（蘇州華旃航天電器有限公司，江蘇蘇州 215000）

質量管理幾乎貫穿于人類的所有活動，當人們對事物的認識從數(shù)量的多少上升到質量的優(yōu)劣，學會判斷和選擇“質量更好”的事物時，人類就開啟了追求質量甚至創(chuàng)造質量的漫漫長路，可以說人類發(fā)展史在某種意義上講也是一部質量管理的發(fā)展史。在實際生產生活中，為了達到更好的質量，人們做了大量的研究和探索，總的來說，在國際上大體的發(fā)展脈絡可以分為4 個階段：20 世紀30 年代之前，質量保證以自發(fā)檢驗或專職檢驗為主；20 世紀30 年代到60 年代開始全面引入“統(tǒng)計質量控制”；20 世紀60 年代到20 世紀末，TQM（全面質量管理）和質量管理體系交映生輝，發(fā)展出了直到現(xiàn)在依舊耳熟能詳?shù)囊幌盗匈|量管理手段和方法，例如：ISO 質量體系認證，TS16949（現(xiàn)稱為IATF16949），VDA 等汽車產品獨有的質量管理體系認證，Six-Sigma（六西格瑪）管理，Lean-Six-Sigma（精益六西格瑪）管理，QCC 活動等等；在進入21 世紀后，質量管理又從全面質量管理上升到質量哲學時代。隨著人們對質量的要求越來越高，質量管控的節(jié)點也越來越前移，當發(fā)現(xiàn)質量問題時，往往都會對庫存產品做風險評估，但是在面對庫存品或在制品做質量風險評估這樣經典且常見的問題時，卻一直沒有行之有效的快速算法。

在我國，早在春秋時期就已經有了“物勒工名”的管理制度，從現(xiàn)代質量管理的角度看，“物勒工名”就是追溯制度，以便于管理者檢驗產品質量，甚至能更進一步追究不良產生時的人員責任。在現(xiàn)代，隨著國家的改革開放，經濟活動急劇活躍、快速發(fā)展，我國的質量管理在吸收大量的國外管理經驗的同時，也在結合自身的特點不斷的迭代。由于發(fā)展速度快，管理水平參差不齊，總的來說現(xiàn)在處于一種“混合”狀態(tài)：大量的企業(yè)在申報ISO9000 系列質量管理體系，也有很多企業(yè)在推行全面質量管理，更有優(yōu)秀的企業(yè)在推行自身的質量管理標準；但從另一個角度看，也存在部分企業(yè)，在基本的產品質量檢驗和質量把關上沒有清晰的定位，在遇到問題時，沒有明確的庫存產品質量風險評估方法。從這個角度講，企業(yè)的質量管理就是夾生飯，是一種“混合”的管理。在“混合”管理模式下，出現(xiàn)質量問題時，對庫存產品的風險評估更多是靠管理員的經驗或者客戶的直接要求，全檢還是抽樣檢驗，抽樣多少是管理員說了算還是客戶說了算。

為解決這個問題，我們需要把問題回歸到原點—當發(fā)現(xiàn)問題時，如何快速的對現(xiàn)有庫存或在制品做風險評估。沒有交付的質量沒有意義,沒有質量的交付同樣沒有意義。只有對庫存和在制品快速評估，快速處置，才能爭取到寶貴的時間對根因做進一步分析，并加以改善。

1 現(xiàn)行抽樣檢驗方法的歷史及其局限性

為了確認產品或服務的各個特性是否合格，測量、檢查、測試、量測產品或服務的一種或多種特性，并且與規(guī)定要求進行比較的活動稱為檢驗[1]。只有對產品或服務進行檢驗，才能發(fā)現(xiàn)差異，當產品或服務同規(guī)定要求的差異超過規(guī)定要求的極限時，就稱之為不合格。可以說不經過檢驗，合格或不合格也就無從談起。

為確認一批產品是否符合規(guī)定的要求，最保險的做法是對照規(guī)定的要求，對逐一條款的逐一產品進行100%的比對，區(qū)分合格品或不合格品。在20 世紀30 年代前，大部分質量工作都是依此進行。但隨著經濟活動的發(fā)展，產品的數(shù)量呈幾何性上升，數(shù)量急劇膨脹，在實際生產中，尤其在出現(xiàn)產品質量異常，需要對庫存產品和在制品的質量風險做評估時，100%檢驗已經難以嚴格遵循。而評估產品的質量風險又是在實際生產中時常要面對的環(huán)節(jié)。為了解決這個問題，人們引入了抽樣檢驗的概念—從一批待判斷質量是否合格的產品中，基于數(shù)理統(tǒng)計的方式隨機抽取部分產品進行判斷，并以抽取產品的質量情況來代表整體產品的質量狀況。由此可見，抽樣檢驗是一種以數(shù)理統(tǒng)計為基礎的科學的檢驗方法，是質量監(jiān)控的最重要、最基礎的技術手段。

我國制造業(yè)現(xiàn)行的，最廣泛采用的抽樣方式為GB/T 2828.1-2012《計數(shù)抽樣檢驗程序 第一部分：按接收質量限（AQL）檢索的逐批檢驗抽樣計劃》，以下簡稱為GB/T 2828.1。此標準為我國參考ISO 2859-1:1999 Sampling procedures for inspection by attributes 制訂的，即同等采用。這意味著兩者在內容和結構上完全一樣。而ISO 2859 的原始標準是參考了美國軍標MILSTD-105D:Sampling procedures and tables for inspection by attributes.Version:D 調整型抽樣標準。這份標準最初稱之為JAN-STD-l05（Joint Army-Navy Standard l05），于1949年設計完成，在1950 年JAN-STD-l05 被修訂為MIL-STDl05A。隨后在1958 年、1961 年、1963 年和1989 年分別推出了MIL-STD-l05B、MIL-STD-l05C、MIL-STD-l05D 和MILSTD-l05E，特別注意的是E 版本和D 版本基本類似，只是在文字部分加以修訂并另行編排。MIL-STD-105D 的民間版于1971年推出，美國國家標準局ANSI 隨之將其列入美國國家標準，稱之為ANSI/ASQCZ1.4。國際標準化組織于1974 年將ANSI/ASQCZ1.4 稍作修正，并頒布了ISO 2859。美國軍方已于1996年用新的美軍標MIL-STD-1916 取代MIL-STD-l05E，即MILSTD-l05E 在美軍方已經廢止。

可以看出，由于此標準在推出時代上有天生的局限性，其采用了接收質量限AQL，并用AQL 來規(guī)定樣本中的最大不合格品率，這也就意味著接受抽樣中的不合格品出現(xiàn)。例如：一批產品的數(shù)量為5000 只，假設AQL=0.15%（即良品率為99.85%），按照GB/T 2828.1 的要求，樣本量字碼為“L”，在“正常抽樣一次抽樣方案”表中，查詢得到結果為：抽樣數(shù)量=200，Ac=1，Rc=2，這意味著在200 個樣品中，發(fā)現(xiàn)1 個不良，此批5000 個產品同樣認為是合格的。這個抽樣方案會帶來以下兩個問題。

問題1：抽樣的200 個樣品中，出現(xiàn)一個不良，也可以認為總體5000 個產品滿足良率99.85%的質量水平，可是200 個樣品中出現(xiàn)一個不良，在不考慮不良品分布的情況下（即假設不良品平均分布在總體中），不良率是不是應該為1/200=0.5%呢？

問題2：在“正常抽樣一次抽樣方案”表中，樣本量字碼為“L”，Ac=1，Rc=2，抽樣方案同樣滿足AQL=0.25%（即良品率為99.75%）的要求，那么總體的不良率（或良率）到底是多少呢？

2 抽樣的數(shù)學模型

為解決這個問題，需要重新看抽樣的統(tǒng)計學原理。一般的抽樣方法為兩種，一種是不放回抽樣，即完成每一次對樣品的檢驗后，樣品均不放回本體中，下一次抽樣永遠不會抽到已經檢驗過的樣品，其每一次抽出的樣品，每一次檢驗的結果，均為獨立事件，不管是否合格均不會對下一次抽樣帶來影響；另一種是放回抽樣，即完成每一次對樣品的抽樣后，樣品均放回本體中，下一次抽樣有可能還會抽到已經檢驗過的樣品[2]。這兩種抽樣方式，在數(shù)學上嚴格遵從以下兩種分布。

2.1 超幾何分布

檢驗后的樣品不放回整體母本中，這樣整體N中抽樣n件產品的組合數(shù)為，在所有不良品中，抽樣出現(xiàn)k件不良品的組合數(shù)為，同樣的，抽樣n件產品在出現(xiàn)k件不良品后，剩余的應該均為良品，其出現(xiàn)組合數(shù)為。

綜合以上，可得出發(fā)現(xiàn)k件不良的不合格品概率為：

記作X～H(n,M,N)。

其中，當k=0 時，即意味著所有的抽樣中沒有發(fā)現(xiàn)不良品，由此可得[3]:

2.2 二項分布

檢驗后的樣品需要放回整體母本中，這樣抽樣n件產品，出現(xiàn)k次不良的組合數(shù)為，由于每次抽樣后，產品均放回整體母本中，這樣出現(xiàn)k件不良品的概率為pk，同樣的，剩余的良品出現(xiàn)的概率為(1-p)n-k。綜合以上可以發(fā)現(xiàn)k 件不良的不合格品概率為：

記作X～B(n,p)。

其中，當k=0 時，即意味著所有的抽樣中沒有發(fā)現(xiàn)不良品，由此可得[3]：

特別的，當a=0 時，=1。

由以上公式可以得出一個重要推論：

證明如下：

當N無限大時，不良品率，

由于n和k確定，所以：

利用數(shù)學我們證明了當N→∞時，超幾何分布和二項分布相同；也就是說當總體數(shù)量N足夠大時，無論是否為放回抽樣，在抽樣中出現(xiàn)不良品個數(shù)的概率是相同的。對于這個結論，我們也可以這樣理解，當總體母本數(shù)量足夠大時，從中抽選幾個樣品，無論是否放回，抽樣出來的樣品數(shù)量和原始總體母本的數(shù)量相比微乎其微，所以其抽樣的結果對最終的結果影響也微乎其微了。下文借助Excel 的制表和制圖，用兩個具體的例子來作說明。

3 超幾何分布和二項分布的比較

借助Excel 表格中的超幾何分布函數(shù)HYPGEOM.DIST和二項分布函數(shù)BINOMDIST，可以非常方便的得出數(shù)據進行比較，下文只針對固定不良率和固定抽樣數(shù)量這兩種情況，各舉一個例子來做示范。

示例一：假設母本N=1000，不良品M=10，不良率=1%，假設抽樣中沒有發(fā)現(xiàn)不良品，不同的樣本數(shù)量對應的超幾何分布和二項分布的數(shù)據如表1 所示。

基于這些數(shù)據，以抽樣數(shù)為X 軸，以分布函數(shù)的或然率為Y 軸，可以得出如圖1 所示的對比圖。由圖1 可以看出，在此條件下，超幾何分布和二項分布的差異不大。

圖1 固定不良率下兩種概率分布的或然率對比圖

示例二：假設母本N=1000，抽樣數(shù)量為10，假設抽樣中沒有發(fā)現(xiàn)不良品，不同的不良率對應的超幾何分布和二項分布的數(shù)據如表2 所示。

基于這些數(shù)據，以不良率為X 軸，以分布函數(shù)的或然率為Y 軸，可以得出如圖2 所示的對比圖。

表1 固定不良率下兩種概率分布的或然率

表2 固定抽樣數(shù)量下兩種概率分布的或然率

從上述的實例可以看出，當母本數(shù)量N遠大于抽樣數(shù)量M時，超幾何分布和二項分布的結果可以視為在工程上無差異。在實際中，一般認為當N＞100M 時，超幾何分布和二項分布幾乎沒有差異，在滿足這個條件時，一般會使用二項分布來代替超幾何分布。

4 快速算法的引出

從二項分布的公式：

可以看出，二項分布在實際計算中，概率密度僅和抽樣中的不良數(shù)量（或良品數(shù)量）、抽樣的數(shù)量、不良率（或良率）相關，而同總體母本無關，這樣就使得我們可以將母本做切分，從而給快速評估母本總體質量水平帶來可能。

同時，本文做如下假定：不良品在母本中“均勻”分布。這是因為在日常生產中，庫存品的管控一般都是以Lot/批量為基礎的，如果不良在一個批次中以隨機的形式出現(xiàn)，我們可以認為在同一批次中不良是平均分布的；如果出現(xiàn)特殊情況，我們同樣可以用切分的形式，把同一Lot 切分成多個子Lot，從子Lot 的角度看，不良是均布的；或者將相鄰的Lot 合拼成一個Lot 組，從Lot 組的角度看，不良品同樣是均布的。

圖2 固定抽樣數(shù)量下兩種概率分布的或然率對比圖

在這樣的假定下，結合上文的推導，我們使用二項分布來評估，同時由上文可知：

這意味著，抽樣n個產品，出現(xiàn)所有k次不良的概率應為1 減去沒有出現(xiàn)不良的概率。

一般的，當我們抽到不良時，無論不良品數(shù)量多少，我們都會對整體的質量水平產生疑問?；诖说贸鑫覀兊慕Y論：在快速計算抽樣數(shù)量時，抽樣方案中出現(xiàn)不良品的概率為：

這個公式說明，在已知不良率的情況下，在抽樣中抽到不良品的概率只同不良率和抽樣數(shù)量相關，同樣的這也符合一般的認知：不良率越高，抽到不良品的概率越大；抽樣數(shù)量越多，抽樣的結果越可信。

如果不良率為10%，我們抽樣10 個，其結果為多少呢？通過計算可以得出有65.13%的概率可以抽到不良品；如果不良率為1%，我們抽樣100 個，其結果為多少呢？通過計算可以得出有63.40%的概率可以抽到不良品。從這兩個例子中可以看出，我們能夠通過不良率，在比較高的置信率下快速計算出抽樣數(shù)量,而1-p的本質其實就是良率，在固定良率的基礎上，抽樣的數(shù)量就是良率的抽樣次方，也就是一個底小于1 的指數(shù)函數(shù)。

基于以上分析，如果我們已知不良率為p，那我們的抽樣數(shù)量N一般可以用以下公式快速得到：，也就是2 到5 倍的不良率的倒數(shù)。

我們同樣用上邊的例子來說明，當不良率為10%時，選α=2，則抽樣數(shù)量為20，在這個抽樣數(shù)量下我們抽到不良品的概率為1-(1-10%)20=87.84%。同樣，我們也可以計算出當不良率為1%時，選取1%倒數(shù)的2 倍，則抽到不良品的概率為86.6%。

已知不良率，用不良率倒數(shù)的2 到5 倍作為抽樣數(shù)，可以在一個比較高的概率下確認庫存的不良率是否和已知不良率相同。當發(fā)現(xiàn)有不良時，即確認庫存中不良情況等于或大于已知的不良率；當沒有發(fā)現(xiàn)不良時，可以判斷庫存中不良情況在一個比較高的概率下小于已知的不良率。

5 結束語

在實際生活中，已知產品不良率（或由歷史數(shù)據得出，或由客戶處反饋），利用不良率的倒數(shù)的2 到5 倍，快速算出抽樣數(shù)量，以這個抽樣數(shù)量對庫存做檢驗，可以有效的確認庫存品的不良率是否大于或等于已知的不良率，靈活應用這種算法，合理劃分庫存品的批次，可以在降低檢驗成本的同時，有效的對庫存的質量風險進行評估。