相鄰狀態(tài)間的曲線唯一確定一個狀態(tài)轉移過程，根據能耗計算公式以及列車運動方程式(6)、式(7)求得對應狀態(tài)轉移成本。能耗計算公式如式（13）：

圖4 狀態(tài)空間求解示意圖

2.2.2建立動態(tài)規(guī)劃遞推函數(shù)

動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化目標使總狀態(tài)轉移成本最小，即：

式中：EK、TK分別為某個狀態(tài)轉移過程中的能耗與時間成本，N對應狀態(tài)轉移路線中初狀態(tài)到末狀態(tài)之間狀態(tài)轉移總次數(shù)，每一個狀態(tài)轉移路線都對應一個確定的N值。

定義從狀態(tài)轉移到第p狀態(tài)點的最小能耗-時間成本表示為Dp，則：

式中：M為狀態(tài)轉移路線中由列車初狀態(tài)到某一p狀態(tài)之間狀態(tài)轉移總次數(shù)。

從p狀態(tài)到q狀態(tài)的狀態(tài)轉移對應的狀態(tài)轉移成本記為：

式中：Epq、Tpq分別為p狀態(tài)點到q狀態(tài)點狀態(tài)轉移的能耗與時間成本。

則最小狀態(tài)轉移成本的遞推關系：

式中：Mq為所有能夠通過一次狀態(tài)轉移到q的狀態(tài)點的集合；D0為初狀態(tài)點對應的最小狀態(tài)轉移成本。

3 仿真案例

為驗證文中所構建的貨運列車優(yōu)化算法的有效性，在MATLAB環(huán)境下進行優(yōu)化算法仿真。為使仿真盡量貼近應用實際，本節(jié)選用目前朔黃鐵路實際運行的HXD1型電力機車牽引的貨運列車進行仿真，仿真所用車輛為C80型貨運車輛，機車、車輛和編組信息分別如表1～表3所示。

表1 HXD1型機車參數(shù)

表2 C80型貨車參數(shù)

表3 編組數(shù)據

HXD1電力機車牽引控制手柄的最大級位為13級，級間可平滑調節(jié)，軸重25 t時的牽引特性如式18所示。

HXD1型電力機車的動力制動為再生制動，司機控制器最大手柄級位為12級，級間可平滑調節(jié)。當列車運行在復雜線路上時，司機可根據制動力需求調節(jié)機車動力制動力，實現(xiàn)列車調速運行。軸重為25 t時，HXD1型電力機車的再生電制動特性公式如式19所示。

采用的仿真線路是有代表性的朔黃鐵路中西柏坡至肅寧北區(qū)段，運行區(qū)段線路全長165.271 km，設定時刻表規(guī)定的運行時間為9 577 s。同時，設定速度間隔為5 km/h、最低恒速速度為20 km/h，文中所述的動態(tài)規(guī)劃算法所形成的狀態(tài)空間如圖5所示。其中：藍色惰行曲線由制動曲線和恒速曲線的交點反向計算惰行而得出。

圖5 列車全部狀態(tài)空間

在上述仿真條件下，將實際運行時間作為計劃總運行時間，根據仿真結果，列車運行速度距離曲線如圖6所示。其中，紅色曲線為牽引工況，紫色曲線代表恒速工況，藍色曲線代表惰行工況，黑色曲線代表制動工況。仿真相關結果參數(shù)如表4所示。

表4 列車運行時間與能耗對比

圖6 列車運行速度距離曲線

分析圖6中的優(yōu)化所得曲線，可以發(fā)現(xiàn)其運行方式與最優(yōu)操縱理論完全相符，起車后在安全平穩(wěn)限制下全力加速運行，避免了提前惰行，使列車有更多富裕時間在制動停車前實現(xiàn)長距離惰行，達到節(jié)能的目的。如在K67之后，列車充分利用前方線路為長距離下坡道的優(yōu)勢，采用了長時間的惰行工況。直到前方出現(xiàn)低限速，進行調速制動。通過低限速后，在考慮列車長度，保證車尾不超限速的情況下，采用全力牽引工況，使列車更早到達較高運行速度。在達到較高的速度水平后，再利用前方以下坡為主的起伏坡道，惰行節(jié)能。直至K161處，進行停車制動。

因此，優(yōu)化結果在經過大下坡道前保持較低的入坡速度，從而在進入大下坡道時通過惰行，充分利用勢能使列車加速。而實車運行時由于入坡速度較大，使列車在大上坡道運行時需要通過制動讓列車不超速，造成一定能量浪費。

最后，取不同的單位速度Δv進行優(yōu)化并進行結果的對比，對比結果如表5所示。當Δv為2.5 km/h時，本算法耗時為463 s，計算時間較長，但牽引能耗最低。隨著Δv的不斷增大，算法耗時逐減小，但優(yōu)化結果的牽引能耗也在增大。因此，若設定較大的單位速度Δv，計算時間大大減少，同時保證了一定的節(jié)能效果。本算法具有一定的靈活性，通過設定合適的單位速度，可以在節(jié)能效果與算法耗時上達到一個平衡，以滿足工程上的不同需求。

表5 不同單位速度下的優(yōu)化結果對比

4 結論

設計了貨運列車優(yōu)化操縱算法，并在MATLAB環(huán)境下對算法進行了一系列的驗證。

（1）設計了一種基于節(jié)能最優(yōu)控制規(guī)則結論的貨運列車動態(tài)規(guī)劃算法，在保證列車總運行時間不變情況下，實現(xiàn)了全線的最優(yōu)節(jié)能運行操縱策略優(yōu)化。同時，考慮電分相情況，使本優(yōu)化方法較好的應用于存在電分相的電氣化鐵路。

（2）以HXD1型電力機車牽引的貨運列車為仿真車型，以朔黃鐵路西柏坡至肅寧北區(qū)段作為仿真線路，結果顯示本算法具有較好的節(jié)能性與適用性。

（3）僅在MATLAB環(huán)境下對算法進行了驗證，但是為了將算法用于貨運列車輔助駕駛乃至自動駕駛系統(tǒng)等工程環(huán)境中，需進行算法的移植與工程應用優(yōu)化。