李玉博 張景景 韓承桓 彭秀平

(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 秦皇島 066004)

1 引言

壓縮感知[1,2]是近些年來興起的一種新的信號處理技術(shù)，可以應(yīng)用在壓縮成像和遠(yuǎn)場診斷等眾多領(lǐng)域[3,4]。該理論采用非自適應(yīng)線性投影來保持原始信號的結(jié)構(gòu)，然后以遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率的采樣頻率對信號進(jìn)行采樣，最后通過數(shù)值優(yōu)化問題準(zhǔn)確重構(gòu)出原始信號。測量矩陣設(shè)計是壓縮感知理論的核心問題之一，測量矩陣分為隨機(jī)測量矩陣和確定性測量矩陣。已有研究表明，隨機(jī)測量矩陣是一類性能優(yōu)良的測量矩陣，可以很大概率地恢復(fù)信號。然而隨機(jī)測量矩陣在實(shí)際應(yīng)用時所需存儲量巨大，硬件難以實(shí)現(xiàn)，并且隨機(jī)測量矩陣不能保證每次生成的矩陣都具備較好的性能。為解決這些實(shí)際問題，學(xué)者提出了確定性測量矩陣。目前國內(nèi)外學(xué)者提出了許多構(gòu)造確定性測量矩陣的方法，如文獻(xiàn)[5]基于有限域得到一個基矩陣，通過嵌入矩陣得到一類稀疏測量矩陣；文獻(xiàn)[6]基于Kasami碼提出一種構(gòu)造測量矩陣的方法；文獻(xiàn)[7]利用有限域多項(xiàng)式的相關(guān)性構(gòu)造確定性測量矩陣；文獻(xiàn)[8]使用平衡不完全塊設(shè)計測量矩陣。然而這些確定性測量矩陣維度較為固定，構(gòu)造具有更加靈活維度的測量矩陣成為研究的難題。

卷積壓縮感知是近年來提出的一類新型壓縮感知技術(shù)。卷積壓縮感知測量矩陣由于是從一個確定性測量矩陣中隨機(jī)抽取若干行構(gòu)成的，因此具有矩陣維度靈活的優(yōu)點(diǎn)，這類矩陣也稱為半確定性測量矩陣。目前卷積壓縮感知測量矩陣的相關(guān)成果并不多，文獻(xiàn)[9]通過抽取Legendre序列提出一種卷積壓縮感知測量矩陣的構(gòu)造方法；文獻(xiàn)[10]提出一種基于抽樣Sidelnikov序列的卷積壓縮感知測量矩陣構(gòu)造方法；Li等人[11]通過擴(kuò)展Frank-Zadoff-Chu(FZC)序列以及擴(kuò)展Golay序列構(gòu)造卷積壓縮感知測量矩陣，但其相關(guān)性參數(shù)較大。為解決這一問題，進(jìn)一步優(yōu)化卷積壓縮感知測量矩陣，本文將分圓類理論引入壓縮感知測量矩陣設(shè)計中，構(gòu)造的測量矩陣相關(guān)性比文獻(xiàn)[11]低。仿真實(shí)驗(yàn)表明本文得到的矩陣不僅可以用于重構(gòu)1維信號，而且可以用于重構(gòu)2維圖像以及信道估計。

2 基本概念

2.1 卷積壓縮感知

自然界存在的信號一般不是絕對稀疏的，信號x通過變換域成為具有稀疏性的信號，壓縮感知中信號的壓縮采樣過程可以表述為

x ∈RN是長度為 N 的原始信號， Φ 是大小為M ×N的測量矩陣， Ψ是大小為N ×N 的稀疏基，y ∈RM為壓縮采樣后得到的信號。

卷積壓縮感知的核心思想是對信號進(jìn)行卷積和濾波，然后對輸出的信號進(jìn)行2次采樣，最終完成信息的獲取。Tropp[12]最早提出了卷積壓縮感知的思想。卷積壓縮感知理論經(jīng)過眾多研究者的研究與實(shí)驗(yàn)證明，提出了一種使用N-tap隨機(jī)濾波的循環(huán)卷積理論[13]，可以用式(2)表示部分循環(huán)矩陣

R?是 一個采樣算子，N ×N 的方陣 A通 過a=[a0a1····aN?1]T循環(huán)移位構(gòu)成。矩陣 A可以利用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)進(jìn)行對角化，如式(3)所示

一般來說，對于傅里葉光學(xué)以及編碼孔徑成像等領(lǐng)域要求其測量矩陣是全實(shí)數(shù)矩陣[11]。為了使矩陣 A 是一個全實(shí)數(shù)矩陣，對角線序列σ 需要滿足共軛對稱性條件[14]：σk=?k, 1 ≤k ≤N ?1, “( ·)H”表示序列的共軛對稱性；同時為保證測量矩陣的良好性質(zhì)，序列a 需 要滿足條件：

2.2 限制等距性

在壓縮感知理論中，限制等距性(Restricted Isometry Property, RIP)[15]是判斷測量矩陣性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)。為了重構(gòu)稀疏信號，Candes等人[15]證明了測量矩陣 Φ必須滿足限制等距性條件。

定義1對于給定的測量矩陣 Φ 和 所有k 稀疏信號x，找到最小的常數(shù)δk使之滿足如果所有 k 階稀疏信號x 均滿足式(5)的最小常數(shù)δk，那么稱測量矩陣 Φ 具備k 階RIP性質(zhì)，稱δk為k 階限制等距常量。

定義2[11]對于 M ×N 的矩陣 A , Ai,j(0 ≤i ≤M ?1, 0 ≤j ≤N ?1 ) 代表矩陣 A 的第i 行和第j列元素。對于N ×N 的矩陣 A, A的最大相關(guān)性參數(shù)μ (A)定義為

文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)出RIP性質(zhì)與相關(guān)性之間的關(guān)系為：δk≤(k ?1)μ(A)，因此可知當(dāng)矩陣相關(guān)性足夠小時，矩陣滿足限制等距常數(shù)的RIP性質(zhì)。一般來說，測定一個測量矩陣的RIP特性是非常困難的，測量矩陣通常采用容易計算的相關(guān)性作為理論支撐。可以通過構(gòu)造具有較低相關(guān)性的測量矩陣進(jìn)而保證其良好的RIP，因此相關(guān)性成為確定性測量矩陣優(yōu)劣的主要評判標(biāo)準(zhǔn)。

2.3 分圓類

定義3[17]設(shè) p =ef +1, p 為奇素數(shù)，e 為正整數(shù)， Fp為p 階有限域，F(xiàn)p?=Fp{0}。 設(shè)α 為Fp的本原元，則={α0,α1,····,αp?2}。定義子集

相應(yīng)的 e階分圓數(shù)定義為( λ,j) = |(Dλ+ 1)∩Dj|,0 ≤λ,j ≤e ?1。

3 卷積壓縮感知測量矩陣的構(gòu)造

本節(jié)利用分圓類構(gòu)造卷積壓縮感知測量矩陣，所得到的測量矩陣元素均為實(shí)數(shù)，適用于2維圖像的重構(gòu)。與文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]的方法相比，本節(jié)得到的矩陣具有更優(yōu)的RIP特性。仿真實(shí)驗(yàn)表明，新矩陣可以應(yīng)用于重構(gòu)1維信號、2維圖像以及信道估計。

3.1 構(gòu)造方法

3.1.1 基于2階分圓類的測量矩陣

設(shè)p=2f +1, f為偶數(shù)?；?階分圓類構(gòu)造序列s=[s0s1···sp?1], st(0 ≤t ≤p ?1)為

定理1構(gòu)造的序列s 滿足共軛對稱性和低相關(guān)性，即(1) st=sp?t, 1 ≤t ≤p ?1 ; (2) ||≤1+,表示序列 s 的p 點(diǎn)傅里葉逆變換。

證明相關(guān)性： p =2f+1=4r+1 ≡1mod4, 2階分圓數(shù)為

s=[s0s1···sN?1], N =p=2f +1 , s? 表示序列s 的N點(diǎn)IFFT，即

(1) 當(dāng)k =0時，有

(2) 當(dāng)k ≠0時 ，令st=1?2bt， 即st=(?1)bt，則有

根據(jù)定理1和定義2可以得到定理2。

定理2將序列s 作為對角向量σ ，按照式(4)得到向量 a， 對a 進(jìn) 行循環(huán)移位得到矩陣 A ， 則 A的相

3.1.2 基于e (e>2)階分圓類的測量矩陣

設(shè)p=ef +1, e和 f 均為偶數(shù)，p 為奇素數(shù)?；趀階 分 圓 類 構(gòu) 造 序 列s =[s0s1···sp?1] , st(0 ≤t ≤p ?1)為

定理3構(gòu)造的序列s 滿足共軛對稱性和低相關(guān)性，即：(1)st=sp?t, 1 ≤t ≤p ?1; (2)| s?t|≤2 , s ?表示序列s 的 p 點(diǎn)IFFT。

當(dāng) e>2時，求解所得的卷積壓縮感知測量矩陣的相關(guān)性較為困難，然而通過計算機(jī)分析發(fā)現(xiàn)，測量矩陣的相關(guān)性滿足低相關(guān)性條件。圖1給出基于e 階分圓類構(gòu)造矩陣的相關(guān)性μ (A)的分布圖。

圖1分別給出了基于2階、4階、6階、8階分圓類構(gòu)造矩陣的相關(guān)性μ (A)的 分布圖，截取長度 N為1 ≤N ≤1600，從圖中可以看出基于分圓類構(gòu)造矩陣的相關(guān)性參數(shù)μ (A)≤2。 證畢

根據(jù)定理3和定義2可以得到定理4。

定理4將序列s 作為對角向量σ ，按照式(4)得到向量 a， 對a 進(jìn) 行循環(huán)移位得到矩陣 A ， 則 A的相關(guān)性參數(shù)為μ (A)≤2。

圖1 相關(guān)性分布圖

表1列舉了已有序列構(gòu)造測量矩陣的不同方法，并對其進(jìn)行了對比。本文基于 e階分圓類構(gòu)造的測量矩陣比已有序列構(gòu)造的矩陣相關(guān)性參數(shù)更加接近理論值，因此具有更好的RIP性質(zhì)。

在土方開挖施工時，施工管理部門要制定好科學(xué)有效的計劃安排和組織管理，充分利用好施工現(xiàn)場的有利條件，嚴(yán)格控制施工成本、施工進(jìn)度以及施工安全。很多情況下，基坑土方開挖的面積較大，在開挖過程中不僅要求配合錨桿和土釘?shù)氖┕みM(jìn)行分步開挖，而且為了增加日出土量，都會選擇盆式開挖，也就是每邊給錨桿和土釘留有約10m的作業(yè)面，中間部分就以每步3～3.5m的速率開挖，其土方開挖允許的偏差如表1所示[3]。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)分析

3.2.1 1維信號仿真

在模擬中使用的 k 稀疏信號的非零坐標(biāo)位服從高斯分布，本文模擬在無噪聲條件和有噪聲條件下信號x 的恢復(fù)性能，使用正交匹配跟蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法[18]作為恢復(fù)算法，若//?x//2<10?6，則認(rèn)為原始信號恢復(fù)成功。1維重構(gòu)信號估計值 x?的平方誤差相當(dāng)小，即滿足信號的仿真結(jié)果如圖2、圖3、圖4、圖5所示。

圖2和圖4中e =2,f =128, R?=32，生成大小為32×257的測量矩陣，圖3和圖5中e=4, f=130,R?=64，生成大小為64×521的測量矩陣。圖2和圖3在無噪聲條件下基于本文提出的測量矩陣恢復(fù)信號的性能優(yōu)于隨機(jī)高斯矩陣以及文獻(xiàn)[11]構(gòu)造的測量矩陣；圖4和圖5在被采樣信號的信噪比(Signal-to-Noise, SNR)為30 d B的條件下給出了不同稀疏度下的輸出信噪比。仿真結(jié)果表明，信號在有噪聲的情況下，本文提出的測量矩陣恢復(fù)信號的性能優(yōu)于同等條件下隨機(jī)高斯矩陣以及文獻(xiàn)[11]構(gòu)造的測量矩陣。

3.2.2 2維圖像仿真

本文以大小為256×256的Lena圖像作為原始的2維圖像信號，以小波變換基對信號進(jìn)行稀疏變換，使用Tvl1-l2[19]算法作為恢復(fù)算法?；謴?fù)圖像質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)采用峰值信噪比(Peak Signal to NoiseRatio, PSNR)來進(jìn)行評價。2維圖像的仿真結(jié)果如圖6所示。

表1 與已有序列構(gòu)造的矩陣相關(guān)性比較

圖2 不同稀疏度下的重構(gòu)百分比

圖3 不同稀疏度下的重構(gòu)百分比

圖4 不同稀疏度下的輸出信噪比

圖5 不同稀疏度下的輸出信噪比

圖6中e =2, f=260, R?=256，隨機(jī)抽取256列生成大小為256×256的測量矩陣，圖中顯示不同測量矩陣對應(yīng)的PSNR分別為：(a)原始圖像；(b)隨機(jī)高斯測量矩陣：13.0 dB；(c)擴(kuò)展Golay序列構(gòu)造的測量矩陣：13.0 dB；(d)基于分圓類構(gòu)造的測量矩陣：13.1 dB。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，使用同一種重構(gòu)算法與稀疏基的情況下，針對同一個2維圖像信號，基于分圓類構(gòu)造的測量矩陣恢復(fù)圖像的效果優(yōu)于文獻(xiàn)[11]提出的擴(kuò)展Golay序列構(gòu)造的測量矩陣恢復(fù)圖像的效果。

3.2.3 信道估計

考慮一般MIMO系統(tǒng)中的信道估計，其中導(dǎo)頻序列從t 個發(fā)射機(jī)傳輸并由r 個接收機(jī)觀察。由于每個接收機(jī)的信道估計方案都是相同的，因此可以假設(shè)系統(tǒng)中有一個接收機(jī)，而不會喪失通用性。假設(shè)每個發(fā)射機(jī)發(fā)射一個導(dǎo)頻序列?i=[?i(1)?i(2)···?i(M)]T其中 1 ≤i ≤t 。從第i個發(fā)射機(jī)到接收機(jī)的信道脈沖響應(yīng)(Channel Impulse Response, CIR)定義為hi=[hi(1)hi(2)···hi(L)]T，其中 L是所有信道脈沖響應(yīng)上的最大信道長度。假設(shè)M ≥L，如果只激活第i 個發(fā)射機(jī)，接收機(jī)觀察導(dǎo)頻序列和相應(yīng)信道脈沖之間的線性卷積為=?i?hi?hi，當(dāng)考慮所有t 個發(fā)射機(jī)時，接收機(jī)的總體觀測值可以表示為

y ∈CM, w 代表采樣的AWGN噪聲，Φ ∈CM×N,h ∈CN是組合信道脈沖響應(yīng)。

模擬一個長度為M =257,N =257的多輸入多輸出系統(tǒng)，同時估計發(fā)射機(jī)t =2和一個接收機(jī)之間的信道，并進(jìn)行測量SNR從10 dB 到20 d B。在每個SNR處，將組合多路徑的數(shù)目從60改變到140，對應(yīng)于每個信道的平均多路徑數(shù)目從6增加到14。使用FPC-AS算法[20]作為恢復(fù)算法，在每次模擬中進(jìn)行500次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7顯示了在SNR為30 d B的情況下，單個信道脈沖響應(yīng)的實(shí)值及其估計，仿真結(jié)果表明，基于分圓類構(gòu)造的測量矩陣應(yīng)用在信道估計中估計值與實(shí)值完美重合。圖8描述在不同SNR情況下均方誤差(Mean Squared Error, MSE)性能與組合多路徑數(shù)的關(guān)系，從圖中可以看出，SNR將對均方誤差性能產(chǎn)生影響，SNR越大，MSE越小，對信道估計的估計值更加精確；對應(yīng)同一個SNR，基于分圓類構(gòu)造的測量矩陣的MSE接近文獻(xiàn)[11]中基于擴(kuò)展FZC序列以及擴(kuò)展Golay序列構(gòu)造的測量矩陣的均方誤差。

4 結(jié)束語

圖6 不同測量矩陣重構(gòu)2維圖像

圖7 信道脈沖響應(yīng)的實(shí)值及其估計

圖8 均方誤差性能與組合多路徑數(shù)

本文基于分圓類構(gòu)造了一類卷積壓縮感知測量矩陣，序列的相關(guān)性從理論上確保了測量矩陣的恢復(fù)性能。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，本文構(gòu)造的全實(shí)數(shù)系數(shù)矩陣不僅在1維信號的恢復(fù)中效果優(yōu)于隨機(jī)高斯矩陣以及已有序列構(gòu)造的測量矩陣，還可以用于2維圖像的重構(gòu)以及信道估計。因此本文構(gòu)造的測量矩陣在壓縮感知以及無線通信方向具有廣泛的應(yīng)用前景。