李艷午,鄧瑞娟

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,安徽 蕪湖 241003)

1 引言

一個(gè)可交換的含幺環(huán)R稱為半局部環(huán)，如果R只有有限個(gè)極大理想[1].半局部環(huán)是局部環(huán)的自然推廣，是一類概括更廣的環(huán)，例如：除環(huán)、域、有限環(huán)、Frobenius環(huán)、QF環(huán)、阿丁環(huán)、完全環(huán)、半完全環(huán)都是半局部環(huán).由于局部環(huán)在環(huán)論本身以及代數(shù)幾何中的重要作用，所以半局部環(huán)從某種程度上加強(qiáng)了局部化技巧在這方面的作用.Rosenberg.J和佟文廷分別在文獻(xiàn)[2]和[3]中研究了半局部環(huán)的同調(diào)性質(zhì).陳煥艮和馮良貴分別在文獻(xiàn)[4]和[5]中從不同角度對(duì)半局部環(huán)進(jìn)行了刻畫.文獻(xiàn)[6]研究了半局部有限剩余域環(huán)上二次型的 Artin-Springer 定理，給出了半局部環(huán)的一個(gè)深刻的結(jié)果；而文獻(xiàn)[7]則對(duì)半局部環(huán)進(jìn)行了推廣，拓展了半局部環(huán)的研究空間.

本文討論在可換環(huán)上的可逆模的投射蓋是阿丁的、J(R)是詣零根、每個(gè)正則模是有限長(zhǎng)度的情形下，環(huán)的半局部性、各情形下相應(yīng)環(huán)的同調(diào)性質(zhì)及連通環(huán)在半局部條件下的刻畫.

不加說(shuō)明的話，文中的環(huán)都是可交換的含幺環(huán)，其他相關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)的含義參看文獻(xiàn)[1]、[2]和[3].

2 半局部環(huán)的同調(diào)性質(zhì)

設(shè)M和P都是R-模，其中P是投射模，如果存在一個(gè)多余的滿同態(tài)θ：P→M，即kerθ是P的多余子模，那么稱(P，θ)為M的投射蓋[2]，有時(shí)候也簡(jiǎn)記為P.這一概念最早是由Bass在文獻(xiàn)[8]中提出，R-模范疇上的投射蓋與內(nèi)射包理論對(duì)于刻畫模的性質(zhì)具有重要作用.首先就從可換環(huán)上模的投射蓋性質(zhì)來(lái)構(gòu)造環(huán)的半局部性，進(jìn)而研究這種環(huán)的冪級(jí)數(shù)環(huán)、主理想整環(huán)的性質(zhì)和它的同調(diào)性質(zhì).交換環(huán)R稱為UCP環(huán)，如果a1R+a2R+…+anR=R，則存在可逆矩陣U其第一行為(a1，a2，…，an).

定理1 設(shè)R是一個(gè)可交換環(huán)，如果存在一個(gè)可逆的R-模M它的投射蓋是阿丁模，那么有以下結(jié)論：

(1)R[[x1，x2，…，xn]]是UCP環(huán)；

(2)R的主理想整環(huán)是歐式環(huán)；

(3)存在n∈N，使得K0R≌Z(yǔ)n；

(4)若G是有限群，則存在n∈N，使得K0RG≌Z(yǔ)n.

證明首先，根據(jù)文獻(xiàn)[4]的定理3可知，如果存在一個(gè)可逆的R-模M它的投射蓋是阿丁模，那么R就是半局部環(huán).接下來(lái)，逐條證明結(jié)論(1)-(4).

(1)由于半局部環(huán)模去J(R)的商環(huán)同構(gòu)于若干個(gè)域的直和，所以存在域F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，

使得R/J(R)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn.由于域都是主理想整環(huán)，所以Fi都是UCP環(huán)，而有限個(gè)UCP環(huán)的直和還是UCP環(huán)，并且R/R(J)也是UCP環(huán)，從而R是UCP環(huán).作環(huán)同態(tài)：

φ：R[[x1，x2，…，xn]]→R，φ(x1，x2，…，xn)φ(0，0，…，0)；

ψ：R→R[[x1，x2，…，xn]]，rr

.

不難驗(yàn)證φψ=1R，最后根據(jù)[9]的定理1.3.8，可知R[[x1，x2，…，xn]]是UCP環(huán).

(2)設(shè)P是環(huán)R的主理想整環(huán)，則存在域F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，使P/J(P)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn.

由于域是穩(wěn)定環(huán)，所以P/J(P)是穩(wěn)定環(huán)，從而P是穩(wěn)定環(huán).由文獻(xiàn)[9]的命題1.3.16可知，穩(wěn)定的主理想整環(huán)都是歐氏環(huán),由此可得P是歐式環(huán).

(3)由于R是半局部環(huán)，所以存在域F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，使得R/J(R)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn.

根據(jù)域上K0群的性質(zhì)，可知K0(R/J(R))≌Z(yǔ)r.作自然投射φ：R→J(R)，則有群的單同態(tài)

K0φ：K0R→K0(R/J(R))≌Z(yǔ)r.

由于有限生成自由阿貝爾群的子群還是有限生成自由阿貝爾群，所以存在n∈N，使得K0R≌Z(yǔ)n.

(4)根據(jù)文獻(xiàn)[3]的推論3.4，可得結(jié)論成立.

由于半局部環(huán)包括了除環(huán)、域、有限環(huán)、Frobenius環(huán)、QF環(huán)、阿丁環(huán)、完全環(huán)、半完全環(huán)，所以根據(jù)上面定理有下面的推論.

推論2 如果R是除環(huán)、域、有限環(huán)、Frobenius環(huán)、QF環(huán)、阿丁環(huán)、完全環(huán)、半完全環(huán)中的任何一類環(huán)，那么R都有定理1中的四個(gè)結(jié)論.

環(huán)R的理想I稱為詣零的，如果對(duì)任意的x∈I，存在n∈N，使得xn=0.群G稱為無(wú)撓群，如果G的非平凡元素的階都是無(wú)限的.下面的定理將探討在可換環(huán)R的根J(R)是詣零的條件下，R的多項(xiàng)式環(huán)的K0群的無(wú)撓性.

定理3 設(shè)R是一個(gè)可交換環(huán)并且J(R)是詣零的，如果存在一個(gè)可逆的R-模M，它的投射蓋是阿丁模，那么K0R[x1，x2，…，xn]是無(wú)撓群.

證明由定理1可知R是半局部環(huán).所以，存在域F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，使得R/J(R)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn.于是

(R/J(R))[x1，x2，…，xn]≌F1[x1，x2，…，xn]⊕F2[x1，x2，…，xn]⊕…⊕Fn[x1，x2，…，xn].

所以

K0(R/J(R))[x1，x2，…，xn]≌K0F1[x1，x2，…，xn]⊕K0F2[x1，x2，…，xn]⊕…⊕K0Fn[x1，x2，…，xn].

而域都是主理想整環(huán)，所以有K0(R/J(R))[x1，x2，…，xn]≌Z(yǔ)n.令：

φ：R[x1，x2，…，xn]→(R/R(J))[x1，x2，…，xn]，

則kerφ=J(R)[x1，x2，…，xn].因?yàn)镴(R)是詣零的，所以kerφ也是詣零的，從而有kerφ?J(R[x1，x2，…，xn]).于是有群的單同態(tài)：K0φ：K0R[x1，x2，…，xn]→K0[R/J(R)][x1，x2，…，xn]，

從而K0φ：K0R[x1，x2，…，xn]同構(gòu)于有限生成自由Z-模Zn的子模.由于Z是主理想整環(huán)，所以存在m∈Z使得K0R[x1，x2，…，xn]≌Z(yǔ)m，于是K0R[x1，x2，…，xn]是無(wú)撓群.

類似地，可以證明下面的推論：

推論4 設(shè)R是一個(gè)可交換環(huán)并且J(R)是詣零的，如果存在一個(gè)可逆的R-模M，它的頂是阿丁模，那么K0R[x1，x1-1，x2，x2-1，…，xn，xn-1]是無(wú)撓群.

可交換環(huán)R稱為ID環(huán)，如果對(duì)于任意的A2=A(∈Mn(R))，存在U∈GLn(R)，使得UAU-1是對(duì)角矩陣.下面將從半局部環(huán)與ID環(huán)、UCP環(huán)的關(guān)系探討環(huán)R上的有限生成自由模的刻畫.

定理5 設(shè)R是除環(huán)、域、有限環(huán)、Frobenius環(huán)、QF環(huán)、阿丁環(huán)、完全環(huán)、半完全環(huán)中的任何一類環(huán)，P是一個(gè)左R-模，則下列條件等價(jià)：

(1)P是有限生成自由R-模；

證明根據(jù)推論2，R是半局部環(huán).由文獻(xiàn)[9]的命題4.1.30知R是ID環(huán)，從而R是UCP環(huán).

(1)?(2) 是顯然的.

(2)?(3) 根據(jù)Bass-Gualnick引理[8]易證.

如果R是有限個(gè)局部環(huán)的直和，那么稱R為局部可分解環(huán)，下面定理研究局部可分解環(huán)與有限生成阿貝爾群的群環(huán)的無(wú)撓性.

定理6 設(shè)R是局部可分解環(huán)，如果J(R)為詣零的并且charR≠0，G為有限生成阿貝爾群，那么K0RG為無(wú)撓群.

證明假設(shè)R是局部可分解環(huán)，不妨設(shè)R=R1⊕R2，Ri(i=1，2)為局部環(huán)，M是R的極大理想.首先：令π1：R→R1；π2：R→R2為投射，則對(duì)任意的r∈R1，m∈M，都有rπ1(m)=π1(rm)∈π1(M)，于是π1(M)是R1的理想，同理π2(M)是R2的理想.其次：由于M是R的極大理想，所以M是R的素理想.令1=e1+e2，則e1e2=0∈M，于是e1∈M或者e2∈M.由e1∈M可得R1∈M，R1=π1(M)；由e2∈M可得R2∈M，R2=π2(M).由于對(duì)于任意的m∈M，m=m1⊕m2，m1∈R1，m2∈R2，于是m1=e1m1=e1m∈M；同理，m2∈M.進(jìn)而M=π1(M)⊕π2(M).而π1(M)=R1和π2(M)=R2中至少有一個(gè)成立，所以有M=π1(M)⊕R2或M=R1⊕π2(M).最后由M的極大性，可知當(dāng)M=π1(M)⊕R2時(shí)，π1(M)∈maxR1，當(dāng)M=R1⊕π2(M)時(shí)，π2(M)∈maxR2.綜上，可知R是半局部環(huán).

由R是半局部環(huán)可知，存在域F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，使得R/J(R)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn，從而(R/J(R))G≌F1G⊕F2G⊕…⊕FnG.又因?yàn)閏harR≠0，所以charFi≠0，i=1，2，…，n.

于是K0(R/J(R))G≌K0F1G⊕K0F2G⊕…⊕K0FnG為無(wú)撓群.令

由J(R)為詣零的可得kerφ?J(R)G?N(R)G?J(RG)，進(jìn)一步地，有K0φ：K0RG→K0(R/J(R))G是群的單同態(tài)，所以K0RG為無(wú)撓群.

滿足主理想升鏈條件的環(huán)記作ACC環(huán)，如Noether環(huán)就是左AAC環(huán)，交換環(huán)R稱為連通環(huán)，如果由e=e2∈R可以推出e=0或e=1.AAC環(huán)是一類在環(huán)類刻畫中應(yīng)用很廣的環(huán).下面的定理就是利用正則模的有限長(zhǎng)度導(dǎo)出鏈條件，進(jìn)而給出連通環(huán)的一個(gè)刻畫.

定理7 設(shè)R為可換環(huán)，如果R的正則模有有限長(zhǎng)度，那么R為連通環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的有限生成投射模均為穩(wěn)定自由模.

證明如果R的正則模有有限長(zhǎng)度，那么根據(jù)文獻(xiàn)[10]第327頁(yè)的定理3可知R是ACC環(huán)，并且KdR=0，從而R的所有素理想既是極大素理想又是極小素理想.又因?yàn)镽滿足ACC條件，所以R只能有有限個(gè)極小素理想，所以R是半局部環(huán).

一方面，若R為連通環(huán)，則K0(K0R)≌Z(yǔ)，由R是半局部環(huán)可知K0R≌Z(yǔ)n，從而K0(K0R)≌K0Zn≌Z(yǔ)n.于是Zn≌Z(yǔ).再由Z是IBN環(huán)可知n=1，故K0R≌Z(yǔ).所以R的有限生成投射模均為穩(wěn)定自由模.

另一方面，R的有限生成投射模均為穩(wěn)定自由模，則由連通環(huán)的定義可證.

如果對(duì)于任意的R-模A，B，C，由A⊕B≌A⊕C都可以推出B≌C，那么稱環(huán)R上的模滿足消去性質(zhì).下面的定理研究的是由環(huán)R的(半)單模的直積的半單性推出環(huán)R上模的消去性質(zhì).

定理8 設(shè)R是一個(gè)可交換的含幺環(huán)，如果R滿足下列條件之一：

(1)每個(gè)單左R-模的直積是半單的；

(2)每個(gè)半單左R-模的直積是半單的；

(3)對(duì)任意左R-模M，soc(M)={m∈M|(radM)m=0}.

那么有下列結(jié)論成立：

(a)A是有限生成的投射右R-模，對(duì)任意的右R-模B，C，由A⊕B≌A⊕C可以推出B≌C；

(b)m，n∈N，由Rn≌Rm可以推出m=n；

(c)任意有限生成(或穩(wěn)定自由)R-模都是自由的；

(d)對(duì)任意的n≥1，Mn(R)是Dedekind有限的.

證明首先，根據(jù)文獻(xiàn)[2]的EX20.1可知如果R滿足條件(1)-(3)中的任何一條，那么R就是半局部環(huán).下面逐條證明結(jié)論(a)-(d).

(a)對(duì)于n∈N，取一個(gè)右R-模A′滿足A⊕A′=Rn.那么由A⊕B≌A⊕C推出Rn⊕B≌Rn⊕C.再根據(jù)文獻(xiàn)[2]的定理20.11可證B≌C.

(b)假設(shè)存在m，n∈N，n>m，Rn≌Rm，則Rn-m=0，所以m=n除非R=0.

(c)假設(shè)P⊕Rm≌Rn.如果n

(d)令α，β∈Mn(R)滿足αβ=I(單位矩陣).則α定義了一個(gè)右R-模的滿射：Rn→Rn，并且通過(guò)β：Rn→Rn可分裂.于是，有一個(gè)同構(gòu)Rn≌Rn⊕ker(α).消去Rn則有ker(α)=0，所以α：Rn→Rn是一個(gè)同構(gòu)，也即α是Mn(R)中的一個(gè)單位元，因此有βα=I.

推論9 設(shè)R是一個(gè)可換環(huán)，如果R滿足下列條件之一：

(1)存在一個(gè)可逆的R-模M，它的頂是阿丁模；

(2)R的正則模有有限長(zhǎng)度；

(3)R/J(R)是左阿丁環(huán)；

(4)R有有限個(gè)極大左理想；

(5)每個(gè)單左R-模的直積是半單的；

(6)每個(gè)半單左R-模的直積是半單的；

(7)對(duì)任意左R-模M，soc(M)={m∈M：(radM)m=0}.

那么，有以下結(jié)論：

(a)R/R(J)為k個(gè)域的直積，其中k為R的極大理想的個(gè)數(shù)；

(b)R=R1⊕R2⊕…⊕Rn，其中Rj為聯(lián)通的半局部環(huán)，j=1，2，…，n，n≤k；

(c)K0R≌Z(yǔ)k?Rj均為局部環(huán)?Rj為半完全環(huán)，j=1，2，…，n.

證明根據(jù)前面的結(jié)論可知R滿足(1)-(7)中之一，R就是半局部環(huán).再根據(jù)文獻(xiàn)[3]的定理4.2即證.

環(huán)的同調(diào)維數(shù)往往能夠更加深刻地刻畫其同調(diào)性質(zhì)，文獻(xiàn)[11]通過(guò)對(duì)半局部環(huán)上的正交維數(shù)討論得到了關(guān)于半局部環(huán)的同調(diào)性質(zhì)；文獻(xiàn)[12]通過(guò)對(duì)半完備、半正則、半局部關(guān)系的研究，刻畫了環(huán)的δ-完備性，啟發(fā)了半局部環(huán)進(jìn)一步研究的思路.