范史文

(湖北省交通規(guī)劃設計院股份有限公司， 武漢 430051)

索結構是斜拉橋與懸索橋等大跨徑橋型的主要傳力機構，其受力性能的好壞直接影響著橋梁能否安全施工與正常運營。索力測試是判別索結構受力性能是否良好的重要手段，常用的索力測試手段包括油壓表法、壓力傳感器法、磁通量法以及振動頻率法等[1-3]。其中油壓表法一般適用于施工階段，壓力傳感器法需要在索結構端部埋設傳感器導致經(jīng)濟性較差，磁通量法受測試環(huán)境的影響較大，而振動頻率法因其簡單易操作且測試成本較低成為目前應用最為廣泛的測試手段。

頻率法測試原理為：首先依據(jù)結構動力學相關理論建立索結構自振頻率與其索力之間的對應關系(頻率方程)，然后通過測試得到的索結構自振頻率來反算得到其索力。由此不難看出，頻率法得以應用的一個關鍵點便是能夠事先準確建立索結構自振頻率與其索力之間的關系。頻率法早期的研究對象主要是單根索結構，眾多學者通過考慮索結構不同邊界條件、垂度以及抗彎剛度等因素得到一些可行的公式來指導實際工程[4-7]。隨著橋梁跨徑的不斷增大，索結構的長度在不斷增加，這使得索結構的疲勞問題日益顯著，因此便衍生出了較多的減振措施，目前常用的減振措施便是在索結構端部設置一個或多個減振器[8]。顯而易見，減振器的設置使得索結構的建模變得更為復雜，給頻率法的適用性帶來了極大的限制。針對拉索減振器系統(tǒng)，有眾多中外學者基于此開展了研究，研究對象主要包括拉索-單阻尼系統(tǒng)[9-11]、拉索雙阻尼系統(tǒng)[12]以及拉索多阻尼系統(tǒng)[8]，其中對于拉索多阻尼系統(tǒng)的研究往往采用有限差分法或者動力剛度法等手段，得到的公式較為復雜。

立意于解決實際問題，建立帶3個減振器的拉索減振器系統(tǒng)，通過參數(shù)分析得到各參數(shù)對系統(tǒng)動力特性的影響，通過仿真模擬對本文所提出公式的適用性進行驗證，同時對工程實際應用提出可行的建議。該方法無疑是對傳統(tǒng)頻率法適用范圍的一個重要補充，對于實際工程也有較高的指導意義。

1 模型建立及公式推導

研究中所建立的索結構-減振器模型如圖1所示。索結構長度為L，張力為T，拉索單位質量為m。模型中共有3個中間減振器，為了便于分析，研究中將減振器簡化為彈簧支撐，其支撐剛度分別為k1、k2與k3，作用位置分別為x1、x2以及x3(以索結構左端部為原點建立坐標系)。忽略索結構的抗彎剛度與垂度，其橫向振動位移滿足以下方程：

圖1 拉索-減振器模型示意圖

f2(t)δ(x-x2)+f3(t)δ(x-x3)

(1)

式中δ(·)為狄拉克δ函數(shù)。對上述公式進行變量分離，橫向位移和橫向作用力可以表示為

(2)

fj(t)=Fjeiωt，j=1,2，3

(3)

式中：i2=-1，ω為拉索的自由振動圓頻率。將式(2)、式(3)代入式(1)中，得到相應的微分方程，對其進行求解并根據(jù)相應的邊界條件，可得振型函數(shù)為

(4)

(5)

將式(4)代入式(5)并進行整理，可得

(6)

(7)

對式(7)中的頻率方程進行變換，可得

(8)

2 參數(shù)分析

(9)

2.1 k的影響

2.1.1 特殊情況

假設位于索結構兩個端部的減振器支撐剛度相等(即k11=k33)，在此前提下分析參數(shù)ki對無量綱振動頻率的影響，其結果如圖2所示。

圖2 支撐剛度對無量綱振動頻率的影響

由圖2可知，無量綱振動頻率隨著k11與k33的增加而增加，且這種趨勢隨著k11與k33的增大而趨于平緩，這說明減振器支撐剛度的增大會使得索結構模型整體剛度得到一定程度的提高，且存在一個上限值。同時根據(jù)圖1中曲線的縱向趨勢來看，k22的增大同樣會使得無量綱頻率增大，且從曲線之間的間距可知，隨著k22的增加，無量綱振動頻率的增大趨勢趨于平緩。

2.1.2 一般情況

相對于特殊工況來說，一般工況為3個參數(shù)ki(i=11,22,33)之間的隨意組合，更有利于分析影響規(guī)律的普適性。3個參數(shù)不同組合工況下對無量綱振動頻率的影響規(guī)律如圖3所示。

圖3 支撐剛度對無量綱振動頻率的影響

由圖3可知，當k11與k33為定值時，無量綱振動頻率隨著參數(shù)k22的增加而增加，且這種趨勢隨著k22的持續(xù)增大而趨于平緩；通過觀察每一幅圖中各曲線之間的間距可知，參數(shù)k33對無量綱振動頻率的影響規(guī)律與k11對無量綱振動頻率的影響規(guī)律大致相似，皆為隨著參數(shù)取值的持續(xù)增大，無量綱振動頻率的變化趨勢趨于平緩。而通過比較圖3(a)、(b)、(c)以及(d)可知，隨著k11的增加，其對無量綱振動頻率的影響并不明顯。由此可知，增大參數(shù)k22與k33更能有效提高索結構的整體剛度，這對于實際工程中減振器的選擇安裝具有一定的指導意義。

2.2 ε的影響

本節(jié)分析參數(shù)ε對無量綱振動頻率求解的影響，在此選定ε的取值范圍為0.02～0.15，而k11、k22與k33的取值分別被設定為60、60與60。具體分析中依然分為特殊情況與一般情況兩種工況。

2.2.1 特殊情況

圖4 減振器安裝位置對無量綱振動頻率的影響

2.2.2 一般情況

相對于特殊情況，一般工況為3個參數(shù)ε之間的隨意組合，但需要重點說明的是由于第2個減振器必然位于第1個減振器右端(不分析重合情況)，因此在具體進行每一組參數(shù)分析時，ε2的取值范圍設定為[ε1+0.1 0.15]，例如ε1=0.02，則ε2的定義域取為[0.03 0.15]。各參數(shù)不同組合工況下對無量綱振動頻率的影響如圖5所示。

圖5 減振器支撐剛度對無量綱振動頻率的影響

3 有限元分析

考慮到實際工程中的索結構具有抗彎剛度，這種影響在短索中尤為明顯。因此仿真分析中分別采用LINK180與BEAM188兩種單元進行建模。前者沒考慮抗彎剛度，其結果旨在對本文公式的精確性進行驗證。后者考慮了抗彎剛度，旨在研究本文公式在實際工程中的具體適用性。研究中有限元建模所用的索結構具體參數(shù)見表1。計算結果見表2。所建有限元模型如圖6所示，圖中以工況1為例建立模型并提取其前五階頻率。兩種計算方式之間的計算值及相對誤差如圖7所示。

表1 索結構基本參數(shù)

表2 計算結果

圖6 有限元模型

圖7 索力計算結果

由圖7可知，根據(jù)LINK188單元計算得到的自振頻率去反算索力值得到的結果與理論值之間吻合較好，誤差普遍低于0.5%，而根據(jù)BEAM188單元計算得到的自振頻率去反算索力值得到的結果與理論值之間的相對誤差相對較大，但其隨著索長的增加而變小。產(chǎn)生上述結果的原因在于：在本文建模推導過程中并沒有考慮索結構本身抗彎剛度的影響，這使得采用LINK180單元計算得到索力值與理論值之間吻合較好；而隨著索長的增加，索結構本身抗彎剛度對系統(tǒng)剛度的影響逐漸減弱，此時即便采用BEAM188單元的計算結果進行計算，相對誤差依然較小。

4 結論

建立了帶3個減振器的拉索-減振器模型，利用相應的邊界條件與變形協(xié)調條件得到其頻率方程并對其進行求解。通過設置不同參數(shù)的取值，分析了各參數(shù)對所求得的無量綱振動頻率的影響，同時采用有限元分析軟件ANSYS建立了相應的索結構模型，并將仿真結果與本文所建立模型的計算結果進行了對比。主要結論如下：

1)建立了帶3個減振器的拉索-減振器模型，模型中減振器被簡化為彈簧模型，且建模過程中忽略了拉索抗彎剛度與垂度的影響。

2)通過參數(shù)分析可知，隨著減振器支撐剛度k的增加，結構的無量綱振動頻率增加，且增加趨勢逐漸趨于平緩；隨著參數(shù)ε的增加，結構的無量綱振動頻率增加，且兩者之間大致呈線性關系。需重點說明的是，3個減振器中，距離端部更遠減振器(安裝兩個減振器一側)與另外一個端部減振器的支撐剛度的增大更能有效提高系統(tǒng)的整體剛度。

3)通過有限元分析可知，采用不考慮抗彎剛度的LINK180單元進行計算時，本文所建模型的計算結果與有限元吻合較好，誤差普遍低于0.5%；而采用考慮抗彎剛度的BEAM188單元進行計算時，誤差整體低于5%，且隨著索長的增加，誤差值下降，最終保持在1%附近。

顯而易見，研究中所建立模型在長索結構的計算中具有更高的精度，而長索結構的垂度問題是一個無法忽略的因素，因此后期的研究中將同時考慮索結構的抗彎剛度與垂度，以期得到更精確的模型。