分布參數(shù)系統(tǒng)的模糊插值推理建模
2021-03-20 02:25:08楊文光韓元良高艷輝
楊文光,韓元良,王 清,高艷輝
(華北科技學(xué)院 理學(xué)院,河北 三河 065201)
在現(xiàn)實(shí)世界中，分布參數(shù)系統(tǒng)是一類廣泛存在的具有無窮維與時空分布特性的系統(tǒng).如化學(xué)反應(yīng)中物質(zhì)的分布、超導(dǎo)體的導(dǎo)電、彈性梁的變形運(yùn)動、污染物在區(qū)域內(nèi)的擴(kuò)散等都屬于典型的分布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例.對于分布參數(shù)系統(tǒng)，不同于集中參數(shù)系統(tǒng)，一般采用機(jī)理建模法得到偏微分方程.若不能搞清楚分布參數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部運(yùn)行機(jī)理，就很難構(gòu)建出偏微分方程模型.如何有效使用各種傳感器獲取的系統(tǒng)時空數(shù)據(jù)，構(gòu)建反映系統(tǒng)內(nèi)部信息的黑箱模型成為問題研究的突破口.Takagi等提出了T-S型模糊系統(tǒng)，成為與Mamdani型模糊系統(tǒng)一樣深受研究者重視的兩大模糊系統(tǒng)之一.李洪興等率先提出了模糊推理建模法，成為繼機(jī)理建模法和系統(tǒng)辨識建模法之后的第三種建模方法，該方法可以利用采樣數(shù)據(jù)，依據(jù)插值機(jī)理建立對應(yīng)系統(tǒng)的變系數(shù)非線性微分方程(組)——HX方程.模糊推理建模法作為處理非線性系統(tǒng)建模的新方法，僅需利用有限采樣數(shù)據(jù)就能較為便捷地得到所研究問題的逼近模型，為問題解決提供了嶄新思路.為了方便進(jìn)行系統(tǒng)的定性或定量分析，邊緣線性化方法對模糊推理建模法進(jìn)行了改進(jìn)，可以建立變系數(shù)線性模型.隨著時間的推移，模糊推理建模方法不斷發(fā)展，基于Fuzzy推理的時變系統(tǒng)建?？梢詰?yīng)用于時變系統(tǒng)的建模上，拓展了模糊推理建模法的應(yīng)用范圍.模糊推理建模在理論研究推進(jìn)的同時，也被用于混沌系統(tǒng)和單水箱液位系統(tǒng)的建模，說明該方法具有較好的實(shí)際應(yīng)用價值.基于模糊變換的新的模糊推理建模法，對模糊推理建模法進(jìn)行了有意義的推廣.張春嶺首次將T-S型模糊系統(tǒng)引入到HX方法中，嘗試解決了集中參數(shù)系統(tǒng)中時變與時不變情況下的建模問題.張保杰等在模糊推理建模時使用矩形隸屬函數(shù)實(shí)現(xiàn)了線性化，獲得了更高的建模精度.以上文獻(xiàn)都將研究重心放在了集中參數(shù)系統(tǒng)上，模糊推理建模法同樣可以被應(yīng)用于解決分布參數(shù)系統(tǒng)的推理建模，且建模精度有更大的改進(jìn)空間.
論文將在上述文獻(xiàn)工作基礎(chǔ)上，將T-S型模糊系統(tǒng)與模糊插值機(jī)理結(jié)合設(shè)計(jì)出T-S型模糊分片Lagrange插值推理建模法.理論推導(dǎo)證明論文所提出的分片T-S型模糊插值推理建模滿足插值性，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論的有效性，使得HX方程成為分布參數(shù)系統(tǒng)的有效表示模型，促使時空復(fù)雜度得到極大簡化，豐富了模糊推理建模方法.
1 T-S型模糊推理建模
定義1
設(shè)X
=[a
,b
],T
=[a
,b
]分別為x
,t
的論域；A
={A
}(1≤≤),B
={B
}(1≤≤)分別為相應(yīng)論域上的模糊劃分，x
,y
分別為模糊集A
,B
的峰點(diǎn)，滿足條件a
=x
<x
<…<x
=b
；a
=t
<t
<…<t
=b
.視A
,B
為語言變量，可形成如下的T-S型模糊規(guī)則庫
(1)
定義2
設(shè)A
的隸屬函數(shù)為“三角波”
(2)
設(shè)B
的隸屬函數(shù)為“三角波”
(3)
其中：i
=1,2,…,p
-1；j
=1,2,…,q
-1.且約定x
=x
,t
=t
.當(dāng)i
=p
,j
=q
時，有
(4)
圖1給出了A
的“三角波”隸屬函數(shù)示意圖，B
具有相似的“三角波”隸屬函數(shù).
圖1 Ai的“三角波”隸屬函數(shù)
基于規(guī)則庫(1)的T-S型模糊系統(tǒng)f
(x
,t
)，在選擇單點(diǎn)模糊化、乘積推理機(jī)和中心解模糊化的情況下可表示為
(5)
其中:δ
為分片激活函數(shù),表達(dá)式為
定理1
當(dāng)(x
,t
)∈[a
,b
]×[a
,b
]時，在上述假定和公式(2)～(5)作用下，基于(1)式的二元分布參數(shù)系統(tǒng)u
(x
,t
)的輸入輸出近似模型f
(x
,t
)可簡化表示為
(6)
其中
證明
將輸入輸出論域劃分為(p
-1)×(q
-1)片，提取出p
×q
組數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)(x
,t
,u
)，形成如(1)式的模糊規(guī)則庫.由于模糊集A
與B
均為三角波隸屬函數(shù)(m
=1,2,…,p
；n
=1,2,…,q
)，故?(x
,t
)∈[a
,b
]×[a
,b
]，存在相應(yīng)的i
,j
，使得x
∈[x
,x
+1],t
∈[t
,t
+1]，有0≤A
(x
)≤1,0≤A
+1(x
)≤1,A
(x
)+A
+1(x
)=1，0≤B
(t
)≤1,0≤B
+1(t
)≤1,B
(t
)+B
+1(t
)=1，且A
(x
)=0,m
≠i
,i
+1；B
(t
)=0,n
≠j
,j
+1.所以，對于任意輸入(x
,t
)，p
×q
條規(guī)則中有且僅有4條規(guī)則同時被激活，(5)式可簡化表示為
(7)
又因?yàn)槎植紖?shù)系統(tǒng)u
(x
,t
)滿足Lipschitz條件，所以u
(x
,t
)在[a
,b
]×[a
,b
]上一致連續(xù)，也就滿足連續(xù)可微的條件.考慮以點(diǎn)(x
,t
),(x
,t
+1),(x
+1,t
),(x
+1,t
+1)作為頂點(diǎn)的矩形鄰域，對u
(x
,t
)進(jìn)行分片線性Lagrange插值，得到f
(x
,t
)≈u
(x
,t
)=l
u
+l
+1,u
+1,+l
,+1u
,+1+l
+1,+1u
+1,+1,(8)
其中:f
(x
,t
)是u
(x
,t
)的T-S模糊模型,且
定理2
依據(jù)公式(5)設(shè)計(jì)的T-S型模糊插值推理模型滿足插值性.證明
由定理1可知，對于任意輸入(x
,t
)∈[a
,b
]×[a
,b
]，存在對應(yīng)的矩形鄰域[x
,x
+1]×[t
,t
+1]，使得(x
,t
)∈[x
,x
+1]×[t
,t
+1].i
=1,2,…,p
-1;j
=1,2,…,q
-1.當(dāng)(x
,t
)分別與節(jié)點(diǎn)(x
,t
),(x
+1,t
),(x
,t
+1),(x
+1,t
+1)重合時，對插值性加以驗(yàn)證.將(x
,t
)=(x
,t
)代入公式(6)，得
f
(x
,t
)在其他節(jié)點(diǎn)上同樣滿足插值性.證畢.2 T-S型模糊插值推理建模算法實(shí)現(xiàn)
T-S型模糊插值推理建模在有限采樣數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，充分利用數(shù)據(jù)內(nèi)在的插值逼近特性，反映了采樣數(shù)據(jù)的關(guān)鍵支撐作用.現(xiàn)選擇一種拋物型偏微分方程為例，表述分布參數(shù)系統(tǒng)的T-S型模糊插值推理建模的實(shí)現(xiàn)過程.
(9)
T
=1，該偏微分方程的精確解為
(10)
通過時空傳感器獲得模型的真實(shí)系統(tǒng)的p
×q
組時空輸入輸出數(shù)據(jù)(x
,t
,u
).假設(shè)對x
,t
已完成序的排列(m
=1,2,…,p
；n
=1,2,…,q
)，其中(x
,t
,u
)恰好落在需要建模區(qū)域[0,1]×[0,1]內(nèi)(i
=1,2,…,p
；j
=1,2,…,q
)，這些p
×q
組數(shù)據(jù)可以形成規(guī)則(1)形式.在論文仿真中公式(10)充當(dāng)了時空傳感器角色，具體建模步驟如下：步驟1 以公式(10)作為真實(shí)系統(tǒng)，確定x
與t
的取值范圍，然后確定論域X
=[a
,b
]，T
=[a
,b
]，其中a
=min(x
)，b
=max(x
)，a
=min(t
)，b
=max(t
)，max(),min()分別為MATLAB軟件中的取大、取小操作.
x
,t
)代入真實(shí)系統(tǒng)(10)，得到真實(shí)系統(tǒng)u
(x
,t
)，完成與步驟3所得逼近模型f
(x
,t
)的各項(xiàng)性能比較.采用MATLAB7.5.0(R2007b)按照上述步驟完成近似模型建模.在論文建模中選擇p
=5，q
=5，僅有規(guī)則25條，M
=101，N
=101.圖2給出了采樣數(shù)據(jù)輸出曲面，所包含的系統(tǒng)信息還比較有限.圖3是真實(shí)系統(tǒng)輸出曲面，圖4是T-S模糊推理建模逼近輸出曲面，二者基本上無差別.圖5給出了逼近模型與真實(shí)系統(tǒng)之間的建模誤差，最大誤差為2.220 4×10，誤差總和僅為1.106 3×10.采用論文建模方法程序運(yùn)行總時長僅為0.722 36 s.綜上可知，論文建模方法對于解決分布參數(shù)系統(tǒng)建模的逼近精度較高，運(yùn)行時間較短.
圖2 采樣數(shù)據(jù)輸出曲面 圖3 真實(shí)系統(tǒng)輸出曲面
圖4 模糊插值推理建模逼近輸出曲面 圖5 誤差曲面
3 結(jié)束語
論文通過T-S模糊系統(tǒng)與HX方法的結(jié)合，設(shè)計(jì)出了關(guān)于分布參數(shù)系統(tǒng)的T-S型模糊插值推理建模法.在T-S模糊系統(tǒng)的具體參數(shù)設(shè)置上利用了多元函數(shù)的Lagrange插值，保證在理論上具有較高逼近精度.T-S型模糊插值推理建模法可以有效利用有限采樣數(shù)據(jù)信息，反映了分布參數(shù)系統(tǒng)時空變化規(guī)律.T-S型模糊插值推理建模法符合插值機(jī)理，表示簡單，參數(shù)易求.結(jié)合算法實(shí)例驗(yàn)證了方法的可行性，建模精度較高，運(yùn)行時間較短.該推理建模方法極大豐富了HX模糊推理建模法，是一種有效的推廣與應(yīng)用.
