福建省福州市閩侯縣第一中學(xué)(350100) 黃美琴

各類(lèi)試題均是命題者集體智慧的結(jié)晶,含有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵,具有可探究性和進(jìn)一步拓展的空間,值得我們?nèi)ド钊胩骄?引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些典型的試題進(jìn)行分析思考、多角度探究拓展,這對(duì)培養(yǎng)和提升學(xué)生的創(chuàng)新能力、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)無(wú)疑是有益的.正如美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞所說(shuō):“一個(gè)專(zhuān)心備課的教師能夠拿一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面,使得通過(guò)這道題,就好像通過(guò)一道門(mén)戶,把學(xué)生引進(jìn)一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”.下面是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一道全國(guó)大聯(lián)考試題進(jìn)行的縱向、橫向和變式拓展.

題目(2020 屆高三全國(guó)第一次大聯(lián)評(píng)數(shù)學(xué)試題(理科) 第19 題)已知拋物線y2= 2x, 過(guò)點(diǎn)P(1,1)分別作斜率為k1,k2的拋物線的動(dòng)弦AB,CD, 如圖, 設(shè)M,N為線段AB,CD的中點(diǎn).(1) 略; (2) 若k1+k2= 1, 求證直線MN恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

本題(2)的答案是直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(0,1).本小題內(nèi)涵豐富,意境深邃,具有拓展空間,值得我們引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶骄客卣?

1 縱向拓展: 由特殊到一般的拓展

對(duì)本題(2)的結(jié)論, 我們不禁要問(wèn): 對(duì)于一般的拋物線y2= 2px(p ＞0),定點(diǎn)P(m,n),k1+k2=λ(λ為常數(shù)),直線MN是否恒過(guò)某個(gè)定點(diǎn)? 經(jīng)探究,可得

性質(zhì)1.1已知拋物線y2= 2px(p ＞0), 過(guò)不在拋物線上的定點(diǎn)P(m,n)分別作斜率為k1,k2的拋物線的動(dòng)弦AB,CD,設(shè)M,N為線段AB,CD的中點(diǎn),若k1+k2=λ(λ為常數(shù)),則當(dāng)λ= 0 時(shí),直線MN的斜率k=(定值);當(dāng)λ ?=0 時(shí),直線MN恒過(guò)定點(diǎn)

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),則相減并整理, 得·(y1+y2) =2p.又由條件知,y1+y2=2yM,則·yM=p,即+pm= 0.同理可得+pm=0.這表明點(diǎn)M,N的軌跡方程為y2?px ?ny+pm= 0.平移坐標(biāo)軸, 把原點(diǎn)移至P(m,n),以x=x′+m,y=y′+n代入上式,得(y′+n)2?p(x′+m)?n(y′+n)+pm=0,即y′2?(px′?ny′)=0.設(shè)直線MN的方程為ux′+vy′=1,代入上式,使之成為關(guān)于x′、y′的二次齊次方程y′2?(px′ ?ny′)(ux′+vy′) = 0,整理得(1 +nv)y′2?(pv ?nu)x′y′ ?pux′2= 0, 化 為?pu= 0.易知直線AB(即PM),CD(即PN) 的斜率k1,k2為其兩根, 據(jù)韋達(dá)定理,得k1+k2=則當(dāng)λ= 0 時(shí),k1+k2=0?pv ?nu=0?直線MN的斜率k=(平移不改變直線的斜率); 當(dāng)λ ?= 0 時(shí), 有λ ?u(?n)+v(p ?nλ)=λ ??n)=1?直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(在新坐標(biāo)系中)?直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(m ?)(在原坐標(biāo)系中).證畢.

特別地,當(dāng)p= 1,m=n= 1,λ= 1 時(shí),直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(0,1).這就是上述試題第(2)小題的答案.

2 橫向拓展: 由拋物線到橢圓、雙曲線的拓展

以上性質(zhì)揭示了拋物線共定點(diǎn)的兩動(dòng)弦中點(diǎn)連線的一個(gè)性質(zhì),那么,橢圓、雙曲線是否具有類(lèi)似性質(zhì)? 經(jīng)探究,對(duì)于橢圓=1(a ＞b ＞0),有

性質(zhì)2.1已知橢圓= 1(a ＞b ＞0), 過(guò)不在橢圓上的定點(diǎn)P(m,n)分別作斜率為k1,k2的橢圓的動(dòng)弦AB,CD,設(shè)M,N為線段AB,CD的中點(diǎn),若k1+k2=λ(λ為常數(shù)),則當(dāng)λ= 0 時(shí),直線MN的斜率k=(定值);當(dāng)λ ?=0 時(shí),直線MN恒過(guò)定點(diǎn)

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),則相減并整理, 得又由條件知,x1+x2=2xM,y1+y2=2yM,則= 0.同理可得這表明點(diǎn)M,N的軌跡方程為b2x2+a2y2?b2mx ?a2ny= 0.平移坐標(biāo)軸,把原點(diǎn)移至P(m,n),以x=x′+m,y=y′+n代入上式,得b2(x′+m)2+a2(y′+n)2?b2m(x′+m)?a2n(y′+n)=0.即b2x′2+a2y′2+(b2mx′+a2ny′)=0.設(shè)直線MN的方程為ux′+vy′=1,代入上式,使之成為關(guān)于x′、y′的二次齊次方程b2x′2+a2y′2+(b2mx′+a2ny′)(ux′+vy′) = 0,整理得b2(1+mu)x′2+a2(1+nv)y′2+(a2nu+b2mv)x′y′=0,化為

易知直線AB(即PM),CD(即PN)的斜率k1,k2為其兩根,據(jù)韋達(dá)定理得

則當(dāng)λ= 0 時(shí),k1+k2= 0?a2nu+b2mv= 0?直線MN的斜率k=(平移不改變直線的斜率);當(dāng)λ ?=0 時(shí)

?直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(在新坐標(biāo)系中)

?直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(在原坐標(biāo)系中).證畢.

對(duì)于雙曲線E:= 1(a ＞0,b ＞0),只要把上述證明中的“b2”替換為“?b2”,容易得到

性質(zhì)3.1已知雙曲線E:= 1(a ＞0,b ＞0),過(guò)不在雙曲線上的定點(diǎn)P(m,n) 分別作斜率為k1,k2的雙曲線的動(dòng)弦AB,CD, 設(shè)M,N為線段AB,CD的中點(diǎn),若k1+k2=λ(λ為常數(shù)), 則當(dāng)λ= 0 時(shí), 直線MN的斜率k=(定值) ; 當(dāng)λ ?= 0 時(shí), 直線MN恒過(guò)定點(diǎn)

3 變式拓展: 由“k1+k2 =λ”到“k1k2 =λ”的拓展

以上性質(zhì)揭示了拋物線、橢圓、雙曲線在“k1+k2=λ”條件下的共定點(diǎn)兩動(dòng)弦中點(diǎn)連線的一個(gè)性質(zhì),如果把該條件變?yōu)椤発1k2=λ”,會(huì)有什么相應(yīng)的結(jié)論?

由性質(zhì)1.1 的證明, 可得k1k2=若k1k2=λ(λ為非零常數(shù)),則=λ ?u·0+v(?p ?nλ)=λ ? u ·0 +?n) = 1?直線MN恒過(guò)定點(diǎn)?n)(在新坐標(biāo)系中)?直線MN恒過(guò)定點(diǎn))(在原坐標(biāo)系中).由此可得

性質(zhì)1.2已知拋物線y2= 2px(p ＞0), 過(guò)不在拋物線上的定點(diǎn)P(m,n)分別作斜率為k1,k2的拋物線的動(dòng)弦AB,CD, 設(shè)M,N為線段AB,CD的中點(diǎn), 若k1k2=λ(λ為非零常數(shù)),則直線MN恒過(guò)定點(diǎn)

由性質(zhì)2.1 的證明, 可得k1k2=若k1k2=λ(λ為非零常數(shù)),則=λ ?u·b2m+v(?a2nλ)=a2λ ?b2.當(dāng)λ=時(shí),u·b2m+v(?a2nλ)=0?直線MN的斜率k=(平移不改變直線的斜率);當(dāng)λ ?=時(shí),直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(在新坐標(biāo)系中)?直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(在原坐標(biāo)系中).由此可得

性質(zhì)2.2已知橢圓= 1(a ＞b ＞0), 過(guò)不在橢圓上的定點(diǎn)P(m,n) 分別作斜率為k1,k2的橢圓的動(dòng)弦AB,CD, 設(shè)M,N為線段AB,CD的中點(diǎn), 若k1k2=λ(λ為非零常數(shù)), 則當(dāng)λ=時(shí), 直線MN的斜率k=(定值) ; 當(dāng)λ ?=時(shí), 直線MN恒過(guò)定點(diǎn)

類(lèi)似可得:

性質(zhì)3.2已知雙曲線E:= 1(a ＞0,b ＞0),過(guò)不在雙曲線上的定點(diǎn)P(m,n)分別作斜率為k1,k2的雙曲線的動(dòng)弦AB,CD, 設(shè)M,N為線段AB,CD的中點(diǎn), 若k1k2=λ(λ為非零常數(shù)), 則當(dāng)λ=時(shí), 直線MN的斜率k=(定值);當(dāng)λ ?=時(shí),直線MN恒過(guò)定點(diǎn)

以上通過(guò)對(duì)一道全國(guó)大聯(lián)考試題的縱向、橫向和變式的探究拓展,得到了拋物線、橢圓和雙曲線的一類(lèi)性質(zhì),揭示了問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律.這確實(shí)是一道值得探究拓展的試題,正如著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞所形象比喻的:“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地成長(zhǎng),找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周?chē)乙徽?很可能附近有好幾個(gè).”對(duì)一些典型的試題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、發(fā)散等拓展探究,獲得一系列有價(jià)值的結(jié)論,這既是對(duì)原問(wèn)題的深化與拓展,也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效途徑.經(jīng)歷豐富多彩的充分探究,主動(dòng)反思、合作交流等探究過(guò)程,學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維能力以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)就在不知不覺(jué)中得到培養(yǎng)和提升.