劉亞靜，段超，李海東

(北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，北京 100044)

0 引 言

基于SOGI的自適應(yīng)濾波器，廣泛應(yīng)用于電網(wǎng)電量測量[1-3]、電機位置、速度檢測與估計[4-9]等場合。目前，使用鎖頻環(huán)(FLL)來實現(xiàn)頻率自適應(yīng)算法是一種較為普遍的方法[1-6,8-9]。

在電網(wǎng)同步領(lǐng)域，基于SOGI的自適應(yīng)濾波器主要用來提取電網(wǎng)電壓中的正負(fù)序分量[1-3]。其中文獻(xiàn)[1]采用MSOGI-FLL，在電網(wǎng)電壓三相不對稱或畸變的情況下，能夠快速準(zhǔn)確地提取電網(wǎng)電壓的正負(fù)序分量和其他特定次諧波分量。

在PMSM的無位置傳感控制領(lǐng)域，文獻(xiàn)[4-5]分別將基于SOGI的頻率自適應(yīng)濾波器應(yīng)用到基于電動勢的位置觀測器和模糊滑模觀測器來消除諧波誤差；文獻(xiàn)[6]提出了一種復(fù)合SOGI-FLL用于PMSM的轉(zhuǎn)子位置與轉(zhuǎn)速估計；文獻(xiàn)[7]將兩個SOGI的組合結(jié)構(gòu)用于轉(zhuǎn)子位置檢測。另外，文獻(xiàn)[8-9]將基于SOGI的頻率自適應(yīng)濾波器用于異步電機的轉(zhuǎn)子磁鏈觀測算法中。

上述文章均是基于s域提出了新算法或新結(jié)構(gòu)，然而工程實現(xiàn)時基本采用全數(shù)字實現(xiàn)方式，通常在z域中進(jìn)行，而從s域到z域的轉(zhuǎn)換過程中，所研究系統(tǒng)會產(chǎn)生性能的退化[10-18]，特別是對于信號-采樣頻率比比較大的應(yīng)用場合，性能退化的影響難以忽略，因此有必要分析數(shù)字化實現(xiàn)對系統(tǒng)性能的影響。文獻(xiàn)[10]詳細(xì)研究了SOGI的不同離散方法，提出了一種可以將SOGI應(yīng)用于不同場合的通用數(shù)字結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[11]討論了諧振控制器和濾波器在定點算法實現(xiàn)時的一些重要問題。文獻(xiàn)[12]針對基于雙積分器的諧振控制器數(shù)字實現(xiàn)時的性能退化問題，對數(shù)字實現(xiàn)算法進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[13]提出了一種結(jié)構(gòu)高魯棒性的定點數(shù)字諧振控制器。文獻(xiàn)[14]對比分析了不同離散方法對諧振控制器性能的影響，指出了離散會帶來頻率偏移的問題。文獻(xiàn)[15]采用不同方法對基于SOGI的自適應(yīng)濾波器進(jìn)行離散化，對比分析了性能差異，由于是針對電網(wǎng)的應(yīng)用場合，該文章只對低頻50Hz進(jìn)行了對比分析。

雖然上述文章針對不同離散方法對數(shù)字系統(tǒng)性能影響進(jìn)行了詳細(xì)研究，但數(shù)字系統(tǒng)中的計算延遲使得反饋回路中必然存在滯后一拍問題，在s域內(nèi)可由e-sT代替，目前絕大多數(shù)文獻(xiàn)為了簡便均選擇忽略此問題，而此問題往往是造成數(shù)字系統(tǒng)性能退化的主要原因[16-18]。文獻(xiàn)[16]提出一種基于FPGA/ASIC的全數(shù)字硬件化鎖相環(huán)的建模方法，考慮了數(shù)字鎖相環(huán)中存在的滯后一拍現(xiàn)象。文獻(xiàn)[17]研究分析了全數(shù)字硬件化鎖相環(huán)的性能退化規(guī)律，并指出了反饋中存在的滯后一拍現(xiàn)象是引起性能退化的主要原因。文獻(xiàn)[18]在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)算法，消除了數(shù)字實現(xiàn)時的滯后一拍問題，顯著提高了系統(tǒng)性能。

文獻(xiàn)[16-18]主要對全數(shù)字鎖相環(huán)中的滯后一拍進(jìn)行分析并提出補償措施，而基于SOGI的自適應(yīng)濾波器為雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中的滯后一拍對系統(tǒng)的影響分析仍未見報道，因此非常有必要分析滯后一拍對全數(shù)字自適應(yīng)濾波器的影響。

本文采用雙線性變換對基于SOGI的自適應(yīng)濾波器進(jìn)行離散并分析其數(shù)字系統(tǒng)的性能退化規(guī)律。首先對考慮了滯后一拍的數(shù)字自適應(yīng)濾波器的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，隨后詳細(xì)定量地分析了數(shù)字系統(tǒng)的性能退化規(guī)律，最后對理論分析進(jìn)行了仿真證明和實驗驗證。

在應(yīng)用于電網(wǎng)參數(shù)測量時，因為電壓、電流的頻率較低，此時的信號-采樣頻率比比較小，滯后一拍所造成的影響可以忽略不計，因此，絕大多數(shù)文獻(xiàn)為了分析簡便，通常在s域內(nèi)忽略滯后一拍e-sT的影響，得到基于SOGI的自適應(yīng)濾波器s域模型如圖1(a)所示，實質(zhì)為一個帶通濾波器。設(shè)定頻率參數(shù)ω*由外圍自適應(yīng)算法確定，決定了濾波器的中心頻率；放大倍數(shù)k決定了濾波器的帶寬，k值越小，帶寬越小，靈敏度越高，需要根據(jù)實際情況折中選取。

采用雙線性變換將圖1(a)所示s域模型進(jìn)行離散化，得到不考慮滯后一拍的傳統(tǒng)z域模型，如圖1(b)所示。圖1所給出的s域和z域模型都未考慮滯后的影響，因此本文定義其為理想模型。

圖1 自適應(yīng)濾波器理想模型Fig.1 Ideal model of adaptive filter

采用全數(shù)字方式實現(xiàn)圖1(b)的z域模型時，nT時刻的輸入v(n)只能與上一時刻(n-1)T的反饋值v′(n-1)相減，得到nT時刻的誤差值εv(k),此誤差乘以系數(shù)k后送入SOGI進(jìn)行運算，在SOGI中，kεv(n)同樣只能與上一時刻(n-1)T的反饋值相減，然后經(jīng)過一個積分器后得到nT時刻的更新值v′(n)，此值作為下一次計算的反饋值。這就造成z域?qū)嶋H模型如圖2所示，即反饋存在滯后一拍現(xiàn)象。當(dāng)濾波器在應(yīng)用于電機位置、速度檢測與估計等場合時，信號-采樣頻率比比較大，此時滯后一拍造成系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能退化，其影響不能忽略。本文定義考慮滯后一拍的系統(tǒng)為實際模型。

圖2 考慮滯后一拍的z域自適應(yīng)濾波器實際模型Fig.2 Practical model of z-domain adaptive filter with one-step delay

數(shù)字自適應(yīng)濾波器的性能退化主要表現(xiàn)為穩(wěn)定性下降、頻率偏移、幅值增益變化和非正交性。頻率偏移指系統(tǒng)的實際選通信號頻率偏離設(shè)定頻率參數(shù)ω*，幅值增益指系統(tǒng)輸出信號與輸入信號的幅值之比。造成系統(tǒng)性能退化的主要原因便是系統(tǒng)數(shù)字化實現(xiàn)時存在的滯后一拍現(xiàn)象。

2.1 穩(wěn)定性問題

圖1(a)所示理想模型的s域傳遞函數(shù)為

(1)

式中：ω*為設(shè)定頻率參數(shù)；k為放大倍數(shù)。

圖1(b)所示理想模型的z域傳遞函數(shù)為

(2)

式中:a0=T2ω*2+2kTω*+4；a1=2T2ω*2-8；a2=T2ω*2-2kTω*+4；b0=b1=2kTω*；T為離散周期。

根據(jù)z域穩(wěn)定性判據(jù)，式(2)穩(wěn)定條件為：

(3)

易知，當(dāng)不考慮滯后一拍時，放大倍數(shù)k與設(shè)定頻率參數(shù)ω*均不受限制，系統(tǒng)恒穩(wěn)定。

考慮滯后一拍的實際模型如圖2所示，z域閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(4)

式中:a3=T2ω*2+2kTω*-8；a4=2T2ω*2+4；a5=T2ω*2-2kTω*；b2=b3=2kTω*。

根據(jù)z域穩(wěn)定性判據(jù)，式(4)的穩(wěn)定條件為

(5)

取離散周期T=10-4s，式(5)所示實際模型的穩(wěn)定區(qū)間如圖3所示。

圖3 數(shù)字自適應(yīng)濾波器的穩(wěn)定區(qū)間Fig.3 Stability area of digital adaptive filter

圖3中，陰影區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域，從圖中可知，由于滯后一拍的引入，放大倍數(shù)k和設(shè)定頻率參數(shù)ω*的取值范圍均受到限制，系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。

2.2 頻率偏移

該小節(jié)對數(shù)字自適應(yīng)濾波器的頻率偏移規(guī)律進(jìn)行理論分析?；诨冾A(yù)修正雙線性變換的等效公式為

(6)

將式(6)代入式(4)，可得其在s域的傳遞函數(shù)

(7)

式中：c0=4α3；c1=2(2-kTω*)ωα2；c2=(2k-Tω*)Tω*ω2α；c3=T2ω*2ω2；d0=2kTω*ωα2；d1=2kTω*ω2α。

知s=jω，當(dāng)考慮了滯后一拍，系統(tǒng)對應(yīng)于ω*的實際選通信號頻率為ω0。當(dāng)ω=ω0時，為H1(s)相頻特性曲線過0點，可得等式：

∠[d0(jω0)2+d1jω0]=∠[c0(jω0)3+

c1(jω0)2+c2jω0+c3]。

(8)

由式(8)整理可得ω0與ω*的關(guān)系等式為

(9)

式中α=tan(Tω0/2)。

可得實際數(shù)字系統(tǒng)的頻率偏移量e為

e=ω0-ω*。

(10)

圖4給出了離散周期T=10-4s，放大倍數(shù)k=0.6、0.8、1.0、1.2時的頻率偏移量曲線。從圖中可知：頻率偏移量e隨著ω*和k的增加呈現(xiàn)上升的趨勢；k一定時，ω*取值范圍受到臨界穩(wěn)定曲線的限制，當(dāng)超過臨界穩(wěn)定曲線時，系統(tǒng)發(fā)散。取k=1，ω*=3 000 rad/s時，e的值為425 rad/s，相當(dāng)于ω*的14.2%，已嚴(yán)重影響系統(tǒng)的選頻性能。

圖4 頻率偏移量e的理論數(shù)據(jù)Fig.4 Theoretical results of frequency offset e

2.3 幅值增益

該小節(jié)在2.2小節(jié)的基礎(chǔ)上，分析系統(tǒng)的幅值增益現(xiàn)象。知s=jω，系統(tǒng)對應(yīng)于ω*的實際選通信號頻率為ω0。當(dāng)ω=ω0時，為H1(s)相頻特性曲線過0點，將s=jω代入式(7)變換得

(11)

式中：a0=-2kTω*α2；a1=2kTω*α；b0=-2(2-kTω*)α2+T2ω*2；b1=Tω*(2k-Tω*)α-4α3；α=tan(Tω0/2)。

式(11)所對應(yīng)的幅值增益為

(12)

圖5給出了離散周期T=10-4s，放大倍數(shù)k=0.6、0.8、1.0、1.2時的幅值增益曲線。幅值增益隨著ω*的增加呈現(xiàn)指數(shù)型上升的趨勢；ω*取值范圍受到臨界穩(wěn)定曲線的限制，當(dāng)超過臨界穩(wěn)定曲線時，系統(tǒng)發(fā)散。取k=1，ω*=3 000 rad/s時，幅值增益為3.733 dB，即輸出信號是輸入信號的1.537倍。

圖5 幅值增益的理論數(shù)據(jù)Fig.5 Theoretical results of amplitude gain

2.4 正交特性分析

由圖1(a)可知，輸出信號v′經(jīng)過一個積分器再乘以ω*便得到輸出信號qv′，因此兩個輸出信號之間的傳遞函數(shù)為

(13)

理想情況下，當(dāng)信號頻率ω=ω*時，Gqd(s)=-j，兩個輸出信號之間正交[15]。

實際數(shù)字系統(tǒng)中兩輸出信號之間的z域傳遞函數(shù)為

(14)

將式(6)代入式(14)得s域等效傳遞函數(shù)

(15)

式中α=tan(Tω/2)。

本節(jié)通過仿真驗證上一節(jié)理論分析的正確性。

仿真參數(shù)設(shè)定如下：離散周期T=10-4s；放大倍數(shù)k選取為0.6、0.8、1、1.2；設(shè)定頻率參數(shù)ω*的取值范圍為整個穩(wěn)定區(qū)間，間隔500 rad/s。

仿真過程中考慮滯后一拍，對采用雙線性變換離散方法的全數(shù)字自適應(yīng)濾波器模型進(jìn)行仿真，根據(jù)系統(tǒng)的伯德圖數(shù)據(jù)可以得到實際數(shù)字系統(tǒng)中對應(yīng)著不同ω*的頻率偏移量e以及相頻特性曲線過0點處對應(yīng)的幅值增益。

圖6給出了系統(tǒng)的頻率偏移量e的仿真數(shù)據(jù)。從圖中可以看出，在穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，頻率偏移量e隨著設(shè)定頻率參數(shù)ω*和放大倍數(shù)k的增加呈現(xiàn)上升的趨勢。例如，當(dāng)放大倍數(shù)k=1，設(shè)定頻率參數(shù)ω*=3 000 rad/s時，e的仿真值為425 rad/s，相當(dāng)于ω*的14.167%，此時e的理論計算值為424.7 rad/s，相當(dāng)于ω*的14.157%，仿真值與理論值相差0.01%；k=1，ω*=6 000 rad/s時，e的仿真值為1 215 rad/s，相當(dāng)于ω*的20.25%，此時e的理論計算值為1 215.1 rad/s，相當(dāng)于ω*的20.251%，仿真值與理論值相差0.001%。可見，e的仿真數(shù)據(jù)與理論計算值基本一致。驗證了數(shù)字系統(tǒng)頻率偏移規(guī)律理論分析的正確性。

圖6 頻率偏移量e的仿真數(shù)據(jù)Fig.6 Simulation results of frequency offset e

圖7給出了系統(tǒng)相頻特性曲線過零點對應(yīng)的幅值增益的仿真數(shù)據(jù)。從圖中可以看出，在穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，幅值增益隨著設(shè)定頻率參數(shù)ω*的增加呈現(xiàn)指數(shù)型上升的趨勢。例如，當(dāng)放大倍數(shù)k=1，設(shè)定頻率參數(shù)ω*=3 000 rad/s時，幅值增益仿真值為3.733 dB，即輸出信號幅值是輸入信號幅值的1.537倍，此時幅值增益的理論計算值同樣為3.733 dB，與理論分析一致；當(dāng)k=1，ω*=6 000 rad/s時，幅值增益仿真值為12.935 dB，即輸出信號幅值是輸入信號幅值的4.433倍，此時幅值增益的理論計算值同樣為12.935 dB，與理論分析一致。驗證了數(shù)字系統(tǒng)幅值增益規(guī)律理論分析的正確性。

圖7 幅值增益的仿真數(shù)據(jù)Fig.7 Simulation results of amplitude gain

圖8給出了不同設(shè)定參數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)中，兩個輸出信號之間的相頻特性曲線仿真圖，從圖中可知，兩個輸出信號之間相位恒差90°，與理論分析一致。驗證了兩個輸出信號之間正交特性理論分析的正確性。

圖8 Gqd(z)的相頻特性曲線仿真圖Fig.8 Simulation results of phase frequency curve of Gqd(z)

實驗平臺如圖9所示，采用TI公司的28335DSP芯片實現(xiàn)本文數(shù)字自適應(yīng)濾波器的功能，定時器設(shè)定100 μs作為中斷周期，確保采樣周期為10-4s，自適應(yīng)濾波器的參數(shù)設(shè)定與仿真一致。采用Newtons4th公司的PSM1700頻率響應(yīng)分析儀(掃頻儀)產(chǎn)生幅值為0.2 V的等差頻率正弦信號，通過AD采樣將正弦信號作為數(shù)字自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)的輸入信號，掃頻儀對數(shù)字系統(tǒng)的輸入、輸出信號進(jìn)行采樣分析獲得數(shù)字系統(tǒng)的幅相頻特性曲線的數(shù)據(jù)，最后對掃頻儀得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析。實驗工作流程圖如圖10所示。

圖9 實驗平臺Fig.9 Experimental platform

圖10 實驗工作流程圖Fig.10 Experimental work flow chart

圖11給出了數(shù)字系統(tǒng)的頻率偏移量e的實驗數(shù)據(jù)，從圖可知，在穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，e隨著設(shè)定頻率參數(shù)ω*和放大倍數(shù)k的增加呈現(xiàn)上升的趨勢；放大倍數(shù)k=1，設(shè)定頻率參數(shù)ω*=3 000 rad/s時，e的實驗值為416.733 rad/s，相當(dāng)于ω*的13.9%，此時的e的理論計算值為424.7 rad/s，相當(dāng)于ω*的14.157%,實驗值與理論值相差0.257%；k=1，ω*=6 000 rad/s時，e的實驗值為1 186.33 rad/s，相當(dāng)于ω*的19.772%，此時e的理論計算值為12 515.1 rad/s,相當(dāng)于ω*的20.251%, 實驗值與理論值相差0.479%?？梢姡琫的實驗數(shù)據(jù)與理論計算值基本一致。隨著ω*的增加，系統(tǒng)接近臨界穩(wěn)定，實驗中測量頻率偏移量e的誤差有所增大，但仍小于1%?？沈炞C頻率偏移規(guī)律理論分析的正確性。

圖11 頻率偏移量e的實驗數(shù)據(jù)Fig.11 Experimental results of frequency offset e

圖12給出了系統(tǒng)的相頻特性曲線過零點對應(yīng)的幅值增益的實驗數(shù)據(jù)，從圖可知，在穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，幅值增益隨著設(shè)定頻率參數(shù)ω*的增加呈現(xiàn)指數(shù)型上升的趨勢。放大倍數(shù)k=1，設(shè)定頻率參數(shù)ω*=3 000 rad/s時，幅值增益實驗值為3.828 dB，即輸出信號幅值是輸入信號幅值的1.554倍，此時幅值增益的理論計算值為3.733 dB，輸出信號幅值是輸入信號幅值的1.537倍，實驗值與理論值相差0.095 dB；當(dāng)k=1，ω*=6 000 rad/s時，幅值增益實驗值為12.99 dB，即輸出信號幅值是輸入信號幅值的4.462倍,此時幅值增益的理論計算值為12.935 dB，輸出信號幅值是輸入信號幅值的4.434倍，實驗值與理論值相差0.055 dB。與理論分析基本一致?？沈炞C數(shù)字系統(tǒng)幅值增益規(guī)律理論分析的正確性。

圖12 幅值增益的實驗數(shù)據(jù)Fig.12 Experimental results of amplitude gain

采用雙線性變換方法離散的數(shù)字自適應(yīng)濾波器的設(shè)定頻率ω*設(shè)為6 000 rad/s，放大倍數(shù)k=1。根據(jù)本文理論分析可得：實際選通信號頻率ω0=7 215 rad/s，此時數(shù)字系統(tǒng)對應(yīng)的幅值增益為12.93 dB，兩個輸出信號之間正交。

掃頻儀對上述數(shù)字自適應(yīng)濾波器掃頻得到系統(tǒng)的幅相頻特性曲線如圖13所示。為了便于對比分析，圖13中加入了理想自適應(yīng)濾波器的幅相頻特性曲線。理想濾波器的相頻特性曲線過0點處對應(yīng)的實際選通信號頻率為6 000 rad/s，對應(yīng)的幅值增益為0 dB；實際數(shù)字系統(tǒng)相頻特性曲線過0點處對應(yīng)的實際選通信號頻率ω0約為7 188 rad/s，對應(yīng)的幅值增益約為13 dB。

圖13 濾波器頻率響應(yīng)實驗結(jié)果Fig.13 Experimental results of frequency response of filter

向上述數(shù)字濾波器分別輸入頻率為6 000 rad/s以及7 215 rad/s的正弦信號，示波器采樣所得到的時域圖形如圖14所示。當(dāng)輸入信號頻率為6 000 rad/s時，輸出信號較輸入信號相位超前49.59°，幅值增益為7.3 dB；當(dāng)輸入信號頻率為7 215 rad/s時，輸出信號較輸入信號相位滯后0.15°，幅值增益為12.9 dB。數(shù)字濾波器對頻率為7 215 rad/s的正弦信號有更好的選通效果。

圖14 濾波器時域輸入輸出波形Fig.14 Filter input/output waveform in time domain

掃頻儀對上述數(shù)字自適應(yīng)濾波器的兩個輸出端口進(jìn)行采樣分析可獲得Gqd(z)的相頻特性曲線，如圖15所示。由圖15可知，兩個輸出端口之間相位相差90°?？沈炞C兩個輸出信號之間正交特性理論分析的正確性。

圖15 Gqd(z)的相頻特性曲線實驗圖Fig.15 Experimental results of phase frequency curve of Gqd(z)

本文對采用雙線性變換離散的全數(shù)字自適應(yīng)濾波器的性能退化規(guī)律進(jìn)行了定量地理論分析，分別給出了實際數(shù)字系統(tǒng)的頻率偏移和幅值增益曲線圖以及正交性的理論分析結(jié)果。通過仿真與實驗驗證了理論分析的正確性。主要結(jié)論如下：

1)滯后一拍會造成數(shù)字自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低，系統(tǒng)的放大倍數(shù)k與設(shè)定頻率參數(shù)ω*的選取范圍均受到限制，可依據(jù)本文對數(shù)字系統(tǒng)穩(wěn)定域的理論分析結(jié)果調(diào)節(jié)參數(shù)。

2)在數(shù)字自適應(yīng)濾波器的穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，由于滯后一拍的存在，頻率偏移量和幅值增益均隨著設(shè)定頻率參數(shù)ω*的增加呈現(xiàn)上升的趨勢；數(shù)字系統(tǒng)的正交性沒有受到雙線性變換的影響。

3)T一定時，設(shè)定頻率參數(shù)ω*的增大，相當(dāng)于信號-采樣頻率比增大。在信號-采樣頻率比高的應(yīng)用場合，數(shù)字自適應(yīng)濾波器頻率偏移明顯，可以依據(jù)本文的分析結(jié)果，在自適應(yīng)算法中對設(shè)定頻率參數(shù)ω*進(jìn)行修正，數(shù)字濾波器有更好的選頻效果。