吳袁超 呂容川* 竇昊鋒 李一楠 李 浩盧海梁 羅 豐 李青俠

①(中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院 西安 710000)

②(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

③(華中科技大學(xué)電子信息與通信學(xué)院 武漢 430074)

1 引言

微波輻射測(cè)量技術(shù)最早被用于射電天文領(lǐng)域，目前在地球遙感、醫(yī)學(xué)及目標(biāo)探測(cè)方面有越來(lái)越多的應(yīng)用。光學(xué)、紅外遙感雖然具有較高的空間分辨率，但存在易受天氣因素(云、雨、霧等)干擾的缺點(diǎn)。微波遙感由于其能實(shí)現(xiàn)全天時(shí)、準(zhǔn)全天候的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)遙感監(jiān)測(cè)，而受到廣泛關(guān)注[1]。為提升微波輻射計(jì)的空間分辨率，綜合孔徑技術(shù)被引入到微波輻射計(jì)中，其采用多個(gè)小口徑天線合成等效的大口徑天線，通過(guò)直接測(cè)量的可見(jiàn)度函數(shù)經(jīng)傅氏變換得到重建亮溫圖像。但相比于實(shí)孔徑輻射計(jì)，綜合孔徑系統(tǒng)天線單元與通道數(shù)量多，數(shù)據(jù)處理相對(duì)復(fù)雜很多。綜合孔徑輻射計(jì)是以系統(tǒng)電氣的復(fù)雜性與信號(hào)處理的復(fù)雜性換取實(shí)孔徑輻射計(jì)中的機(jī)械復(fù)雜性[2,3]。對(duì)于空間分辨率要求較高的綜合孔徑輻射計(jì)，例如GeoSTAR，其需要幾百個(gè)天線和接收通道，上萬(wàn)個(gè)相關(guān)器，導(dǎo)致系統(tǒng)裝配困難、成像復(fù)雜度高。

為進(jìn)一步提高微波輻射計(jì)的空間分辨率，文獻(xiàn)[4–7]提出了鏡像綜合孔徑(Mirrored Aperture Synthesis, MAS)的概念。鏡像綜合孔徑輻射計(jì)采用反射板與天線陣組合，形成等效的鏡像陣列，通過(guò)求解轉(zhuǎn)移方程獲得余弦可見(jiàn)度函數(shù)，由余弦可見(jiàn)度函數(shù)經(jīng)反余弦變換可獲得重建亮溫圖像。相較于常規(guī)綜合孔徑輻射計(jì)，鏡像綜合孔徑輻射計(jì)能夠在相同陣列大小下，有效提高系統(tǒng)的空間分辨率[8,9]。由于實(shí)際系統(tǒng)硬件等因素影響，測(cè)量數(shù)據(jù)不可避免地存在誤差與噪聲。并且，對(duì)于鏡像綜合孔徑輻射測(cè)量而言，余弦可見(jiàn)度函數(shù)由轉(zhuǎn)移方程求解得到，求解的精度將影響最終重建亮溫的精度。然而，轉(zhuǎn)移矩陣為病態(tài)矩陣，含有誤差的相關(guān)輸出與病態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣求解得到的余弦可見(jiàn)度偏離了正確的解向量，導(dǎo)致最終的重建亮溫圖像失真。

本文將基于鏡像綜合孔徑的基本原理，研究一種鏡像綜合孔徑的亮溫重建方法——截?cái)嗥娈愔捣纸?，用于改善鏡像綜合孔徑的成像質(zhì)量。并通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

2 鏡像綜合孔徑的基本原理

如圖1所示，鏡像綜合孔徑輻射計(jì)由反射板與天線陣組成。陣列中任意天線單元將接收來(lái)自場(chǎng)景的直射信號(hào)與來(lái)自反射板的反射信號(hào)。

當(dāng)接收天線的極化方向?yàn)閤方向時(shí)，天線p和q接收到的信號(hào)的相關(guān)輸出為

其中，( xp,yp)與 ( xq,yq)分別是波長(zhǎng)歸一化的天線坐標(biāo)，C v(u,v)是2維余弦可見(jiàn)度，可表示為

鏡像綜合孔徑的雙天線相關(guān)輸出與余弦可見(jiàn)度可線性表示為

其中，式(3)即為轉(zhuǎn)移方程。Q表示天線單元數(shù)目，M和N分別表示兩個(gè)維度的最大空間采樣頻率。R為雙天線相關(guān)輸出向量，P為轉(zhuǎn)移矩陣，CV為余弦可見(jiàn)度向量。

亮溫與余弦可見(jiàn)度間的余弦變換關(guān)系為

故鏡像綜合孔徑的重建亮溫是先由式(3)求解得到余弦可見(jiàn)度，再根據(jù)式(4)進(jìn)行反余弦變換得到。

3 轉(zhuǎn)移矩陣的病態(tài)性

由雙天線相關(guān)輸出求解余弦可見(jiàn)度為一個(gè)數(shù)學(xué)反問(wèn)題，求解反問(wèn)題需要考慮其不適定性。而式(3)是一個(gè)第1類(lèi)Fredholm的離散模型的方程組形式，是一個(gè)典型的病態(tài)方程，其解是不穩(wěn)定、不唯一的，即式(3)是不適定的。若采用廣義逆求解式(3)

其中，P+為轉(zhuǎn)移矩陣P的廣義逆矩陣。當(dāng)相關(guān)輸出存在任何微小的誤差或噪聲時(shí)，求解得到的余弦可見(jiàn)度結(jié)果將很不穩(wěn)定，含有很大誤差，嚴(yán)重偏離正確值。而鏡像綜合孔徑的重建亮溫是由余弦可見(jiàn)度經(jīng)過(guò)余弦變換得到，余弦可見(jiàn)度的誤差將導(dǎo)致重建亮溫圖像的失真。圖像誤差可以用誤差條件下的重建亮溫與理想條件下的重建亮溫Tid的均方根值來(lái)衡量

其中，M代表像素點(diǎn)數(shù)。

以一個(gè)24單元的雙L陣列為例，仿真存在系統(tǒng)噪聲時(shí)，鏡像綜合孔徑的成像效果。系統(tǒng)帶寬設(shè)置為200 MHz，積分時(shí)間為0.05 s，接收機(jī)噪聲溫度為500 K。余弦可見(jiàn)度函數(shù)由式(5)求解得到。雙L陣列如圖2所示。仿真場(chǎng)景為環(huán)形展源(模擬電暖器實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景)，理想的重建亮溫結(jié)果如圖3所示。加入系統(tǒng)噪聲后的重建亮溫圖像如圖4所示。從仿真結(jié)果可以看出，加入系統(tǒng)噪聲后，重建亮溫圖像背景不均勻，且目標(biāo)輪廓扭曲，圖像質(zhì)量不佳，圖像誤差ΔT = 103 K。

圖4的結(jié)果主要是由于受誤差影響，轉(zhuǎn)移矩陣P的條件數(shù)“很大”，得到的余弦可見(jiàn)度含有較大誤差。

假設(shè)轉(zhuǎn)移矩陣P穩(wěn)定不變的情況下，由矩陣論[10]，有

圖2 雙L陣列

其中，||δR||表示相關(guān)輸出向量R的噪聲，||δCV||為由||δR||導(dǎo)致的余弦可見(jiàn)度CV的誤差，cond(P)為轉(zhuǎn)移矩陣P的條件數(shù)，記為其中，σmax為轉(zhuǎn)移矩陣P的最大奇異值，σmin為轉(zhuǎn)移矩陣P的最小奇異值。

條件數(shù)可用于衡量誤差或噪聲經(jīng)轉(zhuǎn)移矩陣P到余弦可見(jiàn)度CV的擴(kuò)大程度。當(dāng) cond(P)趨近于1時(shí)，相關(guān)輸出向量R或轉(zhuǎn)移矩陣P的一個(gè)較小擾動(dòng)只引起余弦可見(jiàn)度CV的一個(gè)很小擾動(dòng)，此時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣P為良態(tài)矩陣，否則，就稱為病態(tài)矩陣。并且，條件數(shù)越大，矩陣的病態(tài)性也越大。

圖3 理想重建亮溫圖像

圖4 帶系統(tǒng)噪聲的重建亮溫圖像

圖5 轉(zhuǎn)移矩陣P 的奇異值

雙L陣對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣P的奇異值如圖5所示?？梢钥吹?，其奇異值從第162號(hào)開(kāi)始均為0，即σmin=0。由式(7)可知，此轉(zhuǎn)移矩陣P的條件數(shù)為無(wú)窮大，轉(zhuǎn)移矩陣P是相當(dāng)病態(tài)的。故系統(tǒng)噪聲經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)移矩陣P的傳播，得到的重建亮溫圖像誤差較大。

根據(jù)奇異值分解理論，轉(zhuǎn)移矩陣P的有效奇異值(非零奇異值)個(gè)數(shù)等于轉(zhuǎn)移矩陣的秩。所以，對(duì)于秩虧的轉(zhuǎn)移矩陣，必然存在σmin=0，即轉(zhuǎn)移矩陣為病態(tài)的。對(duì)于圖2中的雙L陣，其轉(zhuǎn)移矩陣P的大小為276×188, P的秩rank(P)為161，故雙L陣的轉(zhuǎn)移矩陣是秩虧且是病態(tài)的。

顯然，在所有陣列中，滿陣的秩應(yīng)是最大的[11]，表1討論了不同大小的滿陣所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣P及其秩的大小。可以看到，在2維鏡像綜合孔徑中，即使是天線數(shù)最多的滿陣也存在秩虧問(wèn)題。故可以得出，在鏡像綜合孔徑中所有陣列的轉(zhuǎn)移矩陣均存在秩虧問(wèn)題，轉(zhuǎn)移矩陣為病態(tài)的。

表1 滿陣的秩

4 截?cái)嗥娈愔捣纸?/h2>

截?cái)嗥娈愔捣纸馐且环N正則化方法，在信號(hào)降噪[12,13]、特征提取[14]、數(shù)據(jù)壓縮[15]、數(shù)據(jù)反演[16]、圖像加密[17]等領(lǐng)域均有廣泛地應(yīng)用。本文將截?cái)嗥娈愔捣纸庥糜阽R像綜合孔徑的亮溫重建過(guò)程，獲取式(3)的穩(wěn)定近似解。

對(duì)于式(3)中的轉(zhuǎn)移矩陣P( V ∈Rm×n)，存在正 交 矩 陣U( U ∈Rm×m)和 正 交 矩 陣V(V ∈Rn×n)，使得矩陣P可以表示成

其中， Λ=diag(σ1,σ2,···,σr)為矩陣P的奇異值組成的對(duì)角矩陣，且滿足σ1≥σ2≥...≥σr。

由圖5可知，矩陣P的奇異值由大到小，逐漸為零。對(duì)于無(wú)噪聲的系統(tǒng)，非零的奇異值才是有效的。而對(duì)于含有噪聲的系統(tǒng)，等于零的奇異值與部分由噪聲引起的較小的奇異值均是無(wú)效的，會(huì)導(dǎo)致解向量CV與精確解偏差很大。為此，對(duì)矩陣P采用截?cái)嗥娈愔捣纸?，截去較小的奇異值，保留較大的奇異值，以減小 cond(P)，降低矩陣P的病態(tài)性，提升結(jié)果的有效性與穩(wěn)定性。截去較小的奇異值后，用剩余的奇異值重新構(gòu)建轉(zhuǎn)移矩陣P為Pr

其中， σk> 0，為截?cái)嚅撝担∮诖碎撝档母髌娈愔稻唤財(cái)唷?/p>

因此，利用截?cái)嗥娈愔捣纸膺M(jìn)行亮溫重建的步驟為：

(1) 對(duì)鏡像綜合孔徑的轉(zhuǎn)移矩陣P進(jìn)行奇異值分解；

(2) 觀察奇異值曲線，根據(jù)實(shí)際情況，選擇合適閾值，截去小于閾值的奇異值及與其相關(guān)的左、右奇異向量；

(3) 利用截?cái)嗪蟮钠娈愔导芭c其相關(guān)的左、右奇異向量，構(gòu)建新的轉(zhuǎn)移矩陣Pr；

(4) 由新的轉(zhuǎn)移矩陣Pr與相關(guān)輸出向量R求解出余弦可見(jiàn)度向量CV；

(5) 利用求解得到的余弦可見(jiàn)度獲得重建亮溫。

對(duì)上一節(jié)中的仿真，采用截?cái)嗥娈愔捣纸夂螅玫降某上窠Y(jié)果如圖6所示。可以看到，此時(shí)的成像結(jié)果與理想情況下的成像結(jié)果接近，背景噪聲明顯減少，圖像輪廓清晰，圖像誤差ΔT = 17 K，驗(yàn)證了該亮溫重建方法的有效性。

5 實(shí)驗(yàn)

下面通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步對(duì)截?cái)嗥娈愔捣纸獾牧翜刂亟ㄐЧM(jìn)行驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為鏡像綜合孔徑微波輻射計(jì)系統(tǒng)(Mirrored Aperture Synthesis at the V band,MAS-V)[18,19]。MAS-V接收系統(tǒng)工作在V波段51～59 GHz，共7個(gè)頻點(diǎn)，通過(guò)調(diào)節(jié)本振的頻率可以實(shí)現(xiàn)不同頻點(diǎn)的切換。MAS-V系統(tǒng)共24路接收通道，包括6個(gè)四通道射頻前端模塊、3個(gè)八通道中頻模塊。接收天線陣列可排布為不同的陣列形式：1維線陣、T形陣、U形陣、雙L陣等。實(shí)驗(yàn)時(shí)，系統(tǒng)工作頻率設(shè)置為51.6 GHz，接收天線單元為矩形喇叭天線。陣列排布與仿真相同，為24單元的雙L陣，相鄰天線間最小間距為3.5倍波長(zhǎng)，實(shí)物圖如圖7(a)所示。帶雙反射板的MAS-V系統(tǒng)觀測(cè)電暖器的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景如圖8所示，反射板與陣列距離為1.75倍波長(zhǎng)。此時(shí)，系統(tǒng)在兩個(gè)維度上的空間分辨率分別為0.0184 rad與0.0248 rad[8]。場(chǎng)景目標(biāo)為電暖器，如圖7(b)所示。場(chǎng)景目標(biāo)與天線陣列距離約為4 m。

圖6 截?cái)嗥娈愔捣纸夂蟮闹亟翜貓D像

由于實(shí)際系統(tǒng)不可避免地存在誤差，由式(2)求解的余弦可見(jiàn)度函數(shù)存在較大誤差，得到的重建亮溫圖像質(zhì)量較差，如圖9所示。采用截?cái)嗥娈愔捣纸夂蟮玫降闹亟翜貓D像如圖10所示，圖像質(zhì)量提升明顯，電暖器的輪廓較清晰。由于電暖器中部受金屬遮擋，成像結(jié)果成環(huán)形高亮溫，與實(shí)物圖吻合。實(shí)驗(yàn)結(jié)果有效驗(yàn)證了截?cái)嗥娈愔捣纸獾挠行浴?/p>

圖7 實(shí)物圖

圖8 實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景

圖9 電暖器的重建亮溫圖像

圖10 截?cái)嗥娈愔岛蟮碾娕髦亟翜貓D像

6 結(jié)論

由于鏡像綜合孔徑轉(zhuǎn)移矩陣的病態(tài)性，求解的余弦可見(jiàn)度函數(shù)十分不穩(wěn)定。實(shí)際系統(tǒng)的相關(guān)輸出不可避免地存在誤差與噪聲，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)移矩陣的傳播擴(kuò)大，余弦可見(jiàn)度函數(shù)存在較大誤差，導(dǎo)致最后反演的亮溫圖像失真。本文給出了一種基于截?cái)嗥娈愔捣纸獾溺R像綜合孔徑亮溫重建方法，較好地解決亮溫重建中存在的病態(tài)問(wèn)題。并對(duì)電暖器目標(biāo)進(jìn)行了仿真與實(shí)驗(yàn)。從仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，采用截?cái)嗥娈愔捣纸夂蟮闹亟翜貓D像背景噪聲明顯減少，目標(biāo)輪廓更清晰，并且仿真中的圖像誤差從103 K減小到17 K。結(jié)果表明截?cái)嗥娈愔捣纸饽苡行Ы档驮肼暎瑢?duì)圖像質(zhì)量的提升起到重要作用。