郭 瑩 于和芳 趙 璐 李 飛 劉振宇

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 沈陽(yáng) 110870)

1 引言

分布式自適應(yīng)估計(jì)是一種多節(jié)點(diǎn)協(xié)作的信息處理方式，即傳感器網(wǎng)絡(luò)中的各個(gè)節(jié)點(diǎn)均通過(guò)自適應(yīng)迭代方式參與計(jì)算，并按照特定的協(xié)作策略與鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行信息交互，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)感興趣參數(shù)的有效估計(jì)。在各種節(jié)點(diǎn)協(xié)作策略中擴(kuò)散策略[1]更具靈活性和適應(yīng)性，適于實(shí)現(xiàn)大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)。因而，在救災(zāi)管理、精確農(nóng)業(yè)、電力系統(tǒng)建設(shè)等眾多領(lǐng)域[2–4]得到了廣泛應(yīng)用。

根據(jù)輸入信號(hào)的特性不同，擴(kuò)散式自適應(yīng)估計(jì)算法可分為白輸入信號(hào)算法和有色輸入信號(hào)算法。最早提出的擴(kuò)散式自適應(yīng)估計(jì)算法—DLMS(Diffusion Least Mean Square)及其改進(jìn)算法[5–7]就是在白輸入信號(hào)的假設(shè)之下得到的，對(duì)于有色輸入信號(hào)該類(lèi)算法的性能退化嚴(yán)重。為此，各種針對(duì)有色輸入信號(hào)的算法相繼出現(xiàn)，擴(kuò)散式仿射投影算法(Diffusion Affine Projection Algorithm,DAPA)[8,9]是其中之一，它是在DLMS的基礎(chǔ)上通過(guò)對(duì)輸入數(shù)據(jù)的重用來(lái)保證在輸入信號(hào)存在相關(guān)性時(shí)仍快速收斂。為了便于算法分析，DAPA算法簡(jiǎn)單地假設(shè)系統(tǒng)加性噪聲為符合大數(shù)定理的高斯分布。但是，實(shí)際應(yīng)用中往往會(huì)遇到由大氣、同信道干擾、節(jié)點(diǎn)失效等造成的具有脈沖特性的非高斯噪聲[10–16]，這類(lèi)噪聲在幅度上的強(qiáng)脈沖性會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)基于高斯假設(shè)的2階統(tǒng)計(jì)量算法發(fā)生性能退化甚至完全失效，而DAPA算法恰恰是基于2階統(tǒng)計(jì)量的，故其不適用于非高斯噪聲。抑制非高斯噪聲的方法大致可分為兩類(lèi)：信息論法和穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量法。信息論法依據(jù)熵是局部相似性的度量而采用最大相關(guān)熵準(zhǔn)則(Maximum Correntropy Criterion,MCC)[12,13]和最小誤差熵[14]抑制具有脈沖性的異常值即非高斯噪聲。穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量法是目前主流的非高斯噪聲抑制方法，用于擴(kuò)散式自適應(yīng)估計(jì)的穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量主要是M估計(jì)量和L1范數(shù)，該類(lèi)方法通過(guò)求取某個(gè)非2階統(tǒng)計(jì)函數(shù)的最小化來(lái)獲得最優(yōu)估計(jì)[15–19]。實(shí)際上，在穩(wěn)健估計(jì)理論中還有另一種對(duì)抗異常值非常有效的估計(jì)量：R(Rank based estimator)估計(jì)量，其代價(jià)函數(shù)是通過(guò)對(duì)誤差值進(jìn)行排序的評(píng)分函數(shù)來(lái)定義的。R估計(jì)量的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小且抗異常值能力強(qiáng)[20]，其中的Wilcoxon范數(shù)近年來(lái)得到了信號(hào)處理領(lǐng)域的廣泛關(guān)注，目前的研究主要集中在單節(jié)點(diǎn)的參數(shù)估計(jì)上：Majhi等人[21]將Wilcoxon范數(shù)作為代價(jià)函數(shù)提出Wilcoxon最小均方誤差算法(Wilcoxon Least Mean Square, WLMS)，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)健的系統(tǒng)辨識(shí)算法；Ban等人[22]提出了基于Wilcoxon范數(shù)的仿射投影算法(Wilcoxon Affine Projection Algorithm, WAPA)，通過(guò)最小化加權(quán)Wilcoxon范數(shù)來(lái)克服APA算法的不足；文獻(xiàn)[23]提出符號(hào)回歸Wilcoxon LMS算法(Sign-regressor Wilcoxon LMS)，獲得了更快的收斂速度；文獻(xiàn)[24]在塊最小二乘算法(Block Recursive Least Square, BRLS)中加入Wilcoxon范數(shù)，通過(guò)QR分解減少其計(jì)算量。Wilcoxon范數(shù)在分布式自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用起步較晚，最早出現(xiàn)的是由Kumar等人[25]于2016年提出的擴(kuò)散最小Wilcoxon范數(shù)(Diffusion Minimum Wilcoxon Norm, DMWN)算法，該文分別在不同非高斯條件下對(duì)算法進(jìn)行了驗(yàn)證并給出了理論分析。

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，考慮到非高斯噪聲對(duì)DAPA類(lèi)算法的影響，本文基于Wilcoxon范數(shù)對(duì)原代價(jià)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，得到了新的迭代方程，同時(shí)為提升算法的適應(yīng)能力，基于最優(yōu)步長(zhǎng)的上界提出了變步長(zhǎng)策略，即通過(guò)建立步長(zhǎng)與誤差信號(hào)之間的非線性關(guān)系打破固定步長(zhǎng)的局限性，在收斂初始階段，采用大步長(zhǎng)加快收斂速度；當(dāng)接近收斂階段，保持步長(zhǎng)不變。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文新算法在非高斯噪聲和高斯噪聲環(huán)境下均表現(xiàn)出良好的性能。

文中用到的各種運(yùn)算及其含義為：col{x1x2···xN}表 示將列向量x1x2···xN依次縱向組成一個(gè)列向量，[ ·]T表示求矩陣的轉(zhuǎn)置，s ign(·)表示符號(hào)運(yùn)算， E[·]表 示求期望，d iag{·}表示產(chǎn)生對(duì)角矩陣，λmax(·)為 矩陣的最大特征值，INM為N ×M的單位||·為 向量的歐氏范數(shù)的平方，| ·|表示求絕對(duì)值，矩陣， X ?C表示求兩矩陣X和C的克羅內(nèi)克積，med(·)表 示求中值，? 表示定義。

2 問(wèn)題描述

2.1 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)由 N個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的分布式網(wǎng)絡(luò)，所有與節(jié)點(diǎn)k 直接相連的鄰居節(jié)點(diǎn)集合記為Nk(包括節(jié)點(diǎn)k 自身在內(nèi))，其中的任意兩個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)l ,k通過(guò)融合系數(shù)clk實(shí)現(xiàn)信息交互。網(wǎng)絡(luò)中待估計(jì)的未知參數(shù)向量 w0是M ×1 維向量，uk(i) 是M ×1的輸入向量，則節(jié)點(diǎn) k 在i時(shí) 刻的局部測(cè)量值為{ dk(i),uk(i)},k =1,2,···,N，它們之間的線性關(guān)系為

其中， M為濾波器長(zhǎng)度，uk(i)=[uk(i) uk(i ?1) ···uk(i ?M +1)]T是M ×1 維的輸入向量。假設(shè)uk(i)和ηk(i)相 互獨(dú)立，ηk(i)為背景噪聲，在實(shí)際場(chǎng)景中它可能是符合高斯分布的高斯噪聲，也可能是不符合高斯分布的非高斯脈沖噪聲。本文采用混合高斯模型[13,16,19]來(lái)描述非高斯噪聲：

其中，χk(i)與 vk(i)是獨(dú)立同分布的零均值高斯白噪聲，方差分別為和, mk(i)=bk(i)vk(i)表 示非高斯噪聲，bk(i)為伯努利過(guò)程，其概率密度函數(shù)為 P [bk(i)=1]=pk, P [bk(i)=0]=1 ?pk,pk表 示在節(jié)點(diǎn)k 脈沖性噪聲發(fā)生的概率。相應(yīng)地，ηk(i)的概率密度函數(shù)為

2.2 傳統(tǒng)的DAPA算法

擴(kuò)散式策略有兩種實(shí)現(xiàn)形式，一是先融合再進(jìn)行自適應(yīng)的CTA(Combine-Then-Adapt)模式，二是先進(jìn)行自適應(yīng)再融合的ATC(Adapt -Then-Combine)模式。二者的基本結(jié)構(gòu)相同，但融合和自適應(yīng)的順序不同導(dǎo)致ATC模式比CTA模式能夠更快速地遍歷所有的節(jié)點(diǎn)，因此本文采用ATC模式[1]。

A T C 模式下擴(kuò)散式自適應(yīng)估計(jì)的節(jié)點(diǎn)k =1,2,···,N的迭代過(guò)程為

式中， f [Φl(i+1);l ∈Nk] 表示節(jié)點(diǎn)k 與其鄰居節(jié)點(diǎn)l間的融合函數(shù)，Nk表 示節(jié)點(diǎn)k 的所有鄰居節(jié)點(diǎn)的集合； ? Jk(wk(i)是代價(jià)函數(shù)的梯度，根據(jù)代價(jià)函數(shù)的不同可以得到不同算法的迭代過(guò)程。

DAPA算法在DLMS算法的基礎(chǔ)上對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行重組，將P(稱(chēng)為仿射投影階數(shù))個(gè)輸入向量組合形成輸入信號(hào)的 M ×P 維矩陣形式：Uk(i)=[uk(i) uk(i ?1) ··· uk(i ?P +1)]；期 望 信 號(hào) 表 示為dk(i) =Uk(i)+ηk(i)=[dk(i) dk(i ?1) ··· dk(i ?P +1)]； 噪聲向量表示為ηk(i)=[ηk(i) ηk(i ?1)··· ηk(i ?P +1)]。傳統(tǒng)的DAPA 算法在噪聲符合高斯分布的假設(shè)下，通過(guò)求解式(5)的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)估計(jì)權(quán)向量w0。

由此可以看到，DAPA算法是一種2階統(tǒng)計(jì)量方法，在非高斯噪聲下必將失效。

3 本文提出的算法

3.1 迭代方程的推導(dǎo)

考慮到Wilcoxon的諸多優(yōu)點(diǎn)，本文基于Wilcoxon范數(shù)推導(dǎo)新的迭代方程。后驗(yàn)誤差向量：

由于沖擊噪聲樣本對(duì)算法性能的影響發(fā)生在迭代過(guò)程中，因此為提高算法對(duì)非高斯噪聲的魯棒性，增加一個(gè)約束條件，從而最小化條件約束公式為

采用拉格朗日算子法求解上述優(yōu)化問(wèn)題，有

對(duì)式(9)求關(guān)于wk(i)的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，同時(shí)考慮式(6)的Wilcoxon范數(shù)定義，得到

對(duì)式(8)的約束條件取等號(hào)，并將式(10)代入，得到

繼而可得

同時(shí)，考慮到Wilcoxon范數(shù)中評(píng)分函數(shù)的范替換為 φ(u)=sign(u ?0.5)，從而得到本文的迭代方程為

為進(jìn)一步提高算法的適應(yīng)性，本文采用步長(zhǎng)可變策略，具體的推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)3.2節(jié)。

3.2 變步長(zhǎng)的推導(dǎo)

所以

這里，

是關(guān)于 μk(i) 的函數(shù)。為使式(15)所示的從i時(shí)刻到i+1時(shí) 刻的均方差達(dá)到最小，? (μk(i))必須進(jìn)行最小化計(jì)算。將? (μk(i))重寫(xiě)為

將| |ηk(i)||1近 似為其期望：E [||ηk(i)||1]， 并考慮|ηk(i)|可看作為半正態(tài)分布[26]，得到

因此，

將式(19)的右邊定義為關(guān)于μk(i)的函數(shù)，并對(duì)其求關(guān)于μk(i)的導(dǎo)數(shù)，再令其為零，同時(shí)考慮到期望難以得到，首先設(shè)

式(20)中的 σηk可由文獻(xiàn)[26]的方法得到，然后采用滑動(dòng)平均方法獲得可變步長(zhǎng)：

γ(0 <γ<1) 是滑動(dòng)系數(shù)，變步長(zhǎng)的初值μk(0)=和分別是輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的功率。非高斯的沖激噪聲樣本是以小概率隨機(jī)出現(xiàn)的，且具有很大的幅度，也就是說(shuō)，強(qiáng)脈沖性的非高斯噪聲樣本不是經(jīng)常出現(xiàn)的，同時(shí)考慮到在初始階段μk(i)比較大，所以步長(zhǎng)選擇為 βk(i)，從而步長(zhǎng)會(huì)根據(jù)a[(i ?1)]ek(i ?1)的變化而更新，而在接近穩(wěn)定階段就保持步長(zhǎng)不變。當(dāng)非高斯噪聲出現(xiàn)時(shí)，步長(zhǎng)保持不變，以避免脈沖噪聲樣本對(duì)步長(zhǎng)參數(shù)的負(fù)面影響。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

為驗(yàn)證算法的有效性，這里將本文算法、

DLMS[5], DAPA[8], DSELMS[7], DMCC[13],DLMP[6]算法在系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題中所獲的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。待估計(jì)的系統(tǒng)為w0=rand(M,1)/norm[rand(M,1)] , r and(·)表示標(biāo)準(zhǔn)的均勻分布函數(shù)，M=20，系統(tǒng)所在的分布式網(wǎng)絡(luò)由20個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，融合參數(shù)由Metropolis準(zhǔn)則[1]獲取。本文分別對(duì)白信號(hào)和有色信號(hào)兩種輸入進(jìn)行了仿真：白信號(hào)是均值為零，方差為的高斯白噪聲；有色信號(hào)由上述白信號(hào)經(jīng)過(guò)1階AR系統(tǒng)得到。仿真中加性噪聲分別為：高斯噪聲和非高斯噪聲，高 斯 噪 聲 為 χk(i) ， 其 方 差 為σ,k; vk(i)是 與χk(i)獨(dú)立同分布的零均值高斯白噪聲，其方差為σ,k，二者相加組成非高斯噪聲 ηk(i)，如式(2)所示。仿真中取ζim=10000, pk=0.01。同時(shí)，定義信噪比為

NMSD的值越小意味著所估計(jì)的向量越逼近未知系統(tǒng)，所有結(jié)果均為50次獨(dú)立平均的結(jié)果。

4.1 輸入為白信號(hào)

(1) 背景噪聲為高斯噪聲

圖1所示為輸入為白高斯信號(hào)，背景噪聲為高斯噪聲時(shí)各算法的性能，DLMS, DSELMS, DMCC,DLMP, DAPA算法的步長(zhǎng)分別為0.0038, 0.0066,0.2, 0.0072, 0.021。由圖1可以看到，在這種條件下本文算法仍可以收斂，但是性能不如其他算法，原因是本文算法是針對(duì)有色輸入和非高斯噪聲而提出的。

(2)背景噪聲為非高斯噪聲

圖2所示為在非高斯噪聲下這7種算法的NMSD曲線。實(shí)驗(yàn)中設(shè)置DLMS, DSELMS, DMCC,DLMP, DAPA算法的步長(zhǎng)分別為0.0038, 0.0066,0.2, 0.0068, 0.008?？梢钥吹剑珼LMS和DAPA算法已經(jīng)失效，其它幾種算法可以在非高斯噪聲下較好工作，本文算法由于是針對(duì)相關(guān)輸入信號(hào)而提出的，因此性能不如DSELMS和DMCC， 但與DSELMS相差不多，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于DLMP。

圖1 輸入為白高斯信號(hào)，各算法在高斯噪聲下的NMSD曲線

圖2 輸入為白高斯信號(hào)，各算法在非高斯噪聲下的NMSD曲線

4.2 輸入為有色信號(hào)

(1) 背景噪聲為高斯噪聲

圖3所示為輸入信號(hào)為有色信號(hào)，背景噪聲為高斯噪聲下各算法的性能曲線。DLMS, DSELMS,DMCC, DLMP, DAPA算法的步長(zhǎng)分別為0.0023,0.0076, 0.56, 0.0072, 0.008?？梢钥吹剑M管背景噪聲是高斯噪聲，但DLMS算法由于并未考慮輸入信號(hào)的相關(guān)性而導(dǎo)致性能較差，而DSELMS,DLMP, DMCC算法均是針對(duì)非高斯噪聲而提出的，且沒(méi)有輸入信號(hào)的相關(guān)性，因此性能也不理想。DAPA算法采用了信號(hào)重用策略減少了信號(hào)相關(guān)性的影響，因此在高斯噪聲下獲得的性能最好。但是，同時(shí)也看到，本文算法優(yōu)于DSELMS,DLMP及DMCC算法，與DAPA算法幾乎相同，這說(shuō)明本文算法在高斯噪聲條件下也可很好地工作。

(2) 背景噪聲為非高斯噪聲

輸入信號(hào)為有色信號(hào)，背景噪聲為非高斯噪聲，并為進(jìn)一步說(shuō)明本文算法優(yōu)越性，考慮了系統(tǒng)突變的情況，即在 i=10000 時(shí)，待估計(jì)系統(tǒng)由w0突變?yōu)? w0，各算法的跟蹤性能如圖4所示。實(shí)驗(yàn)中設(shè)置DLMS, DSELMS, DMCC, DLMP, DAPA算法的步長(zhǎng)參數(shù)分別為0.0023, 0.0056, 0.75, 0.0071,0.008?？梢钥吹剑珼LMS算法和DAPA算法在非高斯噪聲下失調(diào)，不能跟蹤系統(tǒng)的變化，其他算法能夠正常收斂，而本文算法在信道改變之后仍保持收斂，且穩(wěn)態(tài)誤差最小即抑制非高斯噪聲的能力最強(qiáng)。

圖3 輸入為有色信號(hào)，各算法在高斯噪聲下的NMSD曲線

圖4 輸入為有色信號(hào)，各算法在非高斯噪聲下的跟蹤性能

5 結(jié)論

本文基于Wilcoxon范數(shù)改進(jìn)了DAPA算法的代價(jià)函數(shù)，并考慮固定步長(zhǎng)的局限，提出了具有較強(qiáng)魯棒性的擴(kuò)散式自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)新算法。仿真結(jié)果表明，本文的新算法不僅能有效抑制非高斯噪聲的干擾，而且在高斯噪聲下也能獲得良好性能。在非高斯噪聲下，與現(xiàn)有一些針對(duì)非高斯噪聲而提出的方法相比，本文算法具有更好的性能。需要指出的是，本文算法的復(fù)雜度與文中所對(duì)比的算法要略高一些。