王 帥，宋玉蓉，2，宋 波

（1.南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210003；2.江蘇省物聯(lián)網(wǎng)智能機(jī)器人工程實(shí)驗(yàn)室，南京 210003；3.南京郵電大學(xué)現(xiàn)代郵政學(xué)院，南京 210003）

0 概述

近年來(lái)，流行病傳播在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注［1］。人類社會(huì)中流行病傳播過(guò)程常伴隨信息傳播等其他傳播過(guò)程，流行病信息通過(guò)媒體在人群中迅速擴(kuò)散，進(jìn)而改變大眾對(duì)流行病的認(rèn)識(shí)。人們?cè)诹私獾搅餍胁∠嚓P(guān)信息后，為避免被感染其行為也會(huì)發(fā)生相應(yīng)改變，如戴口罩、避免接觸以及服用藥物等［2］，這些行為在一定程度上可有效抑制流行病傳播［3-5］。因此，對(duì)流行病傳播與信息擴(kuò)散關(guān)系的研究具有重要意義。

目前，流行病傳播與信息擴(kuò)散的交互模型為雙層網(wǎng)絡(luò)［6-7］，一層為模擬流行病在物理接觸網(wǎng)絡(luò)中傳播過(guò)程的物理接觸網(wǎng)絡(luò)，另一層為描述流行病傳播所引發(fā)信息擴(kuò)散的信息網(wǎng)絡(luò)。在物理接觸網(wǎng)絡(luò)中，通常采用易感-感染-易感（Susceptible-Infected-Susceptible，SIS）流行病傳播模型或易感-感染-恢復(fù)（Susceptible-Infected-Recovered，SIR）流行病傳播模型［8-10］模擬流行病的傳播。在SIS 模型中，個(gè)體分為易感（S）個(gè)體和感染（I）個(gè)體，易感個(gè)體在和感染個(gè)體接觸后以概率β變?yōu)楦腥緜€(gè)體，而感染個(gè)體則以概率μ自我恢復(fù)，重新成為易感個(gè)體。在SIR 模型中，個(gè)體除了SIS 模型中的S 狀態(tài)和I狀態(tài)外，還存在恢復(fù)（R）狀態(tài)。I狀態(tài)的個(gè)體不再重新變?yōu)镾 狀態(tài)，而是以概率γ恢復(fù)或死亡成為R 狀態(tài)。在信息網(wǎng)絡(luò)中，通常采用未知-已知-未知（Unaware-Aware-Unaware，UAU）信息傳播模型描述流行病傳播引起的信息擴(kuò)散。其中，個(gè)體根據(jù)對(duì)信息的了解程度分為不了解信息的無(wú)意識(shí)（U）狀態(tài)和已了解信息的有意識(shí)（A）狀態(tài)，其傳播動(dòng)力學(xué)與SIS 模型相同。

現(xiàn)有研究通常將流行病傳播與信息擴(kuò)散之間的相互作用建模為多層網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)相互競(jìng)爭(zhēng)的傳播過(guò)程。與物理接觸網(wǎng)絡(luò)中流行病傳播過(guò)程相同，意識(shí)信息從有意識(shí)個(gè)體傳給其在信息網(wǎng)絡(luò)上的無(wú)意識(shí)鄰居，通過(guò)促使更多個(gè)體在信息網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生意識(shí)，從而使其能夠采取預(yù)防行為以抑制流行病在物理接觸網(wǎng)絡(luò)中傳播。文獻(xiàn)［6］提出UAU-SIS 網(wǎng)絡(luò)傳播模型以描述網(wǎng)絡(luò)中意識(shí)和流行病之間的動(dòng)態(tài)相互作用，指出存在意識(shí)傳播速率亞臨界點(diǎn)，當(dāng)意識(shí)傳播速率小于該臨界點(diǎn)時(shí)，流行病閾值不受意識(shí)傳播影響。文獻(xiàn)［11］發(fā)現(xiàn)易感個(gè)體在了解信息后采取的自我意識(shí)行為對(duì)流行病傳播的抑制作用明顯優(yōu)于感染個(gè)體的自我意識(shí)行為，其原因在于易感個(gè)體的自我意識(shí)行為能降低其被感染的可能性。文獻(xiàn)［12］研究多層網(wǎng)絡(luò)UAU-SIR 模型后發(fā)現(xiàn)，隨著自我感知率v的增加，個(gè)體自我感知會(huì)極大降低流行病感染規(guī)模。文獻(xiàn)［13］在UAU-SIS 傳播模型的基礎(chǔ)上調(diào)整UAU 信息傳播過(guò)程，使個(gè)體在其具有意識(shí)的鄰居比例超過(guò)給定值時(shí)會(huì)產(chǎn)生自我意識(shí)，并指出流行病爆發(fā)與意識(shí)擴(kuò)散及接觸網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)。文獻(xiàn)［14］在接觸網(wǎng)絡(luò)的SIR 傳播模型基礎(chǔ)上引入免疫狀態(tài)，個(gè)體可通過(guò)接種疫苗對(duì)流行病免疫，且信息網(wǎng)絡(luò)的同質(zhì)性能促進(jìn)疫苗接種規(guī)模擴(kuò)大，從而有效抑制流行病傳播。

以上研究均假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體具有相同特性，而現(xiàn)實(shí)中個(gè)體行為通常受鄰居數(shù)量等異質(zhì)性影響?？紤]到不同個(gè)體在網(wǎng)絡(luò)中鄰居關(guān)系的異質(zhì)性，文獻(xiàn)［15］提出一種非線性耦合信息—流行病模型，指出流行病閾值由耦合網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定，其中節(jié)點(diǎn)的度分布的不均勻性會(huì)降低流行病閾值，控制流行病傳播需增強(qiáng)對(duì)已了解該流行病信息個(gè)體的保護(hù)。文獻(xiàn)［16］通過(guò)研究具有異質(zhì)感染率的多重網(wǎng)絡(luò)流行病傳播過(guò)程，構(gòu)建可調(diào)冪指數(shù)與節(jié)點(diǎn)的度相關(guān)的異質(zhì)感染率函數(shù)，證明負(fù)冪指數(shù)會(huì)使流行病感染率降低，即異質(zhì)感染率與節(jié)點(diǎn)的度負(fù)相關(guān)，免疫樞紐節(jié)點(diǎn)有利于抑制流行病傳播。雖然上述研究考慮到個(gè)體在了解流行病傳播產(chǎn)生的信息后都會(huì)產(chǎn)生警覺(jué)意識(shí)，卻忽視了不同個(gè)體在接觸行為選擇上的異質(zhì)性，即不同個(gè)體在了解到流行病相關(guān)信息后會(huì)采取不同行為以避免感染流行病或者維持網(wǎng)絡(luò)功能正常運(yùn)行。例如，在流行病傳播期間，一部分具有流行病信息意識(shí)的個(gè)體可能會(huì)提高自身警覺(jué)性，注意基本的健康防護(hù)或采取其他措施來(lái)保證自身健康。此外，其還可能對(duì)其他鄰居產(chǎn)生警覺(jué)性，通過(guò)主動(dòng)切斷與部分鄰居的接觸來(lái)避免自身被感染。而另一部分個(gè)體雖然具有流行病信息的意識(shí)，但是由于其存在日常工作與社交需求，不會(huì)對(duì)周?chē)鷤€(gè)體產(chǎn)生警覺(jué)性，無(wú)法切斷與部分鄰居的接觸。

考慮不同個(gè)體在接觸行為上的異質(zhì)性，文獻(xiàn)［17］在雙層網(wǎng)絡(luò)UAU-SIS 傳播模型中引入個(gè)體的積極狀態(tài)與非積極狀態(tài)，在流行病傳播過(guò)程中，積極狀態(tài)的個(gè)體在信息網(wǎng)絡(luò)和接觸網(wǎng)絡(luò)中會(huì)斷開(kāi)與同為積極狀態(tài)個(gè)體的連接，并證明這種基于個(gè)體活躍性狀態(tài)的引入可有效降低流行病傳播規(guī)模。此外，積極狀態(tài)與非積極狀態(tài)的切換是隨機(jī)發(fā)生的，其與信息和流行病的傳播相互獨(dú)立，由于現(xiàn)實(shí)中意識(shí)信息的傳播會(huì)對(duì)個(gè)體行為產(chǎn)生影響，因此由意識(shí)信息傳播引發(fā)個(gè)體行為的變化更符合現(xiàn)實(shí)情況。本文受文獻(xiàn)［17］啟發(fā)，考慮到流行病傳播時(shí)個(gè)體接觸行為存在異質(zhì)性，即個(gè)體了解流行病信息后會(huì)以一定概率成為警覺(jué)個(gè)體，進(jìn)而改變個(gè)體接觸行為以規(guī)避被流行病所感染，提出一種基于個(gè)體警覺(jué)狀態(tài)的UAU-SIS 雙層網(wǎng)絡(luò)傳播模型。建立物理接觸網(wǎng)絡(luò)和信息擴(kuò)散網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)兩種個(gè)體警覺(jué)性接觸行為策略，并研究其在3 種雙層網(wǎng)絡(luò)中對(duì)流行病傳播的影響。

1 流行病傳播與信息擴(kuò)散交互模型

1.1 傳播模型

由于社交網(wǎng)絡(luò)中信息傳播和個(gè)人行為的改變是一種復(fù)雜的社會(huì)心理過(guò)程，因此本文使用UAU-SIS雙層網(wǎng)絡(luò)建立模型并簡(jiǎn)化傳播機(jī)制，如圖1 所示。定義下層SIS 網(wǎng)絡(luò)為物理接觸網(wǎng)絡(luò)，用以描述流行病在人群中的傳播；節(jié)點(diǎn)表示個(gè)體，連邊表示人與人之間的物理接觸。定義上層UAU 網(wǎng)絡(luò)為信息擴(kuò)散網(wǎng)絡(luò)，用以描述隨流行病傳播發(fā)生的信息擴(kuò)散；節(jié)點(diǎn)表示個(gè)體，連邊表示個(gè)體之間的信息交流。兩層網(wǎng)絡(luò)的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)為同一個(gè)體，由于相同個(gè)體在進(jìn)行物理接觸和信息交流時(shí)其鄰居集合通常不相同，因此上下兩層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不同。個(gè)體在信息網(wǎng)絡(luò)中成為已了解信息的有意識(shí)個(gè)體后會(huì)以概率a變成警覺(jué)性個(gè)體（警覺(jué)節(jié)點(diǎn)），否則為非警覺(jué)性個(gè)體（非警覺(jué)節(jié)點(diǎn)）。

圖1 UAU-SIS 雙層網(wǎng)絡(luò)傳播模型Fig.1 UAU-SIS bilayer network spreading model

在物理接觸網(wǎng)絡(luò)中用SIS 模型模擬流行病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，個(gè)體在每個(gè)時(shí)刻為易感狀態(tài)或感染狀態(tài)。在流行病傳播過(guò)程中，當(dāng)感染個(gè)體與易感個(gè)體接觸時(shí)，易感個(gè)體會(huì)以概率β被感染，同時(shí)感染個(gè)體也會(huì)以概率μ恢復(fù)為易感個(gè)體。在信息網(wǎng)絡(luò)中用UAU 模型模擬流行病傳播時(shí)的信息擴(kuò)散，與SIS模型類似，個(gè)體在每個(gè)時(shí)刻均為不了解信息的無(wú)意識(shí)狀態(tài)或了解信息的有意識(shí)狀態(tài)。假設(shè)信息層有意識(shí)個(gè)體來(lái)源于兩個(gè)方面：1）接觸網(wǎng)絡(luò)中無(wú)意識(shí)的感染個(gè)體在信息網(wǎng)絡(luò)中以概率κ轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸庾R(shí)個(gè)體，并自發(fā)地向鄰居個(gè)體傳播流行病相關(guān)信息；2）信息網(wǎng)絡(luò)中了解信息的有意識(shí)個(gè)體在每個(gè)時(shí)刻會(huì)向信息層中的鄰居傳播流行病相關(guān)信息，在與無(wú)意識(shí)鄰居接觸后以概率λ使其變?yōu)橛幸庾R(shí)個(gè)體。同時(shí)，因?yàn)榇蟛糠至餍胁〉膫鞑ザ季哂幸欢竟?jié)性或周期性，使得散播信息的有意識(shí)個(gè)體遺忘或者不再傳播流行病相關(guān)信息，所以有意識(shí)個(gè)體會(huì)以概率δ重新變?yōu)闊o(wú)意識(shí)個(gè)體。

在流行病相關(guān)信息的傳播過(guò)程中，由于不了解流行病相關(guān)信息的無(wú)意識(shí)個(gè)體不會(huì)考慮如何預(yù)防被流行病感染的問(wèn)題，而了解流行病相關(guān)信息的有意識(shí)個(gè)體會(huì)采取適當(dāng)?shù)姆雷o(hù)措施以減少被感染的風(fēng)險(xiǎn)，因此有意識(shí)的易感個(gè)體被流行病感染的概率小于無(wú)意識(shí)個(gè)體。在本文模型中，假設(shè)有意識(shí)的易感個(gè)體被流行病感染的概率為無(wú)意識(shí)易感個(gè)體的σA∈[0，1]倍，若無(wú)意識(shí)的易感個(gè)體被流行病感染的概率為β，則有意識(shí)的易感個(gè)體被流行病感染的概率為σAβ。考慮個(gè)體接觸行為異質(zhì)性對(duì)流行病傳播的影響，本文在模型中引入基于個(gè)體警覺(jué)性的接觸行為，并提出兩種不同的個(gè)體接觸行為策略。

1.2 個(gè)體警覺(jué)行為

本文引入個(gè)體警覺(jué)狀態(tài)表示不同個(gè)體在接觸行為選擇上的異質(zhì)性，信息層中了解流行病相關(guān)信息的有意識(shí)個(gè)體會(huì)以概率a變?yōu)榫X(jué)狀態(tài)（V）。由于警覺(jué)性個(gè)體充分了解流行病的嚴(yán)重性，因此其愿意改變自身社交行為以避免感染。然而隨著對(duì)流行病相關(guān)信息的遺忘，警覺(jué)性個(gè)體會(huì)停止散播信息，并以概率b重新恢復(fù)為非警覺(jué)狀態(tài)（N）。非警覺(jué)性個(gè)體因?yàn)槲凑J(rèn)識(shí)到流行病的嚴(yán)重性或存在工作與社交需求，所以會(huì)與全部鄰居接觸。在流行病傳播期間，若個(gè)體更偏向于進(jìn)入警覺(jué)狀態(tài)，則其通常會(huì)希望保持警覺(jué)以最大程度的避免感染風(fēng)險(xiǎn)，因此假設(shè)a+b=1。基于上述模型，本文根據(jù)個(gè)體產(chǎn)生警覺(jué)性時(shí)接觸行為的不同偏好，提出個(gè)體警覺(jué)行為1 和個(gè)體警覺(jué)行為2 兩種相反的接觸行為策略。

1.2.1 個(gè)體警覺(jué)行為1

具有警覺(jué)性的個(gè)體會(huì)和同樣具有警覺(jué)性的鄰居個(gè)體保持物理接觸，同時(shí)斷開(kāi)與不具有警覺(jué)性鄰居個(gè)體的物理接觸，而不具有警覺(jué)性的個(gè)體則會(huì)和所有鄰居保持接觸。例如，在流行病傳播期間，了解相關(guān)信息的個(gè)體比平時(shí)更加謹(jǐn)慎并采取帶口罩、勤洗手等防護(hù)措施，少數(shù)充分了解流行病嚴(yán)重性的警覺(jué)性個(gè)體為最大程度地避免被流行病感染，還會(huì)切斷與不了解流行病嚴(yán)重性的非警覺(jué)性鄰居個(gè)體之間的物理接觸，僅與同樣具有警覺(jué)性的鄰居接觸，由于這些鄰居已了解流行病相關(guān)信息并采取防護(hù)措施，因此與其接觸帶來(lái)的感染風(fēng)險(xiǎn)更小。

1.2.2 個(gè)體警覺(jué)行為2

具有警覺(jué)性的個(gè)體會(huì)和不具有警覺(jué)性的鄰居個(gè)體保持物理接觸，同時(shí)斷開(kāi)與警覺(jué)性鄰居個(gè)體的物理接觸，而不具有警覺(jué)性的個(gè)體則會(huì)和所有鄰居保持接觸。例如，在流行病傳播期間有意識(shí)的個(gè)體來(lái)源于兩個(gè)方面：1）由已感染流行病的個(gè)體自發(fā)轉(zhuǎn)化而來(lái)；2）在信息傳播網(wǎng)絡(luò)中接收到鄰居個(gè)體散播的消息從而獲得意識(shí)。因此，當(dāng)一部分有意識(shí)的個(gè)體產(chǎn)生警覺(jué)性后，警覺(jué)性個(gè)體中會(huì)有一定比例的感染態(tài)個(gè)體，如果具有警覺(jué)性的易感個(gè)體和不具備警覺(jué)性的鄰居個(gè)體進(jìn)行物理接觸，則被流行病感染的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)降低。

考慮到個(gè)體警覺(jué)行為1 和個(gè)體警覺(jué)行為2 兩種行為策略都有其合理性，本文采用這兩種策略建立模型，通過(guò)參數(shù)控制不同個(gè)體選取相應(yīng)警覺(jué)行為策略并分析其對(duì)流行病傳播的抑制效果。

1.3 數(shù)學(xué)描述

在傳播過(guò)程中，每個(gè)時(shí)刻都被分為意識(shí)傳播（UAU 過(guò)程）、警覺(jué)狀態(tài)的改變、流行病傳播（SIS 過(guò)程）以及自我意識(shí)的產(chǎn)生（信息上傳過(guò)程）4 個(gè)階段。結(jié)合式（1）～式（5），通過(guò)微觀馬爾科夫分析［17］建立每個(gè)節(jié)點(diǎn)i分別從8 種狀態(tài)演化的方程為：

2 仿真與結(jié)果分析

本文提出個(gè)體在產(chǎn)生警覺(jué)性后的兩種個(gè)體接觸行為策略：處于警覺(jué)狀態(tài)的個(gè)體傾向于與同樣處于警覺(jué)狀態(tài)的鄰居個(gè)體保持物理接觸并和處于非警覺(jué)狀態(tài)的鄰居個(gè)體斷開(kāi)物理接觸；處于警覺(jué)狀態(tài)的個(gè)體傾向于與非警覺(jué)狀態(tài)的鄰居個(gè)體保持物理接觸并和處于警覺(jué)狀態(tài)的鄰居個(gè)體斷開(kāi)物理接觸。由于處于非警覺(jué)狀態(tài)的個(gè)體不具有警覺(jué)性，因此其會(huì)和所有鄰居個(gè)體保持接觸。以下針對(duì)不同的多層網(wǎng)絡(luò)類型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比分析兩種個(gè)體警覺(jué)行為對(duì)流行病傳播的影響。其中，流行病傳播以及信息擴(kuò)散參數(shù)設(shè)置為β=0.2、μ=0.4、λ=0.3、δ=0.6、α=0.4 以及σS=0.5。每個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)均進(jìn)行200 次蒙特卡洛循環(huán)［7-9］。

由于現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有小世界特性［20］和無(wú)標(biāo)度特性［21］，因此本文實(shí)驗(yàn)選取具有這兩種特性的小世界網(wǎng)絡(luò)（WS）和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（BA）分別表示物理接觸層和信息傳播層。小世界網(wǎng)絡(luò)又稱均勻網(wǎng)絡(luò)或指數(shù)網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)連接度分布可近似用Poisson 分布表示，該網(wǎng)絡(luò)具有明顯的聚類特性和較短的平均路徑長(zhǎng)度；無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的連接度分布函數(shù)具有冪律形式，其無(wú)明顯特征長(zhǎng)度且具有增長(zhǎng)特性和優(yōu)先連接特性2 個(gè)重要特性。本文從物理接觸層為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)且信息傳播層為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的BA-BA 雙層網(wǎng)絡(luò)、物理接觸層為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)且信息傳播層為小世界網(wǎng)絡(luò)的BA-WS 雙層網(wǎng)絡(luò)、物理接觸層為小世界網(wǎng)絡(luò)且信息傳播層為小世界網(wǎng)絡(luò)的WS-WS 雙層網(wǎng)絡(luò)，分別研究考慮個(gè)體警覺(jué)行為的雙層網(wǎng)絡(luò)流行病傳播與信息擴(kuò)散交互模型。由于物理接觸網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)較符合BA 網(wǎng)絡(luò)模型的增長(zhǎng)特性與優(yōu)先連接特性，而信息傳播網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可能具有無(wú)標(biāo)度特性，也可能隨著時(shí)間的演化變得相對(duì)均勻，即具有小世界特性，因此在上下兩層網(wǎng)絡(luò)不同的情況下，本文暫未考慮物理接觸層為小世界網(wǎng)絡(luò)且信息傳播層為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的WS-BA 雙層網(wǎng)絡(luò)。

本文實(shí)驗(yàn)中BA 網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為2 000，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在加入網(wǎng)絡(luò)時(shí)與3 個(gè)節(jié)點(diǎn)建立連接，WS 網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為2 000，平均度＜k＞=4，網(wǎng)絡(luò)在生成過(guò)程中邊的重連概率p=0.3。在信息傳播層，現(xiàn)實(shí)社會(huì)中相同個(gè)體在接觸關(guān)系網(wǎng)絡(luò)和在線社交關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中雖然無(wú)相同結(jié)構(gòu)，但也不會(huì)產(chǎn)生差異化較大的人際關(guān)系。例如，在接觸關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中擁有較多好友的個(gè)體，其在信息傳播層中也同樣可能擁有較多好友，即使在這兩層網(wǎng)絡(luò)中擁有的好友并不完全相同。因此，為保證這種相關(guān)性，在BA-BA 雙層網(wǎng)絡(luò)和WS-WS 雙層網(wǎng)絡(luò)中，上層信息傳播網(wǎng)絡(luò)以下層接觸網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)隨機(jī)增加400 條邊［7-9］，在BA-WS 雙層網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)上層信息傳播WS 網(wǎng)絡(luò)也進(jìn)行隨機(jī)加邊處理。

當(dāng)采取個(gè)體警覺(jué)行為1 時(shí)，BA-BA、BA-WS 和WS-WS 3 種雙層網(wǎng)絡(luò)中流行病傳播規(guī)模i（t）在不同個(gè)體警覺(jué)性概率a下隨模擬的步驟序數(shù)t的變化如圖2 所示。可以看出，隨著個(gè)體警覺(jué)性概率a的增大，網(wǎng)絡(luò)中流行病傳播規(guī)模也增大，即個(gè)體警覺(jué)行為1對(duì)于流行病抑制作用減弱。從易感個(gè)體角度考慮，具有警覺(jué)性的易感個(gè)體需受到保護(hù)，當(dāng)其產(chǎn)生警覺(jué)性后可通過(guò)調(diào)整接觸行為策略減小被感染的概率。例如，通過(guò)切斷與部分非警覺(jué)性感染鄰居個(gè)體的接觸，在一定程度上可降低易感個(gè)體被感染的風(fēng)險(xiǎn)。

圖2 3 種雙層網(wǎng)絡(luò)采取個(gè)體警覺(jué)行為1 時(shí)流行病傳播規(guī)模隨步驟序數(shù)的變化Fig.2 The change of epidemic spreading scales with ordinal number of steps when three bilayer networks adopt individual alert behavior 1

當(dāng)a較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中只有少數(shù)有意識(shí)個(gè)體處于警覺(jué)狀態(tài)，其中具有警覺(jué)性的易感個(gè)體會(huì)切斷與其他非警覺(jué)性感染態(tài)鄰居的接觸以降低自身感染概率。由于一部分個(gè)體意識(shí)來(lái)自信息擴(kuò)散，由與有意識(shí)的鄰居通信所獲得，另一部分個(gè)體意識(shí)由個(gè)體自身感染流行病而自發(fā)產(chǎn)生，因此有意識(shí)的個(gè)體中患病個(gè)體的比例會(huì)比無(wú)意識(shí)個(gè)體中患病個(gè)體的比例更高。當(dāng)a偏小時(shí)，由于不具備警覺(jué)性的易感個(gè)體比例高，采取個(gè)體警覺(jué)行為1 可在一定程度上實(shí)現(xiàn)對(duì)具有警覺(jué)性個(gè)體的隔離，因此可保護(hù)不具備警覺(jué)性的易感個(gè)體。隨著a的增大，非警覺(jué)性概率b減小，即網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體由警覺(jué)性恢復(fù)為非警覺(jué)性的概率降低，最終網(wǎng)絡(luò)中警覺(jué)性個(gè)體比例增大，警覺(jué)個(gè)體之間形成的子網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)大，在其子網(wǎng)內(nèi)部各個(gè)體都會(huì)與其全部鄰居進(jìn)行物理接觸，造成個(gè)體警覺(jué)行為1 的效果減弱。當(dāng)a=1 時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中所有具有意識(shí)的個(gè)體永久轉(zhuǎn)變?yōu)榫X(jué)性個(gè)體，此時(shí)警覺(jué)性個(gè)體形成的子網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展到幾乎整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，因此個(gè)體警覺(jué)行為1 基本不起作用。特別地，當(dāng)a較小時(shí)，在流行病傳播初期會(huì)出現(xiàn)一個(gè)較高峰值（見(jiàn)圖2中a=0.1 時(shí)的曲線峰值），這是由于網(wǎng)絡(luò)中最初警覺(jué)性個(gè)體比例很小，隨著流行病在網(wǎng)絡(luò)中不斷傳播，警覺(jué)性個(gè)體比例隨有意識(shí)個(gè)體數(shù)量的增加而提高，此時(shí)個(gè)體警覺(jué)行為1 逐漸產(chǎn)生作用，使流行病感染規(guī)模逐漸下降，且隨著時(shí)間延長(zhǎng)傳播規(guī)模逐漸穩(wěn)定。

當(dāng)采取個(gè)體警覺(jué)行為2 時(shí)，BA-BA、BA-WS 和WS-WS 3 種雙層網(wǎng)絡(luò)中流行病傳播規(guī)模在不同個(gè)體警覺(jué)性概率a下隨模擬的步驟序數(shù)的變化如圖3 所示?？梢钥闯觯S著個(gè)體警覺(jué)性概率a增大，網(wǎng)絡(luò)中流行病傳播規(guī)模減小，即個(gè)體警覺(jué)行為2 對(duì)流行病抑制作用增強(qiáng)。從易感個(gè)體角度考慮，警覺(jué)性易感個(gè)體會(huì)選擇與非警覺(jué)性鄰居個(gè)體接觸，因?yàn)橛幸庾R(shí)個(gè)體中的部分個(gè)體產(chǎn)生意識(shí)是因?yàn)槠湓谖锢斫佑|網(wǎng)絡(luò)中感染流行病，所以與無(wú)意識(shí)個(gè)體相比，有意識(shí)個(gè)體感染比例略高。警覺(jué)性個(gè)體由有意識(shí)個(gè)體根據(jù)概率轉(zhuǎn)化而來(lái)，通過(guò)避免與同樣具有警覺(jué)性的個(gè)體物理接觸，在一定程度上可降低個(gè)體被感染的風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)a較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中只有少數(shù)有意識(shí)個(gè)體處于警覺(jué)狀態(tài)，其中警覺(jué)性易感個(gè)體會(huì)保持與非警覺(jué)性鄰居個(gè)體（包括大部分感染個(gè)體）的物理接觸，此時(shí)個(gè)體警覺(jué)行為2 對(duì)于流行病傳播的影響不顯著。隨著a的增大，有意識(shí)個(gè)體產(chǎn)生警覺(jué)性的概率增大，由于有意識(shí)個(gè)體中感染個(gè)體的比例較高，因此警覺(jué)性易感個(gè)體通過(guò)改變接觸行為，切斷與其他警覺(jué)性感染鄰居個(gè)體的物理接觸可有效降低感染風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)a=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中很多個(gè)體隨著信息擴(kuò)散永久成為警覺(jué)性個(gè)體，而警覺(jué)性個(gè)體不會(huì)主動(dòng)與警覺(jué)性鄰居個(gè)體接觸，因此，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中警覺(jué)性個(gè)體比例很高時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中大部分連邊均被切斷，警覺(jué)個(gè)體之間相互孤立，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)基本不連通，流行病無(wú)法有效傳播，隨著已有感染個(gè)體逐漸康復(fù)，流行病最終在網(wǎng)絡(luò)中消失。

圖3 3 種雙層網(wǎng)絡(luò)采取個(gè)體警覺(jué)行為2 時(shí)流行病傳播規(guī)模隨步驟序數(shù)的變化Fig.3 The change of epidemic spreading scales with ordinal number of steps when three bilayer networks adopt individual alert behavior 2

特別地，與個(gè)體警覺(jué)行為1 時(shí)情況類似，當(dāng)采取個(gè)體警覺(jué)行為2 時(shí)，若a較大則在流行病傳播初期會(huì)出現(xiàn)一個(gè)較高峰值（見(jiàn)圖3中a=1.0 時(shí)的曲線峰值），此時(shí)網(wǎng)絡(luò)中處于感染態(tài)的有意識(shí)個(gè)體比例偏高，在流行病傳播初期這些個(gè)體在產(chǎn)生警覺(jué)性后通過(guò)與大量非警覺(jué)性個(gè)體接觸傳播流行病，而這些非警覺(jué)性個(gè)體并無(wú)流行病相關(guān)意識(shí)且防護(hù)能力較弱，隨著流行病在網(wǎng)絡(luò)中不斷傳播，警覺(jué)性個(gè)體比例隨著有意識(shí)個(gè)體數(shù)量的增加而提高，流行病的傳播規(guī)模逐漸穩(wěn)定。

因?yàn)锽A 網(wǎng)絡(luò)具有無(wú)標(biāo)度特性，所以在網(wǎng)絡(luò)中存在少數(shù)度較大的個(gè)體，當(dāng)其被流行病感染時(shí)會(huì)通過(guò)與大量鄰居個(gè)體接觸而加快流行病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，體現(xiàn)出BA 網(wǎng)絡(luò)的脆弱性。WS 網(wǎng)絡(luò)由于節(jié)點(diǎn)的度分布較均勻，其流行病傳播速度比同等規(guī)模的BA網(wǎng)絡(luò)更慢。因此，當(dāng)采用WS-WS 網(wǎng)絡(luò)時(shí)，個(gè)體警覺(jué)行為對(duì)流行病的抑制作用比采用BA-BA 網(wǎng)絡(luò)更明顯。當(dāng)采用BA-WS 網(wǎng)絡(luò)時(shí)，由于僅信息傳播層為WS 網(wǎng)絡(luò)，信息意識(shí)傳播速度較同等規(guī)模的BA 網(wǎng)絡(luò)更慢，使得上層信息傳播網(wǎng)絡(luò)中具有信息意識(shí)的個(gè)體比例較少，造成具有警覺(jué)性意識(shí)的個(gè)體比例也較少，因此，當(dāng)采取個(gè)體警覺(jué)行為1 時(shí)，若a較小，則BA-WS 網(wǎng)絡(luò)在傳播初期的峰值較BA-BA 雙層網(wǎng)絡(luò)更高（見(jiàn)圖2（a）和圖2（b））；當(dāng)采取個(gè)體警覺(jué)行為2時(shí)，若a較大，則BA-WS 網(wǎng)絡(luò)在傳播初期的峰值較BA-BA 雙層網(wǎng)絡(luò)更高（見(jiàn)圖3（a）和圖3（b））。

圖4～圖6 分別為BA-BA、BA-WS 和WS-WS 3 種雙層網(wǎng)絡(luò)中不同個(gè)體警覺(jué)行為對(duì)傳播閾值的影響。

圖4 BA-BA 網(wǎng)絡(luò)采用不同個(gè)體警覺(jué)行為對(duì)流行病閾值的影響Fig.4 The influences of BA-BA network with different individual alert behaviors on epidemic threshold

圖5 BA-WS網(wǎng)絡(luò)采用不同個(gè)體警覺(jué)行為對(duì)流行病閾值的影響Fig.5 The influences of BA-WS network with different individual alert behaviors on epidemic threshold

圖6 WS-WS網(wǎng)絡(luò)采用不同個(gè)體警覺(jué)行為對(duì)流行病閾值的影響Fig.6 The influences of WS-WS network with different individual alert behaviors on epidemic threshold

可以看出：在3 種雙層網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)采取個(gè)體警覺(jué)行為1 時(shí)，隨著有意識(shí)個(gè)體警覺(jué)性概率a的增大，流行病爆發(fā)閾值會(huì)降低；當(dāng)采取個(gè)體警覺(jué)行為2 時(shí)，隨著有意識(shí)個(gè)體警覺(jué)性概率a的減小，流行病爆發(fā)閾值會(huì)降低。本文提出的兩種基于個(gè)體警覺(jué)行為的接觸策略均可通過(guò)提高流行病爆發(fā)閾值有效抑制流行病爆發(fā)。由于BA 為非均勻網(wǎng)絡(luò)，其傳播閾值遠(yuǎn)小于WS 網(wǎng)絡(luò)［22］，因此當(dāng)物理接觸層為BA 網(wǎng)絡(luò)時(shí)，其流行病傳播閾值較物理接觸層為WS 網(wǎng)絡(luò)更小。由圖4～圖6 還可以看出：當(dāng)采取個(gè)體警覺(jué)行為1 時(shí)，若a減小則流行病傳播規(guī)模減小，流行病傳播閾值升高，而隨著a增大，個(gè)體警覺(jué)行為1 對(duì)流行病傳播規(guī)模的影響減小，流行病閾值降低；當(dāng)采取個(gè)體行為2時(shí)，若a增大則流行病傳播規(guī)模減小，流行病傳播閾值升高，而隨著a減小，個(gè)體警覺(jué)行為2對(duì)流行病傳播規(guī)模的影響減小，流行病閾值降低。由上述分析可知，基于個(gè)體警覺(jué)行為的接觸策略能有效抑制流行病傳播。

3 結(jié)束語(yǔ)

考慮到流行病傳播時(shí)個(gè)體警覺(jué)性對(duì)其接觸行為的影響，本文提出一種基于個(gè)體警覺(jué)行為的雙層網(wǎng)絡(luò)傳播模型。分別建立下層物理接觸網(wǎng)絡(luò)和上層信息擴(kuò)散網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)警覺(jué)個(gè)體避免與非警覺(jué)個(gè)體接觸以及警覺(jué)個(gè)體避免與警覺(jué)個(gè)體接觸兩種接觸行為策略，并在3 種雙層網(wǎng)絡(luò)模型中研究上述行為策略對(duì)流行病傳播的影響。仿真結(jié)果表明，該模型中兩種基于個(gè)體警覺(jué)狀態(tài)的接觸行為策略能有效降低流行病傳播規(guī)模，提高流行病爆發(fā)閾值。后續(xù)將研究自適應(yīng)雙層網(wǎng)絡(luò)模型，通過(guò)引入節(jié)點(diǎn)自適應(yīng)斷邊重連策略，進(jìn)一步探索信息擴(kuò)散對(duì)流行病傳播的抑制作用。