福建省德化第一中學(xué)(362500) 吳志鵬

高考試卷中有許多經(jīng)典題目,這些題目之所以能夠成為“經(jīng)典”,在于其能夠成為后續(xù)教與學(xué)的好幫手,為后續(xù)的教與學(xué)起到良好的示范作用,不僅如此,經(jīng)典的高考試題對于試題的命制也有著很好的啟發(fā)作用, 為命制試題提供依據(jù),命題教師能夠更好地體會經(jīng)典試題的靈魂與精髓,從中提取模型,熟練掌握命題的原則和技巧,進(jìn)行試題的命制嘗試,本文以2016年全國卷II 文、理科填空題的第12 題為例,談?wù)勅绾谓柚?jīng)典高考試題模擬命制高中數(shù)學(xué)試題.

一、模擬試題命制的程序

借助經(jīng)典的高考試題進(jìn)行試題的模擬命制,首先要對高考試題進(jìn)行詳細(xì)的解讀,了解其考查的主要知識點(diǎn)和相關(guān)知識點(diǎn),理解其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法,以及核心素養(yǎng);其次要弄清高考試題的命制手法, 為試題命制提供依據(jù)和思路,如下文的引例1、2 首先是利用兩個中心對稱圖象的交點(diǎn)來設(shè)計(jì)和命制試題;其次要對試題進(jìn)行改造與變式,把對稱這個特征融入到相應(yīng)的函數(shù)或問題情境之中,對試題的條件或結(jié)論進(jìn)行變更;最后要對所設(shè)計(jì)的問題進(jìn)行驗(yàn)證、完善以保證其科學(xué)性與思想性,同時(shí)進(jìn)行難度預(yù)測,最終形成符合相關(guān)要求的試題.

二、借助經(jīng)典,提取模型

引例1(2016年高考全國II 卷理科第12 題)已知函數(shù)f(x) (x ∈R)滿足f(?x) = 2?f(x),若函數(shù)y=與y=f(x)圖像的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym), 則=( ).

A.0 B.mC.2mD.4m

解函數(shù)f(x)(x ∈R)的圖象與函數(shù)y=的圖象均為中心對稱圖形,且對稱中心均為(0,1),則兩圖象相應(yīng)的交點(diǎn)也會關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱且對稱中心不在函數(shù)圖象上,所以交點(diǎn)必為偶數(shù)個, 則m為偶數(shù), 有×0 = 0,0+m=m.

引例2(2016年高考全國II 卷文科第12 題)已知函數(shù)f(x)(x ∈R)滿足f(x)=f(2?x),若函數(shù)y=|x2?2x?3|與y=f(x)圖像的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym),則=( ).

A.0 B.mC.2mD.4m

解因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x= 1 對稱,y=|x2?2x ?3|=|(x ?1)2?4|, 其圖像關(guān)于直線x= 1 對稱.所以它們圖像的交點(diǎn)也關(guān)于直線x= 1 對稱.當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),=m; 當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),+1=m.故選B.

對比引例1 和2 的兩道試題,不難發(fā)現(xiàn)試題均給出兩個具有自對稱圖象的函數(shù),其中引例1 給出了兩個具有相同對稱中心的函數(shù), 引例2 則給出兩個具有相同對稱軸的函數(shù),兩個函數(shù)圖象相交,結(jié)合交點(diǎn)的對稱性,求各個交點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)和,兩個試題的命制有著“異曲同工”之妙.學(xué)生若能熟練從兩類函數(shù)(抽象與具體函數(shù))中提取函數(shù)圖象的對稱特征,解決問題也就能夠“水到渠成”.同樣的,這樣的一個經(jīng)典高考試題也給我們平時(shí)的數(shù)學(xué)試題的命制提供一種可借鑒的模型,即構(gòu)建“兩個具有對稱性的函數(shù)圖象相交,求其交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)和”.有了這樣的一個數(shù)學(xué)模型,我們即可動手實(shí)施試題的模擬命制.

三、改造模型,命制試題

1 基本函數(shù)模型的選擇

由于試題緣自于兩個具有對稱性(中心對稱、軸對稱)函數(shù)的圖象的交點(diǎn),命制試題可選擇從基本函數(shù)的模型入手.

(1) 具體的函數(shù)模型關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的的一些函數(shù)(奇函數(shù))如:f(x) =x,f(x) =x3,f(x) =,f(x) =sinx,f(x)=tanx,關(guān)于y軸對稱的函數(shù)(偶函數(shù))如:f(x)=x2,f(x)=cosx,f(x)=|x|,f(x)=ln|x|,f(x)=e|x|等.

(2) 抽象的函數(shù)模型若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足條件f(a+x) =f(b ?x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,反之亦然.若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽, 且滿足條件:f(a+x)+f(b ?x) = 2c, 則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,反之亦然.

2 基本函數(shù)模型的改造

對所選取的基本模型進(jìn)行加工、處理,變換模型的呈現(xiàn)形式,以考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng), 通過改造還可以更好地調(diào)整試題的難度系數(shù),以使得試題的命制更科學(xué)、合理.以下我們通過構(gòu)造(1,2)為對稱中心的函數(shù)進(jìn)行說明.

(1) 直接改造由一些具有對稱性的函數(shù)圖象經(jīng)過平移、伸縮和對稱等變換, 其對稱性保持不變這一性質(zhì), 所以可通過這樣的一種方式對一些具有對稱性的基本函數(shù)作一定的改造: 將奇函數(shù)y=圖象向右平移一個單位, 再向上平移兩個單位得y=此時(shí), 所給的函數(shù)f(x) =的圖象便是關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對稱.又如選取奇函數(shù)y=x3作為基本函數(shù), 通過同樣的平移變換則可得函數(shù)y= (x ?1)3+2 =x3?3x2+3x+1,這樣函數(shù)f(x) =x3?3x2+3x+1 圖象的對稱中心也是點(diǎn)(1,2).對于抽象函數(shù), 也可利用平移、伸縮等手段對相關(guān)模型進(jìn)行加工、改造.如函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(a+x)+f(b ?x) = 2c, 則函數(shù)y=f(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱, 反之亦然.我們可作如下改造: 函數(shù)y=f(x+1) 關(guān)于點(diǎn)(0,2)成中心對稱或是函數(shù)y=f(x+1)?2 是一個奇函數(shù);或函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足條件:f(1+x)+f(1?x) = 4.這樣的改造也是可以獲得函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對稱.

(2) 間接改造為使改造后的模型的一種條件更為隱蔽,更好地考查學(xué)生的某些方面的核心素養(yǎng),如運(yùn)算素養(yǎng),我們可通過運(yùn)算公式f(x)+f(2?x)=4 完成模型的改造,如:已知函數(shù)為f(x) =此時(shí)函數(shù)y=f(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對稱.

3 搭建特定模型,命制試題

完成基本模型的改造之后,我們必須將改造過的兩個函數(shù)模型有機(jī)地結(jié)合在一起、置入背景,融模型于特定的背景之中,搭建出特定的模型,以便更好的對所命制的試題進(jìn)行科學(xué)、合理的呈現(xiàn),如:

(1) 移植變換構(gòu)建模型把改造后的基本函數(shù)模型移植到經(jīng)典的高考試題所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型之中,這樣就能高效地命制出試題.

選取兩個具體函數(shù)模塊進(jìn)行組合

例1函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=sinπ(x?1)+2(?2 ≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于( )

A.2 B.4 C.6 D.8

命題思路本題選擇了兩個以(1,2)為對稱中心的具體函數(shù)組合命制試題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化函數(shù),奇、偶函數(shù)圖象的變換,以及利用對稱性進(jìn)行求值等知識.

解函數(shù)y=的圖象是奇函數(shù)y=的圖象向右平移1 個單位再向上平移2 個單位得到的, 圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱.函數(shù)y= sinπ(x ?1)+2 的圖象是由函數(shù)y= sinπx的圖象向右平移1 個單位再向上平移2 個單位得到, 因而函數(shù)y= sinπ(x ?1) + 2 的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2) 對稱.作草圖可知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y= sinπ(x ?1)+2(?2 ≤x≤4)的圖象交點(diǎn)共有2 對,每一對交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對稱,橫坐標(biāo)之和為2,故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于4.選B.

例2(將一個抽象函數(shù)與一個具體函數(shù)進(jìn)行組合)已知函數(shù)f(x)(x ∈R)滿足f(1?x)+f(1+x)=4,若函數(shù)y=與y=f(x) 圖像的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym),則=( ).

A.0 B.mC.2mD.3m

命題思路本題給出了一個有對稱中心的抽象函數(shù)和一個具有相同對稱中心的具體函數(shù),結(jié)合交點(diǎn)的對稱性求各個交點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和,若能熟練從兩類函數(shù)(抽象與具體函數(shù))挖掘圖象的對稱特征,則可以順利求解.

解題目所給的抽象函數(shù)與具體函數(shù)均有對稱中心(1,2), 則相應(yīng)的交點(diǎn)也會關(guān)于點(diǎn)(1,2) 對稱, 所以×4 = 2m, 則=m+2m=3m.選擇D.

例3(對兩個抽象函數(shù)加以組合)已知函數(shù)f(x)(x ∈R)滿足f(1?x)+f(1+x) = 4,若函數(shù)y=g(x ?1)+2 是一個奇函數(shù),函數(shù)y=g(x)與y=f(x)圖像的交點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym),則m∑i=1(xi+yi)=( ).

A.0 B.mC.2mD.3m

命題思路本題給出了兩個有相同對稱中心的抽象函數(shù),求各個交點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和,若能熟練從兩個抽象函數(shù)尋找出圖象的對稱特征,則可順利求解.(解法同例2,過程從略.)

(2) 逆向變換構(gòu)建模型把問題的條件和結(jié)論進(jìn)行逆向轉(zhuǎn)換,由果到因,進(jìn)行思考與命制試題.

例4已知函數(shù)f(x) =x3?3x2+ 3x+ 1, 函數(shù)y=g(x+ 1) 關(guān)于點(diǎn)(0,2) 成中心對稱, 若函數(shù)f(x) =x3?3x2+3x+1 與y=g(x)圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為3,則兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)值為( )

A.1 B.2 C.3 D.4

命題思路本題給出了有相同對稱中心的一個抽象函數(shù)和一個具體函數(shù),通過逆向變換,把兩對稱函數(shù)函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)值的和,判斷兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)或轉(zhuǎn)化求解方程的根的個數(shù)等問題.建構(gòu)模型即給出交點(diǎn)縱坐標(biāo)的和,求交點(diǎn)的個數(shù).

解由于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ?=0)的圖象的對稱中心為這點(diǎn)恰為三次函數(shù)的拐點(diǎn)(凹凸分界點(diǎn)).本題利用三次函數(shù)對稱特征構(gòu)造出對稱中心為(1,2)的函數(shù),y=g(x)的對稱中心也是(1,2),交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為3,說明兩函數(shù)圖象有三個交點(diǎn),其中對稱中心也是兩函數(shù)圖象的一個交點(diǎn).

(3) 類似變換構(gòu)建模型通過類比知識內(nèi)容、遷移解題思路、方法等變換構(gòu)建相似的模型,命制試題進(jìn)行考查.

例5已知函數(shù)f(x) =x2?2x+ae|x?1|有唯一零點(diǎn),則a=( ),

命題思路將具有對稱中心的函數(shù)變換為軸對稱函數(shù)的進(jìn)行對稱函數(shù)模型的構(gòu)造,并利用其函數(shù)圖象交點(diǎn)的對稱性進(jìn)行問題的設(shè)計(jì)、命制試題,利用類似變換,構(gòu)建模型,命制試題也是教師平時(shí)命題常用的一種手法.

解令g(x) =x2?2x,h(x) =ae|x?1|, 則 函 數(shù)f(x) =g(x) +h(x).由于函數(shù)g(x)、h(x) 的圖象均關(guān)于直線x=1 成軸對稱,因而函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)有唯一零點(diǎn),所以必有f(1)=0,解得a=1,所以選D.

(4) 弱(強(qiáng))化條件構(gòu)建模型加強(qiáng)條件與弱化條件是利用模型命制試題常用的兩種方法,通過弱(強(qiáng))化題目所給的條件增加或降低試題的難度,使它適合不同層次的學(xué)生.

例6設(shè)函數(shù)f(x) = (x ?1)2sin(x ?1) + 2 在區(qū)間[?1,3]上的最大值和最小值分別為M,m,試確定M+m的值.

命題思路把兩個具有對稱中心的函數(shù)的交點(diǎn)改造成為一個有對稱中心的函數(shù)圖象在某個對稱區(qū)間的最大值與最小值的和,通過弱化條件進(jìn)行試題的改造,有時(shí)也可收到意想不到的效果.

解因?yàn)楹瘮?shù)f(x) = (x ?1)2sin(x ?1)+2 的圖象可以看作是函數(shù)g(x)=x2·sinx的圖象向右平移1 個單位,再向上平移2 個單位而得到的,由于g(x)是奇函數(shù),關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對稱,圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱,所以M+m=4.

例7已知函數(shù)為f(x)=的值為( )

A.2019 B.2020 C.4039 D.4040

命題思路給定一具有對稱中心(1,1)的函數(shù),把兩個函數(shù)弱化為一個函數(shù),通過對結(jié)論的設(shè)計(jì),利用對稱的性質(zhì)進(jìn)行求解計(jì)算,通過條件弱化進(jìn)行試題的改造,所以這些更見教師命制試題的功底和能力.

解因?yàn)閒(x)+f(2?x) = 2,其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對稱,即f(x)+f(2?x)=2,從而有

所以

故選C.

四、加強(qiáng)驗(yàn)證,完善試題

科學(xué)性和思想性是評價(jià)試題命制好壞的一個很重要標(biāo)準(zhǔn).試題的科學(xué)性要求試題合理、完整,經(jīng)得起“推敲”,做到零失誤.在命題過程中,除了要保證文字、符號、標(biāo)點(diǎn)和圖表準(zhǔn)確無誤之外,更要從不同角度運(yùn)用邏輯推理的方法進(jìn)行多次推理、演算,以保證結(jié)論的存在性和正確性.盡最大可能地保證試題命制的科學(xué)性,杜絕技術(shù)性錯誤的產(chǎn)生.試題思想性則是一道題目是否能夠成為經(jīng)典之作,是否具有一定的啟示性,是否成為“好題”的關(guān)鍵.為此,要求命題者要給試題注入數(shù)學(xué)思想,讓數(shù)學(xué)思想溶解于試題的情境中.如本文所羅列的高考試題和其變式問題,其函數(shù)解析式均具有對稱的特征,融入了對稱的數(shù)學(xué)思想,而使得試題的意境優(yōu)美而富有活力.顯然借助經(jīng)典的高考試題是試題命制作的一種手段,也是高效的.試題模擬命制完成之前,可借助學(xué)生和同行的解答以保證試題的完整性和科學(xué)性,不出現(xiàn)漏洞;也可以借助說題這種教研形式進(jìn)行試題的深度研究,以達(dá)到數(shù)學(xué)思想性的要求.

試題的命制方法有很多,“經(jīng)典”的高考試題是教師平時(shí)命制試題的“源泉”,充分提取高考試題的模型,通過植入變換、逆向變換、類似變換、數(shù)形變換、幾何變換、弱(強(qiáng))化條件等方法進(jìn)行試題的命制嘗試,充分體驗(yàn)高考經(jīng)典試題的命制手法,靈活模擬試題的命制,應(yīng)該成為教師教學(xué)的一項(xiàng)基本功,也一定會為教師的教育教學(xué)帶來良好的收益.