擺玉龍 楊 陽(yáng) 唐麗紅

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院 蘭州 730070)

1 引言

混沌系統(tǒng)是一種非線性動(dòng)力系統(tǒng)，具有不規(guī)則性、非周期性、不可預(yù)測(cè)性和對(duì)初始條件極其敏感的特性[1]。由于洛倫茲在氣象模型中首次觀測(cè)到混沌現(xiàn)象，因此混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生一直被認(rèn)為是一種有趣的非線性現(xiàn)象，對(duì)混沌系統(tǒng)已有一些研究。例如Rossler系統(tǒng)[2]，Arneodo 系統(tǒng)[3]，Chen系統(tǒng)[4]等。由于混沌系統(tǒng)在模式識(shí)別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、保密通信、密碼學(xué)等中應(yīng)用廣泛，所以混沌系統(tǒng)得到了廣泛的關(guān)注[5—10]，研究人員不斷探索混沌理論在不同的領(lǐng)域中的新應(yīng)用。一般而言，渦卷越多，混沌行為的動(dòng)力學(xué)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就越復(fù)雜[7]?，F(xiàn)有的混沌系統(tǒng)多為單渦卷或雙渦卷系統(tǒng)，它們很少包含3個(gè)或更多的渦卷，即使它們是用非光滑函數(shù)而不是光滑非線性項(xiàng)構(gòu)造的。

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，人們交流密切會(huì)導(dǎo)致大量的信息泄露，信息安全成為當(dāng)今社會(huì)需要解決的問(wèn)題。數(shù)字圖像具有數(shù)據(jù)量大且像素之間相關(guān)性強(qiáng)的特點(diǎn)[8,9]，混沌系統(tǒng)具有隨機(jī)性，因此將混沌系統(tǒng)應(yīng)用到圖像加密中具有一定的優(yōu)勢(shì)。在本文中，采用Arnold預(yù)處理與DNA加密算法相結(jié)合的雙重加密，對(duì)加密前后圖像相鄰像素的直方圖、相關(guān)性等進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，本文所提出的混沌系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密具有較高的安全性能。

本文的其余部分按如下結(jié)構(gòu)組織：在第2節(jié)介紹一個(gè)3維空間三渦卷混沌系統(tǒng)；在第3、第4節(jié)將討論所提出的混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為以及穩(wěn)定性，對(duì)李雅普諾夫指數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，然后分別對(duì)混沌系統(tǒng)的分岔圖、龐加萊截面圖、頻譜圖進(jìn)行分析；電路實(shí)現(xiàn)以及仿真結(jié)果安排在第5節(jié)；第6節(jié)對(duì)于圖像加密進(jìn)行分析；第7節(jié)給出了結(jié)論。

2 一種新的混沌系統(tǒng)

設(shè)計(jì)的3維混沌系統(tǒng)，在一定的參數(shù)下體現(xiàn)出良好的混沌行為，其數(shù)學(xué)模型為

其中，x, y, z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，α=40, β =0.9,γ =0.5, δ =0.6, ε=12為系統(tǒng)的參數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)為 α =40, β =0.9, γ =0.5, δ =0.6, ε=12時(shí)，初始值為(1,0,0)時(shí)，系統(tǒng)式(1)存在復(fù)雜的混沌現(xiàn)象，包含著復(fù)雜的拉伸和扭曲結(jié)構(gòu)，如圖1所示，但是從整體上看系統(tǒng)又是穩(wěn)定的。

利用4階龍格庫(kù)塔算法解方程式(1)，步長(zhǎng)設(shè)置為0.001。圖1(a)、圖1(b)、圖1(c)分別展示了系統(tǒng)式(1)混沌吸引子在(x, y), (x, z)和(y, z)3個(gè)平面的2維映射圖，圖1(d)表示的是混沌吸引子的3維映射圖。

3 多渦卷系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析

3.1 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

Lyapunov指數(shù)(LE)可以定量地表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)特性，形象地描述系統(tǒng)相鄰軌跡之間彼此吸引和排斥的程度，是刻畫(huà)混沌系統(tǒng)的一個(gè)最重要的物理量。因此利用LE譜能夠清晰地觀察到當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨之發(fā)生變化，曲線由上向下依次表示為L(zhǎng)E1, LE2和LE3。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為α=40, β =0.9, γ =0.5, δ =0.6,ε=12時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為L(zhǎng)E1=0.5598, LE2=0.0006, LE3=－3.1715，圖2給出了在δ=[0.5, 0.8]時(shí)該混沌系統(tǒng)隨著參數(shù)δ 發(fā)生變化時(shí)的曲線，觀察曲線可以看出，當(dāng)δ=[0.5, 0.52]時(shí)，只有一個(gè)LE1=0，其他兩個(gè)LE指數(shù)小于0，表明此區(qū)間為周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng) δ=[0.5202, 0.5256], [0.5343,0.5478], [0.5518, 0.6887], [0.6931, 0.7182], [0.7373,0.7532]時(shí)，可以觀察到存在正的LE指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。綜合來(lái)說(shuō)， δ的變化區(qū)間內(nèi)保持一個(gè)正的、一個(gè)接近于0、一個(gè)負(fù)的LE指數(shù)，存在混沌吸引子，系統(tǒng)始終處于復(fù)雜的混沌狀態(tài)。

系統(tǒng)的LE維數(shù)

圖1 三渦卷混沌系統(tǒng)的相圖

顯然系統(tǒng)式(1)的Lyapunov維數(shù)是分?jǐn)?shù)維，表示一個(gè)奇異吸引子，說(shuō)明系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)，具有復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu)。

3.2 分岔圖和龐加萊截面圖

分岔是非線性領(lǐng)域一個(gè)重要的內(nèi)容。圖3給出了混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量z隨著系統(tǒng)參數(shù)δ 發(fā)生變化時(shí)的分岔圖，可以清晰地觀察到系統(tǒng)的周期、倍周期、混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)范圍等。將其與 LE譜進(jìn)行對(duì)比分析之后發(fā)現(xiàn)，兩者隨參數(shù)的變化情況基本一致，可以看出混沌系統(tǒng)關(guān)于z=0對(duì)稱(chēng)。

Poincare截面對(duì)于分析多變量的系統(tǒng)很有效果，由于系統(tǒng)是3維的，所以在相空間中應(yīng)做2維的Poincare截面圖，如圖4所示利用MATLAB選取x=0, y=0, z=0分別得到y(tǒng)–z, x–z, x–y平面上的Poincare截面，當(dāng)Poincare截面上只有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)或少數(shù)離散點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)是周期的；當(dāng)Poincare截面上是1條封閉的連續(xù)曲線時(shí)，運(yùn)動(dòng)是擬周期的；當(dāng)Poincare截面上是一段連續(xù)曲線或是一些成片的密集點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)是混沌的。通過(guò)觀察截面圖，可以驗(yàn)證系統(tǒng)是混沌的[4]。

3.3 功率譜分析

圖2 參數(shù)δ 變化時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜

周期信號(hào)的功率譜是離散譜，非周期信號(hào)的功率譜是連續(xù)譜。對(duì)于混沌系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，產(chǎn)生的混沌信號(hào)是非周期信號(hào)，所以其功率譜也應(yīng)為連續(xù)譜。由此可見(jiàn)，可以用功率譜來(lái)分析區(qū)別周期信號(hào)和混沌信號(hào)。圖5給出了系統(tǒng)式(1)的功率譜圖，可以觀察到是連續(xù)譜。

4 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

4.1 耗散性

通過(guò)式(3)得到系統(tǒng)的散度

系統(tǒng)的散度γ z ?α+ε+β =?27.1<0，其中z恒為0，散度小于0，所以系統(tǒng)是耗散的，并且系統(tǒng)以指數(shù)形式=e?27.1t收斂。當(dāng)t →∞ 時(shí)，所有的系統(tǒng)軌線最終將會(huì)被限制在一個(gè)體積為零的極限點(diǎn)集上，而且它的動(dòng)力學(xué)行為將會(huì)被固定在一個(gè)吸引子上，這充分證明了吸引子的存在。

4.2 平衡點(diǎn)

為求系統(tǒng)平衡點(diǎn)，令非線性混沌系統(tǒng)式(1)方程的右邊等于零，得到

當(dāng)參數(shù)為 α=40, β =0.9, γ =0.5, δ =0.6, ε=12，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)集為(0, 0, 0), (±P,±(α ?γ)PQ,

圖3 z變量隨參數(shù)δ 變化時(shí)的分岔圖

圖4 系統(tǒng)式(1)的Poincare截面圖

圖 5 系統(tǒng)的功率譜圖α(ε+1)Q)，在平衡點(diǎn)集(0, 0, 0)處，線性化系統(tǒng)[6]得到Jacobi矩陣

令det(J ?λI)=0，其I為單位矩陣，求得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(0, 0, 0)處的特征值為λ1=?40.7581,λ2=12.7581, λ3=0.9，有兩個(gè)正的特征值，一個(gè)負(fù)的特征值，說(shuō)明平衡點(diǎn)(0, 0, 0)是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

5 電路設(shè)計(jì)與仿真實(shí)驗(yàn)

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了理論分析和數(shù)值仿真之后，為了進(jìn)一步驗(yàn)證混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，本節(jié)將在實(shí)驗(yàn)上通過(guò)設(shè)計(jì)非線性模擬電路進(jìn)行驗(yàn)證分析。首先對(duì)系統(tǒng)式(1)進(jìn)行了尺度變換，令μ=kax, υ =kay,z =kaz, τ =ktt, ka是 振幅變換系數(shù)，kt是時(shí)間變換系數(shù)。應(yīng)用上述變換，系統(tǒng)式(1)變?yōu)?/p>

其中，μ , υ, w是 新的狀態(tài)變量，ka=0.025, kt=100，電路原理圖如圖6所示，便于系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算放大器選用LM358，乘法器選用AD633JN，電源選用± 15V。應(yīng)用算法方程式(6)變?yōu)?/p>

其中， μc1,,μc2,μc3分別是通過(guò)C1,C2,C3的電壓。通過(guò)對(duì)比方程式(6)和方程式(7)，可以得到

令C1=C2=C3=0.1，對(duì)于方程式(8)，我們?nèi)1=R2=2.5 k?, R3=500 ?, R4=100 k? , R5=10 k?, R6=R8=250 ?, R7=110 k?, R9=417 k?,R10=R11=R12=R14=R15=10 k?。

通過(guò)在Multisim電路仿真軟件上進(jìn)行驗(yàn)證，得到的相位圖如圖7所示，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，理論吸引子和電路吸引子比較相似。因此該混沌系統(tǒng)在數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)研究方面得到了證實(shí)，存在吸引子。

6 在圖像加密中的應(yīng)用

設(shè)計(jì)新型的圖像加密算法[10]已經(jīng)成為現(xiàn)在研究的熱點(diǎn)?！爸脕y”是一種傳統(tǒng)的圖像加密方法[11]，它有許多的優(yōu)點(diǎn)但是仍然存在局限性，1次加密算法被證明是不安全的，很容易被選擇明文攻擊所攻破，因此配合混沌系統(tǒng)和新的算法可以達(dá)到更好的加密效果。本文所采用的圖像加密算法為雙重加密，以一副大小為M ×N的彩色圖像為例，先對(duì)原始圖像進(jìn)行Arnold變換置亂進(jìn)行預(yù)處理，然后對(duì)變換后的1次加密圖像進(jìn)行DNA加密運(yùn)算，加密流程如圖8所示。

6.1 預(yù)處理

Arnold置亂變換是由Arnold提出的一種置亂方法[12]，該方法最初是對(duì)貓臉圖像進(jìn)行操作，因此也稱(chēng)為貓臉變換，實(shí)質(zhì)是新舊位置的一一映射，具體變換矩陣公式為

其中，x ,y ∈{0,1,···,N ?1}表示的是置亂變換前像素點(diǎn)位置，( x′,y′)表示的是變換后的位置，mod表示模運(yùn)算，N表示正方形圖像的邊長(zhǎng)。Arnold變換多項(xiàng)式公式為

6.2 DNA加密

首先，利用ode45算法計(jì)算混沌系統(tǒng)的初始值并迭代混沌系統(tǒng)，去除前1500項(xiàng)獲得更好的隨機(jī)性，得到3個(gè)混沌序列{ xi,yi,zi} ，其中將{ zi}混沌序列轉(zhuǎn)化為0～255之間的整數(shù)，然后將其轉(zhuǎn)換為與預(yù)處理之后的大小一致的矩陣R，接下來(lái)利用大小為t ×t的方陣分別對(duì)混沌矩陣和置亂矩陣進(jìn)行均勻分塊，得到的總塊數(shù)為( M/t+N/t)×3 。 設(shè)I(x,y)為圖像在( x,y) 處 的灰度值，將I 相鄰的比特面兩兩合并得到I1={i1i2}, I2={i3i4}, I3={i5i6}, I4={i7i8}作為混沌系統(tǒng)的初值，最后進(jìn)行DNA編碼。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，雙重加密在很大程度上提高了加密算法的安全性和效率，圖9分別是加密前后的Lena圖像，由圖可知，加密圖像已看不出原始圖像所具有的特征，即沒(méi)有明顯的規(guī)律性。

圖6 電路原理圖

圖7 電路實(shí)驗(yàn)吸引子相圖

6.3 相關(guān)性分析

數(shù)字圖像的各相鄰像素間在水平、垂直和對(duì)角線方向的相關(guān)性很大，接近于1。圖像加密的目的就是要破壞相鄰像素之間的相關(guān)性，所以下面將通過(guò)對(duì)比加密前后圖像的相鄰像素的分布圖研究加密效果。相關(guān)系數(shù)為

其中，x, y分別表示圖像中相鄰兩個(gè)像素點(diǎn)的像素值，n是像素總數(shù)，E(x)和D(x)分別表示所對(duì)應(yīng)的像素的灰度值的期望和方差。

選擇大小為256×256的明文圖像和加密后的密文圖像，分別在水平、垂直和對(duì)角線3個(gè)方向上對(duì)明文圖像和密文圖像的相鄰像素進(jìn)行分析，選取水平方向相關(guān)性曲線結(jié)果如圖10所示，明文圖像存在明顯的相關(guān)性，而對(duì)應(yīng)的密文圖像則均勻分布，說(shuō)明該算法破壞了原始圖像的相關(guān)特征。圖11給出了加密后3個(gè)方向3個(gè)通道的完整相關(guān)性曲線圖。

圖8 圖像加密算法框架圖

計(jì)算加密前后圖像在水平、垂直和對(duì)角線3個(gè)方向上的相關(guān)系數(shù)，分別取3個(gè)方向上3個(gè)通道的平均值，結(jié)果見(jiàn)表1。由表可知，明文圖像在3個(gè)方向上的相關(guān)性很強(qiáng)接近于1，而對(duì)應(yīng)的密文圖像的像素均勻分布，其相關(guān)系數(shù)接近于0，與其他加密方法對(duì)比后可知，該加密效果非常明顯。

6.4 灰度直方圖

圖像的直方圖是圖像的重要統(tǒng)計(jì)特征，圖12給出了加密前后圖像的直方圖，從圖中可以看出明文圖像的直方圖分布不均勻，顯示了像素的統(tǒng)計(jì)特性；而密文圖像的直方圖分布較均勻。

6.5 信息熵分析

信息熵是衡量信息隨機(jī)性的度量指標(biāo)，反映了加密后密文圖像的像素值隨機(jī)分布信息，信息熵為

其中，p(si)表示該像素值在整幅圖像中所占的概率，2n表示圖像中像素值的所有狀態(tài)。本加密算法中，取3個(gè)信道信息熵的平均值，得到的信息熵為7.9995，非常接近理想值8，如表2所示。

7 結(jié)論

圖9 圖像加密效果

圖10 水平方向R通道相鄰像素分布

圖11 加密后完整相鄰像素分布

表1 相鄰像素在不同方向上的相關(guān)系數(shù)

圖12 圖像像素分布直方圖

表2 RGB三個(gè)通道的信息熵

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)三渦卷混沌系統(tǒng)，分別分析了三渦卷混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)性質(zhì)、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、Poincare截面圖以及頻譜圖，充分呈現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌特性。然后進(jìn)行了硬件電路實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)電路仿真與數(shù)值分析的結(jié)果一致，最后將混沌系統(tǒng)與DAN算法相結(jié)合設(shè)計(jì)了圖像加密方案，極大地增強(qiáng)了算法的安全性。通過(guò)對(duì)各性能指標(biāo)的分析，發(fā)現(xiàn)該算法具有較好的加密效果和潛在的應(yīng)用價(jià)值，可廣泛應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域。