四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(610000) 徐思迪 張 紅

一、引言

2014年《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》的頒布,標(biāo)志著新一輪考試招生制度改革全面啟動[1].隨著高考改革的逐步深化,社會各界對教育不斷重視,大眾對高考也愈發(fā)關(guān)注.在2019年6月《國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》中強(qiáng)調(diào)要深化考試命題改革,提高命題質(zhì)量,優(yōu)化考試內(nèi)容,科學(xué)設(shè)置試題難度[2].《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》及《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》明確提出數(shù)學(xué)應(yīng)用問題難度要符合考生的水平,兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性[3].

數(shù)學(xué)高考難度一直以來是教師、學(xué)生、家長關(guān)注的焦點(diǎn),數(shù)學(xué)高考也是數(shù)學(xué)課程的重要組成部分,直接反映數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容,成為教學(xué)的導(dǎo)向.同時(shí)也是評價(jià)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的指標(biāo).數(shù)學(xué)高考題的質(zhì)量不但影響著數(shù)學(xué)課程的質(zhì)量及水平,而且也是影響數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的重要因素.因此,對于高考試題的難度分析,有助于優(yōu)化試卷內(nèi)容,科學(xué)設(shè)置試題,提高命題質(zhì)量;也能幫助一線教師更透徹地分析試卷,明晰高考試卷的變化趨勢,提高教學(xué)質(zhì)量.

筆者借助綜合難度系數(shù)模型以2019 和2020年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷為研究對象,通過科學(xué)統(tǒng)計(jì)和分析,在技術(shù)層面對試卷做出較為科學(xué)的解析以供參考.

二、綜合難度系數(shù)模型

綜合難度系數(shù)模型來源于Nohara(2001)提交給美國國家教育統(tǒng)計(jì)中心的工作報(bào)告,報(bào)告中對NAEP2000、TIMSSR、PISA2000 進(jìn)行比較, 首次提出了總體難度(Overall difficulty)的概念[4].其中涉及“擴(kuò)展性問題”、“實(shí)際背景”、“運(yùn)算”、“多步推理”四個(gè)難度因素[5].國內(nèi)學(xué)者鮑建生通過對平均難度的不足進(jìn)行分析.以Nohara(2001)模型作為藍(lán)本,根據(jù)我國具體特點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整, 保留原模型的“背景”、“運(yùn)算”、“推理”三個(gè)因素,取消“題型”因素,用“知識含量”、“探究”取而代之,在這一模型下各因素的劃分如表1 所示[6].

表1:難度因素劃分水平)高考文科數(shù)學(xué)全國卷選填題考查狀況分布

為了對每個(gè)因素的難度水平進(jìn)行量化,研究者須對不同難度因素中的不同水平賦予一定的權(quán)重系數(shù),對不同的水平由低到高按照1,2,3,4 進(jìn)行賦值,作為權(quán)重.如“知識含量”有三個(gè)水平,它們的權(quán)重分別為1,2,3,再根據(jù)具體情況對試題的各個(gè)難度因素進(jìn)行編碼,最后利用下列模型進(jìn)行計(jì)算:

其中,di依次分別表示“探究”“背景”“運(yùn)算”“知識含量”和“推理”五個(gè)難度因素上的取值;dij為第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的權(quán)重(依水平分別取1,2,3,....) ;nij表示這組題目中屬于第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù),它的總和等于這組題目的總數(shù)n[7].根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果得到綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖.

綜合難度系數(shù)模型是一種利用等級權(quán)重來測量和比較難度的研究方法,在教材比較中運(yùn)用的較為廣泛,如鮑建生學(xué)者對中英兩國初中數(shù)學(xué)期望課程的難度比較研究,給我國數(shù)學(xué)課程改革提供有價(jià)值的參考建議.朱婭梅利用綜合難度系數(shù)模型對中美初中數(shù)學(xué)教材綜合難度做比較研究,總結(jié)出中國教材可以從美國教材編寫中得到的啟示.然而綜合難度系數(shù)模型在試卷難度的比較分析中應(yīng)用較少,與綜合難度系數(shù)模型相關(guān)的試卷分析有: 張玉環(huán)等人運(yùn)用綜合難度模型從國際視野中審視中國高考,并提出新高考的命題建議;鄧振江通過綜合難度系數(shù)模型對2015-2016年數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析對2017年的備考提出建議;武小鵬等人根據(jù)高考數(shù)學(xué)試題,對綜合難度系數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn),在原模型中加入思維方式和有無參數(shù),并對各因素的水平按照高考題目做詳細(xì)的界定和準(zhǔn)確的劃分,使得模型與高考試卷更加切合.

本研究保留鮑建生的綜合難度系數(shù)模型中的“推理”、“知識含量”兩個(gè)因素, 在“運(yùn)算”因素上, 由于數(shù)學(xué)試題基本涉及到運(yùn)算,有數(shù)值和符號等不同的運(yùn)算形式,故將鮑建生提出的“無運(yùn)算”“數(shù)值運(yùn)算”、“簡單符號運(yùn)算”及“復(fù)雜符號運(yùn)算”四個(gè)水平劃分為“無運(yùn)算”、“簡單數(shù)值運(yùn)算”、“復(fù)雜數(shù)值運(yùn)算”“簡單符號運(yùn)算”“復(fù)雜符號運(yùn)算”五層水平.在“是否含參”因素上完全采用武小鵬等人的劃分,將“是否含參”劃分為“無參數(shù)”和“有參數(shù)”兩個(gè)水平.由于試卷中解答題分值占比較高,同時(shí),一道數(shù)學(xué)解答題包含多個(gè)小問題,然后,不同的小問題之間有的相互聯(lián)系,有的單獨(dú)成立, 則會出現(xiàn)遞進(jìn)的梯度形式.因此, 對于解答題, 增加“梯度”因素.將“梯度”因素劃分為兩個(gè)水平分別為“問題單獨(dú)成立”“問題間互相關(guān)聯(lián)”.

依據(jù)上述模型對是否含參、運(yùn)算水平、推理能力、知識含量、認(rèn)知水平、梯度六大因素進(jìn)行編碼,以下圖表為不同因素不同水平的內(nèi)涵及權(quán)重[7]如表2 所示,這里將選用調(diào)整后的模型對2019 和2020年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷進(jìn)行分析.

表2:綜合難度系數(shù)模型各因素權(quán)重及內(nèi)涵

復(fù)雜推理32 2推理涉及復(fù)雜關(guān)系的解析和多種變化,一般在3 步以上知識含量4單個(gè)知識點(diǎn)41 1圍繞一個(gè)單元展開,不涉及跨章節(jié)和跨學(xué)科的知識兩個(gè)知識點(diǎn)42 2根據(jù)學(xué)科單元,涉及不同的兩個(gè)知識參與大于等于3 個(gè)43 3包括3 個(gè)及以上的知識點(diǎn),可能涉及到跨章節(jié)和跨學(xué)科知識認(rèn)知水平5理解51 1涉及到數(shù)學(xué)概念或者原理的理解運(yùn)用52 2能夠?qū)?shù)學(xué)概念或原理應(yīng)用到具體的情境中分析53 3在復(fù)雜環(huán)境中找到問題解決路徑,并對結(jié)果進(jìn)行解釋梯度6問題互不干擾61 1解答題各小問題互不干擾,獨(dú)立設(shè)置問題間互相關(guān)聯(lián)62 2解答題各小問題相互關(guān)聯(lián),有一定的梯度

三、2019-2020年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷統(tǒng)計(jì)分析

本研究選取了2019 和2020年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷為研究對象,基于更改后的模型對試卷從“是否含參”、“運(yùn)算水平”、“推理”、“知識含量”、“認(rèn)知水平”、“梯度”這六個(gè)因素進(jìn)行分析.

根據(jù)表1、表2 的定義對2019、2020年兩套試題進(jìn)行賦值編碼.例如2020 高考理科試題全國Ⅱ卷第6 題、第10 題,2019年高考理科試題全國Ⅱ卷第8 題、第10 題,可編碼如下:

例1(2020 高考全國Ⅱ卷理科第6 題) 數(shù)列{an}中,a1= 2,am+n=aman, 若ak+1+ak+2+···+ak+10=215?25,則k=

A.2 B.3 C.4 D.5

此題屬于有參數(shù)、簡單符號計(jì)算、簡單推理、知識含量有兩個(gè)知識點(diǎn)、運(yùn)用類試題.

例2(2020年高考全國Ⅱ卷理科第10 題)已知?ABC的面積為的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上,若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為

此題屬于無參數(shù)、復(fù)雜數(shù)值計(jì)算、復(fù)雜推理,知識含量三個(gè)及以上,分析水平的試題.

例3(2019年高考全國Ⅱ卷理科第8 題) 若拋物線y2= 2px(p ＞0)的焦點(diǎn)是橢圓= 1 的一個(gè)焦點(diǎn),則p=

A.2 B.3 C.4 D.5

此題屬于有參數(shù)、簡單符號運(yùn)算、簡單推理、知識點(diǎn)為三個(gè)以上、運(yùn)用水平的試題.

例4(2019年高考全國Ⅱ卷理科第20 題) 已知函數(shù)f(x)=lnx ?

(1)討論f(x)的單調(diào)性, 并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);

(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn), 證明曲線y= lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

此題屬于有參數(shù)、簡單符號運(yùn)算、復(fù)雜推理、知識含量三個(gè)以上、分析水平、問題單獨(dú)成立互不干擾的試題.

上述例題可根據(jù)表2 中的各因素權(quán)重編碼表如下所示:

表3:例題難度系數(shù)編碼表

按照表2 中的編碼的各因素權(quán)重與內(nèi)涵對2019年和2020年的兩套高考試卷進(jìn)行了編碼,其中綜合難度系數(shù)按照公式(1)計(jì)算得到.最終形成原編碼數(shù)據(jù)表(略),通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)得到表4.

表4:2019 和2020年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷綜合統(tǒng)計(jì)

認(rèn)知水平理解5 10 16.67%31.25%2.13 2.13運(yùn)用16 8 53.33%25.00%分析9 14 30.00%43.75%梯度問題互不干擾3 4 42.86%57.14%1.57 1.43問題相互聯(lián)系4 3 57.14%42.86%綜合難度系數(shù)11.46 11.59

四、各難度因素的特征分析

根據(jù)表4 的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,下面將以2019年和2020年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷的不同難度因素水平進(jìn)行比較分析,以此為基礎(chǔ)對高考考察的側(cè)重點(diǎn)進(jìn)行說明,最后利用綜合難度模型雷達(dá)圖做整體分析.

1.是否含參因素

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表4, 按照是否含參因素中“無參數(shù)”、“有參數(shù)”兩個(gè)水平各自所占的百分比繪制折線圖如圖1 所示.

圖1

在是否含參因素方面, 2019 和2020年無參數(shù)題目占比分別為56.67%、53.13%.有參數(shù)題目占比為43.44% 和46.87%.參數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科符號考察的方面,在高考題目中層出不窮.就這兩年的試題而言,2020年有參數(shù)的題目數(shù)量多于2019年的題目數(shù)量.說明2020年高考理解相對抽象,題目難度加大.

2.運(yùn)算水平因素

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表4,按照無運(yùn)算、簡單數(shù)值運(yùn)算、復(fù)雜數(shù)值運(yùn)算、簡單符號運(yùn)算、復(fù)雜符號運(yùn)算五種水平各自所占的百分比繪制折線圖如圖2 所示.

從上圖可知,高考試題對于運(yùn)算的考查較為全面,從無運(yùn)算到復(fù)雜符號運(yùn)算均有所涉及到的題目.就試題各自比例而言,2019年簡單數(shù)值運(yùn)算考查相對較多,2020年的考查較為均勻,比例相當(dāng).體現(xiàn)出高考試題對能力考查兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性[3].也體現(xiàn)出不同學(xué)生有不同的能力發(fā)展的理念[8].就這兩年的試題而言,在運(yùn)算難度因素方面,2020年的試題對考生的運(yùn)算水平要求相對較高,計(jì)算難度偏大.

圖2

3.推理能力因素

統(tǒng)計(jì)顯示,2019年和2020年全國高考理科全國Ⅱ卷.按照簡單推理、復(fù)雜推理兩個(gè)水平按照所占百分比例繪制折線圖如圖3 所示.

圖3

在推理因素方面,2019 和2020年在簡單推理題目占比分別為66.67%、43.75%.復(fù)雜推理題目占比分別為33.33%、56.25%.從試題分布來看對于推理論證能力和抽象能力的考查貫穿于全卷, 說明推理能力是高考試卷能力考察的重點(diǎn),并強(qiáng)調(diào)高考試題具有科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性的特點(diǎn),這與全國統(tǒng)一考試大綱相互呼應(yīng)[3].就這兩年試卷而言,2020年復(fù)雜推理方面的題目數(shù)量多于簡單推理題目數(shù)量,復(fù)雜推理題目比例遠(yuǎn)高于2019年的比例.說明2020年的試題對學(xué)生的推理能力要求更嚴(yán),標(biāo)準(zhǔn)更高.

4、知識含量因素根據(jù)統(tǒng)計(jì)表4,按照知識含量的三個(gè)水平,按照所占百分比例繪制出折線圖,如圖4 所示.

從統(tǒng)計(jì)表和圖4 中,我們可以看到,高考試卷在知識含量方面,多以三個(gè)及以上的知識點(diǎn)為主,體現(xiàn)出高考試卷知識點(diǎn)考察的綜合性.對于數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的考察,既全面又突出重點(diǎn).從試題分布方面來說,解答題主要是多個(gè)知識點(diǎn)的結(jié)合.對于高中教師說,在教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生知識的遷移,關(guān)注不同章節(jié)不同學(xué)科多個(gè)知識點(diǎn)的聯(lián)系和應(yīng)用.在原有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深拓展,逐級深化.就這兩套試卷比較而言,知識含量基本相當(dāng),沒有明顯的差別.

圖4

5.認(rèn)知水平因素

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表4,對認(rèn)知水平因素方面的理解、運(yùn)用、分析三個(gè)水平各自所占百分比例繪制折線圖如圖5 所示.

圖5

從上圖可知,兩套試卷在認(rèn)知水平上都很注重理解、運(yùn)用、分析這三個(gè)方面,不同認(rèn)知水平的在試題中均有涉及,一定程度上體現(xiàn)了高考在認(rèn)知因素考查上的全面性.從全卷試題分布來看,分析類題目多以解答題為主,選擇題與填空題主要是理解與運(yùn)用類,體現(xiàn)出高考試題的層次性.就試卷比較而言,2019年和2020年的試卷對于認(rèn)知因素側(cè)重不同,在分析水平的考察上,2020年明顯高于2019年,對學(xué)生在復(fù)雜問題情境中尋找到解答途徑的能力要求更高.因此,就認(rèn)知水平方面,2020年的試卷難度明顯高于2019年試卷.

6.梯度因素

梯度因素的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見圖6 所示.

由圖6 可以看出,2019年和2020年全國高考理科全國Ⅱ卷在“梯度”因素方面存在著明顯的差異,2019年的解答題中體現(xiàn)著“問題互不干擾”層次的題目比例低于2020年的試題,但,2019年屬于“問題間相互聯(lián)系”水平的題目所占比例高于2020年的試題,約高出14.28%.從梯度因素方面來看,2019年試題在解答題方面較2020年,小問題之間的關(guān)聯(lián)更大,對學(xué)生的提出了更高的要求.

圖6

7.綜合難度系數(shù)分析

根據(jù)“是否含參”、“運(yùn)算”“推理”、“知識含量”、“認(rèn)知水平”、“梯度”這6 個(gè)因素在試題中的分布,為了進(jìn)一步考察兩卷的難度,對2019年和2020年全國高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷不同因素不同水平的題目進(jìn)行統(tǒng)計(jì).利用綜合難度系數(shù)計(jì)算公式(1)計(jì)算出各個(gè)因素的加權(quán)平均,得到以下結(jié)果如表5.

根據(jù)上表得到綜合難度綜合難度雷達(dá)圖,如圖7 所示.

圖7

根據(jù)圖7 和表5,兩套試題在是否含參、認(rèn)知水平、運(yùn)算水平、知識含量、推理能力、梯度這六個(gè)因素中,程度相當(dāng).在一定程度上, 說明了高考試題在考察數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,不僅注重?cái)?shù)學(xué)方法的考察同時(shí)也注重考察數(shù)學(xué)能力,并呈現(xiàn)出在基本能力考察上的穩(wěn)定性和一致性.在表5 中,可以看出2020年的總難度系數(shù)為11.59,2019年總難度系數(shù)為11.46.在雷達(dá)圖的整體態(tài)勢來看,2019年的考題在六個(gè)因素上,相對平衡; 在2020年的試卷上,強(qiáng)調(diào)考察學(xué)生的運(yùn)算水平.因此,就兩套試題而言,2020年試題在部分因素難度系數(shù)相對較大,難度相對較高.

需要說明的是,2019年和2020年的試題在試題數(shù)量和分值上有差異,分析可能會出現(xiàn)一些偏差.由于不同學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有差異性,針對同一試題,對于不同學(xué)生難度也不盡相同,因此綜合難度系數(shù)只是一個(gè)理論值.

五、結(jié)論與啟示

根據(jù)分析結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn),2020年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷的難度較2019年穩(wěn)中求變,難度略有升高.兩份試卷突出考察學(xué)生的運(yùn)算能力,并且知識綜合性較強(qiáng).綜合分析圖表得到高考試題的以下特點(diǎn).

(一)具有穩(wěn)定性和全面性

在高考試卷中,對于是否含參、運(yùn)算、推理、知識含量、認(rèn)知水平、梯度方面的難度系數(shù)中趨于穩(wěn)定,在卷面布局方面均以22 道必做題與1 道選做題組成,說明試卷布局穩(wěn)定.在解答題方面以高中數(shù)學(xué)課程重點(diǎn)章節(jié)為主要考察對象,如三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)、解析幾何、立體幾何,說明考察要點(diǎn)穩(wěn)定.在客觀題部分,考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查.從試卷總體來說,試題兼顧了基礎(chǔ)性和綜合性.從知識含量角度來看,內(nèi)容分布均衡,問題多樣化,既全面又突出重點(diǎn),對于支撐學(xué)科知識體系的重要內(nèi)容占有重要的比例,同時(shí)知識考察內(nèi)容豐富而全面,具備全面性的特征.

(二)運(yùn)算性與抽象性并舉

運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合[1].統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,高考數(shù)學(xué)試題在“運(yùn)算”因素的考察上,不僅有傳統(tǒng)的簡單數(shù)值運(yùn)算,也有相當(dāng)數(shù)量的符號運(yùn)算.在客觀題方面,數(shù)值運(yùn)算居多,解答題方面多以符號運(yùn)算與復(fù)雜數(shù)值運(yùn)算為主.這充分說明高考試卷突出考察學(xué)生運(yùn)算能力.就兩套試卷而言,2019年和2020年的試卷在運(yùn)算因素上,2020年試題計(jì)算量增多,對學(xué)生運(yùn)算能力要求更高,試卷難度更大.

在推理因素方面,不僅有清晰的簡單邏輯推理也有復(fù)雜的邏輯推理.符合課程標(biāo)準(zhǔn)中的讓不同學(xué)生有不同的發(fā)展的要求.2020年試卷在推理因素上的難度系數(shù)明顯高于2019年,這說明試卷對學(xué)生的邏輯推理能力有更高的標(biāo)準(zhǔn).因此,高考試卷一定會考察學(xué)生的基礎(chǔ)運(yùn)算能力,還會要求學(xué)生根據(jù)問題條件從大量的數(shù)據(jù)中抽選出有用信息,進(jìn)行合理的推斷、分析,選擇快捷的運(yùn)算途徑,最終得出結(jié)果.高中教師在日常教學(xué)工作中,要注重對學(xué)生推理、歸納、總結(jié)的能力的培養(yǎng),讓學(xué)生習(xí)慣于對數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推導(dǎo),體會數(shù)學(xué)的公理化體系.

(三)兼顧綜合性和系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系,包括各部分知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系[3].解答題方面尤其注重在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題,對知識點(diǎn)進(jìn)行綜合考察,使得對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考察達(dá)到必要的深度.試題不但系統(tǒng)性地考察學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、邏輯推理、運(yùn)算能力,而且讓學(xué)生洞察到數(shù)學(xué)學(xué)科的美麗與全貌,因而,高考試題中的綜合性和系統(tǒng)性特點(diǎn)不容小覷.

基于以上研究,建議命題者在優(yōu)化試題結(jié)構(gòu),科學(xué)合理命題的同時(shí),充分利用綜合難度系數(shù)模型對試卷做難度預(yù)測,并對每個(gè)題目進(jìn)行深層次的分析與評價(jià),準(zhǔn)確把握試卷難度,從而使考題設(shè)置科學(xué)合理,努力實(shí)現(xiàn)考察數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的要求.