茍藝星，王軍強，李 洋+

(1.西北工業(yè)大學(xué) 生產(chǎn)與運作系統(tǒng)性能分析中心，陜西 西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院 工業(yè)工程系，陜西 西安 710072)

0 引言

數(shù)字孿生(digital twin)以數(shù)字化方式創(chuàng)建物理車間的虛擬模型，通過虛實聯(lián)動反饋、數(shù)據(jù)融合分析、決策迭代優(yōu)化等手段，實現(xiàn)物理車間與虛擬模型的雙向映射和實時交互[1-2]，輔助車間管理人員更好地推演生產(chǎn)進程、應(yīng)對隨機擾動，為資源優(yōu)化配置、產(chǎn)線快速重組等過程管控提供了有效的技術(shù)支撐。

相比傳統(tǒng)車間，數(shù)字孿生車間在生產(chǎn)過程管控方面具有以下優(yōu)勢：

(1)生產(chǎn)數(shù)據(jù)采集的便捷性 在數(shù)字孿生車間中，隨著信息技術(shù)和傳感器技術(shù)的廣泛應(yīng)用，獲取車間生產(chǎn)運行狀態(tài)、生產(chǎn)過程管控數(shù)據(jù)和虛實交互推演數(shù)據(jù)更加便捷[3-4]。基于數(shù)據(jù)采集的便捷性和實時性等優(yōu)勢，車間管理人員能夠及時捕捉生產(chǎn)線的運行狀態(tài)、隨機擾動等數(shù)據(jù)，為實現(xiàn)物理車間與虛擬車間的實時交互提供了數(shù)據(jù)支撐。

(2)計劃調(diào)度安排的有效性 在傳統(tǒng)車間中，生產(chǎn)計劃調(diào)度一般在生產(chǎn)開始前制定，很難應(yīng)對執(zhí)行過程中的擾動，造成計劃調(diào)度在實際執(zhí)行中指導(dǎo)性不強、效果不佳等問題。在數(shù)字孿生車間中，通過實時采集生產(chǎn)數(shù)據(jù)監(jiān)控生產(chǎn)計劃調(diào)度的實施情況，并根據(jù)生產(chǎn)過程中的擾動情況及時調(diào)整計劃調(diào)度，提升了計劃調(diào)度安排的有效性。

(3)生產(chǎn)過程控制的實時性 在傳統(tǒng)車間中，當(dāng)產(chǎn)線受到機器故障、物料中斷、質(zhì)量缺陷等隨機擾動影響時，通過現(xiàn)場臨時采取措施進行應(yīng)急調(diào)整，導(dǎo)致生產(chǎn)過程控制的實時性難以保障，在一定程度上會影響生產(chǎn)進程的順利進行。在數(shù)字孿生車間中，通過虛實映射、虛實交互、迭代優(yōu)化，能夠及時應(yīng)對擾動影響、優(yōu)化產(chǎn)線性能，保證了生產(chǎn)過程控制的實時性。

本文面向考慮質(zhì)檢報廢的流水線，剖析產(chǎn)品質(zhì)量的可靠性、擾動事件的隨機性、緩沖容量的有限性等因素的影響，利用數(shù)字孿生車間環(huán)境下生產(chǎn)數(shù)據(jù)采集的實時性與便捷性，在全面掌控生產(chǎn)運行數(shù)據(jù)和擾動事件的基礎(chǔ)上，探究生產(chǎn)系統(tǒng)性能在隨機擾動影響下的實時變化情況。采用事件驅(qū)動的建模方法，構(gòu)建流水線性能評估模型，研究系統(tǒng)性能與擾動事件之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，揭示擾動事件在生產(chǎn)過程中的作用機理，定量確定系統(tǒng)生產(chǎn)損失和有效產(chǎn)出，并有針對性地制訂質(zhì)檢機器配置優(yōu)化方案，以提升生產(chǎn)效率、提高系統(tǒng)產(chǎn)出、降低生產(chǎn)成本，為準(zhǔn)確了解產(chǎn)線狀態(tài)、科學(xué)評估系統(tǒng)性能、及時應(yīng)對擾動影響提供科學(xué)的理論依據(jù)和創(chuàng)新的研究方法。

1 文獻綜述

1.1 生產(chǎn)系統(tǒng)性能評估

生產(chǎn)系統(tǒng)性能評估旨在利用數(shù)學(xué)模型刻畫生產(chǎn)過程，分析系統(tǒng)的演化性質(zhì)和運行規(guī)律，為生產(chǎn)系統(tǒng)性能的持續(xù)改進與提升提供理論支撐和決策依據(jù)。常用的性能評估方法包括解析方法、仿真方法和事件驅(qū)動方法。

解析方法[5-7]利用隨機過程等數(shù)學(xué)工具，刻畫工件與機器狀態(tài)和緩沖容量的交互關(guān)系，基于機器和緩沖區(qū)特征參數(shù)量化系統(tǒng)產(chǎn)出、在制品水平等系統(tǒng)性能指標(biāo)，旨在探索生產(chǎn)系統(tǒng)運作的基本法則和運行規(guī)律。解析方法的優(yōu)勢在于能夠針對同一類生產(chǎn)線快速提供一致的分析結(jié)果，而且能夠分析影響因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系；不足是需要對生產(chǎn)線進行一定程度地簡化，難以準(zhǔn)確分析復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)的性能。另外，性能評估僅抽取了機器故障概率分布、緩沖容量大小等數(shù)據(jù)，忽視了數(shù)字孿生環(huán)境下產(chǎn)線實時數(shù)據(jù)的利用價值。

仿真方法[8-9]對生產(chǎn)系統(tǒng)運行過程建立仿真模型，通過模擬仿真實驗分析或者反復(fù)試驗(trial-and-error)進行系統(tǒng)性能評估。仿真方法的優(yōu)勢在于能夠應(yīng)對復(fù)雜應(yīng)用場景和動態(tài)變化情形，不足是難以分析性能指標(biāo)與擾動等參數(shù)之間的關(guān)系，也難以快速建立可靠的性能評估仿真模型。實際上，在構(gòu)建性能評估的仿真模型時，一般需要較長時間、多次運行才能較好地評估一條產(chǎn)線的性能。因此，很難針對不同的生產(chǎn)線建立通用的性能評估仿真模型，而且仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性依賴于所建仿真模型的準(zhǔn)確性。

不同于基于隨機過程的解析方法和基于仿真模型的仿真方法，事件驅(qū)動方法利用生產(chǎn)系統(tǒng)實時收集的系統(tǒng)運行數(shù)據(jù)捕捉生產(chǎn)過程中的擾動事件，研究系統(tǒng)性能與擾動等參數(shù)之間的關(guān)系，探究隨機擾動情景下系統(tǒng)性能的實時變化情況。Chang等[10]利用實時生產(chǎn)數(shù)據(jù)，建立了串行生產(chǎn)線的瞬態(tài)分析框架，研究了停機事件對系統(tǒng)產(chǎn)出的影響，指出只有停機時間長度超過機會時間窗的閾值時，才會導(dǎo)致系統(tǒng)生產(chǎn)損失；Zou等[11]針對具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)系統(tǒng)，提出虛擬理想潔凈系統(tǒng)的概念，建立了事件驅(qū)動的瞬態(tài)分析模型，得到有效中斷時間、生產(chǎn)損失等系統(tǒng)性能指標(biāo)；Li[12]提出事件驅(qū)動的瓶頸識別方法，利用機器工作、饑餓和阻塞時間等數(shù)據(jù)識別瓶頸機器的位置，并通過建立Markov鏈模型驗證了所提方法的有效性。針對能耗控制問題，Wang等[13]定義了一個動態(tài)自適應(yīng)模糊推理Petri網(wǎng)，將能耗控制動作表示為具有一定值的加權(quán)模糊生產(chǎn)規(guī)則，將實時生產(chǎn)速率和緩沖水平等數(shù)據(jù)格式化為語言模糊集，立足機器狀態(tài)，基于模糊推理算法優(yōu)化能耗控制策略；Li等[14]采用事件驅(qū)動的建模方法，分析了能耗控制事件造成的生產(chǎn)損失，提出一種基于遺傳算法的能耗控制算法，實現(xiàn)了能耗與生產(chǎn)損失之間的均衡。

1.2 質(zhì)檢機器配置優(yōu)化

在生產(chǎn)系統(tǒng)中，質(zhì)量與系統(tǒng)產(chǎn)出緊密關(guān)聯(lián)、相互影響。當(dāng)某一臺機器上的工件出現(xiàn)質(zhì)量問題時，不僅會影響機器自身的產(chǎn)出，還會使其他機器因加工不合格品導(dǎo)致生產(chǎn)能力浪費，從而影響系統(tǒng)整體的產(chǎn)出。因此，研究質(zhì)量對生產(chǎn)系統(tǒng)的影響得到越來越多的關(guān)注。

現(xiàn)有研究大多通過構(gòu)建生產(chǎn)系統(tǒng)解析模型，利用獨立的系統(tǒng)生產(chǎn)率或質(zhì)量合格率等指標(biāo)評價系統(tǒng)性能。裴植等[15]針對包含伯努利不可靠機器和雙返工線的串行生產(chǎn)系統(tǒng)，考慮兩種不同的加工換線策略，采用重疊式分解方法和聚合方法構(gòu)建系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，求解獲得了系統(tǒng)的產(chǎn)出率；Du等[16]綜合考慮產(chǎn)品柔性和質(zhì)量傳播對最終產(chǎn)品質(zhì)量的影響，建立了多產(chǎn)品多階段生產(chǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)Markov質(zhì)量模型，獲得了產(chǎn)品質(zhì)量合格率，并分析了不同產(chǎn)品加工順序?qū)|(zhì)量性能的影響；周炳海等[17]針對多環(huán)質(zhì)量返工串行生產(chǎn)線，構(gòu)建了緩沖水平的動態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣，獲得了在制品水平和生產(chǎn)率等系統(tǒng)性能指標(biāo)，并通過數(shù)值實驗分析了系統(tǒng)參數(shù)對性能指標(biāo)的影響；張恒等[18]針對考慮返工和產(chǎn)品多態(tài)性的多級串行生產(chǎn)系統(tǒng)，提出基于廣義隨機Petri網(wǎng)的模塊化建模方法，以兩機器一緩沖Markov鏈模型為基礎(chǔ)，采用分解方法評估了該系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

還有一些研究綜合考慮生產(chǎn)系統(tǒng)與產(chǎn)品質(zhì)量之間的相互作用，通過建立生產(chǎn)與質(zhì)量的集成優(yōu)化模型優(yōu)化質(zhì)檢機器配置策略，進而提高系統(tǒng)產(chǎn)出和產(chǎn)品質(zhì)量。Meerkov等[19]針對由伯努利加工機器和質(zhì)檢機器組成的串行生產(chǎn)線，利用解析方法對生產(chǎn)線進行性能評估，并提出一種質(zhì)檢機器配置方法，以最大化有效生產(chǎn)率；Ju等[20]針對電池裝配線建立質(zhì)量流解析模型，分析了裝配線的特性并將其集成到持續(xù)改進方法中，以達到提高產(chǎn)品質(zhì)量的目的；Shetwan等[21]研究了多級生產(chǎn)系統(tǒng)的質(zhì)量檢測點分配問題，通過建立一般化模型驗證了檢測策略的有效性，同時指出目前研究多采用啟發(fā)式算法，生物啟發(fā)式算法值得進一步研究；Sarkar等[22]針對考慮兩類檢測錯誤和保修成本的不完美生產(chǎn)系統(tǒng)，分析了從受控狀態(tài)轉(zhuǎn)換到失控狀態(tài)的惡化生產(chǎn)過程，建立了成本優(yōu)化模型，并提出質(zhì)量檢測方法。

綜上所述，本文采用事件驅(qū)動方法進行產(chǎn)線性能評估及質(zhì)檢機器配置優(yōu)化具有更好的優(yōu)勢。面向一類生產(chǎn)線，事件驅(qū)動方法能夠建立一類通用的產(chǎn)線性能評估模型，不僅可以更加準(zhǔn)確地分析擾動帶來的影響，而且能夠更加快速地評估擾動影響下的產(chǎn)線性能。面向數(shù)字孿生車間，在全面掌控實時生產(chǎn)數(shù)據(jù)和擾動事件的情況下，事件驅(qū)動方法更適用于擾動影響下的產(chǎn)線性能評估。進一步，在事件驅(qū)動的產(chǎn)線性能評估模型基礎(chǔ)上，分析擾動影響下產(chǎn)線性能的實時變化情況，并針對擾動及時調(diào)整生產(chǎn)，為生產(chǎn)過程的實時管控與迭代優(yōu)化提供支撐。

2 問題的提出與學(xué)術(shù)思路

2.1 問題描述

流水線中一旦出現(xiàn)不合格品，就會造成生產(chǎn)能力的浪費。在流水線中設(shè)置質(zhì)檢機器能夠及時檢測不合格品，降低其在流水線中停留的時間，進而減少對生產(chǎn)能力的浪費，然而如果質(zhì)檢機器設(shè)置太多，則會增加檢測成本。如何通過優(yōu)化質(zhì)檢機器配置并及時檢測出不合格品，達到均衡系統(tǒng)生產(chǎn)損失與質(zhì)量檢測成本，進而提高系統(tǒng)有效產(chǎn)出的目的，是亟待解決的難點。

本文的研究對象為考慮質(zhì)檢報廢的流水線，該流水線由M臺機器和M-1個緩沖區(qū)組成，如圖1所示。流水線中有兩類機器：①加工機器，僅用于加工工件，用無陰影的矩形表示；②質(zhì)檢機器，具備附加的檢測功能，既能加工工件也能檢測工件質(zhì)量，并將檢測出的不合格品直接報廢，用帶陰影的矩形表示。機器之間的緩沖區(qū)用于存儲上游機器加工完成的工件，用圓圈表示。每臺機器都能加工工件，但是存在一定概率會產(chǎn)生不合格品，而不合格品只能通過質(zhì)檢機器檢測得到。在工件未流動到質(zhì)檢機器之前，不合格品在流水線中繼續(xù)加工和流動。

為便于下文分析，以質(zhì)檢機器為分界點將流水線分為N個子系統(tǒng)。在每個子系統(tǒng)中，最后一臺機器為質(zhì)檢機器，其他機器為加工機器。

2.2 模型假設(shè)

本文采用連續(xù)流模型對考慮質(zhì)檢報廢的流水線進行建模和分析，下面介紹系統(tǒng)運行采用的基本假設(shè)和相關(guān)定義。

2.2.1 基本假設(shè)

(1)機器相關(guān)假設(shè)

1)在流水線的第n(1≤n≤N)個子系統(tǒng)中，mln,cn≤ln≤dn-1為加工機器，mdn為質(zhì)檢機器。對于兩個相鄰的子系統(tǒng)，cn+1=dn+1。

2)ml表示流水線中的第l(1≤l≤M)臺機器，其額定加工速率為Sl。機器的實際加工速率不超過額定加工速率，用sl(t)表示機器ml在t時刻的實際加工速率。

3)機器ml有工作和故障兩種狀態(tài)，t時刻機器ml的狀態(tài)用αl(t)∈{0,1}表示。當(dāng)t時刻機器ml處于工作狀態(tài)，即αl(t)=1時，正常加工工件；當(dāng)t時刻機器ml處于故障狀態(tài)，即αl(t)=0時，無法加工工件。

4)機器ml(1≤l≤M)加工服從指數(shù)可靠性模型。若機器ml在t時刻處于工作狀態(tài)，則其在時間區(qū)間[t,t+δt),δt→0內(nèi)有λlδt的概率發(fā)生故障，稱λl為機器ml的故障率；若機器ml處于故障狀態(tài)，則其在時間區(qū)間[t,t+δt),δt→0內(nèi)有μlδt的概率被修復(fù)，稱μl為機器ml的修復(fù)率。

5)機器ml(1≤l≤M)產(chǎn)生不合格品服從伯努利質(zhì)量可靠性模型，即在時間區(qū)間[t,t+δt),δt→0內(nèi)，機器ml以glδt的概率生產(chǎn)出合格品，以(1-gl)δt的概率生產(chǎn)出不合格品。

6)機器故障為操作相關(guān)故障(Operation Dependent Failure, ODF)，即機器在饑餓或阻塞時不會發(fā)生故障。

7)為了保證成品質(zhì)量，流水線中最后一臺機器mM為質(zhì)檢機器。

8)質(zhì)檢機器既不會漏檢不合格品，也不會將合格品誤檢為不合格品。

9)在[0,T)時間段內(nèi)，每臺質(zhì)檢機器檢測出并報廢的工件數(shù)量均通過傳感器實時收集生產(chǎn)數(shù)據(jù)獲得。

10)若t時刻機器ml處于工作狀態(tài)，且上游緩沖區(qū)bl-1為空，則稱機器ml在t時刻饑餓。第一臺機器m1不會發(fā)生饑餓。

11)若t時刻機器ml處于工作狀態(tài)，下游緩沖區(qū)bl已滿，且下游機器ml+1不能從緩沖區(qū)bl中提取工件進行加工，則稱機器ml在t時刻阻塞。最后一臺機器mM不會發(fā)生阻塞。

(2)緩沖區(qū)相關(guān)假設(shè)

1)bl表示流水線中第l(1≤l≤M-1)個緩沖區(qū)，其緩沖容量為Bl。bl(t)表示t時刻緩沖區(qū)bl中的工件數(shù)量。

2)在連續(xù)流生產(chǎn)系統(tǒng)中，緩沖區(qū)bl(1≤l≤M-1)中的工件數(shù)量可以是從0到其容量Bl之間的任意常數(shù)，即bl(t)∈[0,Bl]。

2.2.2 相關(guān)定義

為建模需要，進一步引入以下定義：

定義1最慢機器。

在流水線中，若只有一臺額定加工速率最小的機器，則該機器是最慢機器；若流水線中同時存在多臺額定加工速率最小的機器，則選擇額定加工速率最小且最靠近生產(chǎn)線末尾的機器作為最慢機器。本文假設(shè)考慮質(zhì)檢報廢的流水線中只有一臺最慢機器。

定義2擾動事件。

生產(chǎn)過程中會出現(xiàn)一些影響流水線產(chǎn)出的因素，例如機器發(fā)生隨機故障、產(chǎn)品出現(xiàn)質(zhì)量問題等，稱這些影響因素為擾動事件。本文考慮機器故障和質(zhì)檢報廢兩種擾動事件。

(1)機器故障事件

在流水線運行過程中，刀具磨損、斷電等因素會導(dǎo)致機器發(fā)生隨機故障。假設(shè)在[0,T)內(nèi)，流水線中發(fā)生的機器故障事件總數(shù)為G，則機器故障事件集合表示為Ε=[ε1,ε2,…,εg,…,εG]。

εg=(ml,tg,dg)表示第g(1≤g≤G)個機器故障事件，具體含義為：機器ml(1≤l≤M)在tg時刻發(fā)生故障，直到tg+dg時刻故障被修復(fù)。質(zhì)檢機器和加工機器均可能發(fā)生機器故障事件。

(2)質(zhì)檢報廢事件

流水線中質(zhì)檢機器檢測出不合格品后直接報廢，檢測不合格品的這段時間不產(chǎn)生任何有效產(chǎn)出。因此，本文將質(zhì)檢機器檢測出不合格品并報廢的操作定義為質(zhì)檢報廢事件。

ξh=(mdk,th,dh)表示第h(1≤h≤H)個質(zhì)檢報廢事件，具體含義為：質(zhì)檢機器mdk(1≤k≤N)在[th,th+dh)內(nèi)檢測出的工件均為不合格品。

定義3系統(tǒng)生產(chǎn)損失。

將理想情況下和實際生產(chǎn)中系統(tǒng)產(chǎn)出差值定義為系統(tǒng)生產(chǎn)損失PPL，

考慮到生產(chǎn)系統(tǒng)中最后一臺機器的產(chǎn)出是系統(tǒng)產(chǎn)出[6]，本文將生產(chǎn)系統(tǒng)中最后一臺機器的生產(chǎn)損失稱為系統(tǒng)生產(chǎn)損失。

2.3 學(xué)術(shù)思路

本文以考慮質(zhì)檢報廢的流水線為研究對象，利用數(shù)字孿生車間環(huán)境下生產(chǎn)數(shù)據(jù)采集的實時性與便捷性，捕獲流水線運行過程中機器故障和質(zhì)檢報廢等擾動事件，分析擾動事件與流水線整體性能之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，探索事件驅(qū)動的流水線性能評估方法與質(zhì)檢機器配置優(yōu)化方法，以達到最小化系統(tǒng)運行成本的目的。具體地，采用事件驅(qū)動的建模方法對流水線性能進行實時評估，構(gòu)建事件驅(qū)動的系統(tǒng)生產(chǎn)損失模型，揭示機器故障和質(zhì)檢報廢影響生產(chǎn)過程的作用機理，量化系統(tǒng)生產(chǎn)損失、系統(tǒng)有效產(chǎn)出等系統(tǒng)性能指標(biāo)。在事件驅(qū)動的系統(tǒng)生產(chǎn)損失模型基礎(chǔ)上，通過均衡系統(tǒng)生產(chǎn)損失與質(zhì)檢機器投入，以最小化系統(tǒng)總成本為目標(biāo)構(gòu)建質(zhì)檢機器配置優(yōu)化模型，并采用遺傳算法求解獲得質(zhì)檢機器配置優(yōu)化方案。本文的研究思路如圖2所示。

基于實時生產(chǎn)數(shù)據(jù)開展事件驅(qū)動的流水線性能評估與質(zhì)檢機器配置優(yōu)化研究，能夠為數(shù)字孿生車間的虛實映射、以虛控實與迭代優(yōu)化提供決策依據(jù)和技術(shù)支撐，具體表現(xiàn)如下：

(1)數(shù)字孿生車間為流水線性能建模仿真提供了虛實映射支撐 本文以數(shù)字孿生車間的實時生產(chǎn)數(shù)據(jù)為支撐，利用數(shù)據(jù)感知的便利性捕獲生產(chǎn)過程中機器故障與質(zhì)檢報廢等擾動事件，輸入事件驅(qū)動的流水線性能評估模型，實時分析擾動事件對系統(tǒng)產(chǎn)出的影響，輸出系統(tǒng)生產(chǎn)損失、系統(tǒng)有效產(chǎn)出等性能指標(biāo)，實現(xiàn)了物理流水線到虛擬流水線的實時映射。

(2)流水線性能評估為流水線的質(zhì)檢機器位置與數(shù)量優(yōu)化提供了決策依據(jù) 為了規(guī)避擾動事件帶來的系統(tǒng)生產(chǎn)損失，選擇合適的位置投入質(zhì)檢機器，盡早檢測出不合格品，降低甚至杜絕下游機器加工不合格品造成的浪費。本文通過均衡系統(tǒng)生產(chǎn)損失與質(zhì)檢機器投入、優(yōu)化質(zhì)檢機器的配置方案、指導(dǎo)車間管理人員對質(zhì)檢機器的配置情況進行調(diào)整，達到實時反饋、以虛控實的目的。

(3)流水線性能評估與質(zhì)檢機器配置進行迭代優(yōu)化為數(shù)字孿生系統(tǒng)管控提供了運作機制 以流水線實時生產(chǎn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用事件驅(qū)動的建模方法建立物理流水線運行過程數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)流水線性能的實時評估以及質(zhì)檢機器配置優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果反饋到物理流水線。如果發(fā)生新的擾動事件，則進行“擾動事件影響分析—系統(tǒng)生產(chǎn)損失分析—質(zhì)檢機器配置優(yōu)化”迭代優(yōu)化，最終實現(xiàn)生產(chǎn)過程管控和系統(tǒng)性能優(yōu)化。

3 系統(tǒng)生產(chǎn)損失模型的構(gòu)建

3.1 擾動事件影響分析

本節(jié)采用事件驅(qū)動的建模方法，定量分析擾動事件對系統(tǒng)產(chǎn)出的影響，量化系統(tǒng)生產(chǎn)損失。根據(jù)工件流守恒原理，Liu等(2012)[23]證明了在串行生產(chǎn)系統(tǒng)中，系統(tǒng)生產(chǎn)損失等于最慢機器的生產(chǎn)損失。然而，在本文研究的流水線中，因為質(zhì)檢機器將檢測出的不合格品直接報廢，導(dǎo)致進入第一臺機器的工件總數(shù)與流出最后一臺機器的工件總數(shù)不相等，所以在工件流不守恒情形下分析擾動事件對系統(tǒng)的影響是建模的難點。

命題1對流水線中最后一臺機器mM，?T′>T*，使以下等式成立：

(1)

證明首先，確定有無擾動事件情形下最慢機器與最后一臺機器之間的產(chǎn)出關(guān)系。

(2)

(3)

其次，分別分析無擾動事件和有擾動事件發(fā)生時的系統(tǒng)產(chǎn)出。

根據(jù)上述分析，式(2)簡化為

(4)

根據(jù)上述分析，式(3)簡化為

(5)

證畢。

(6)

3.2 系統(tǒng)生產(chǎn)損失分析

機器故障事件Ε=[ε1,…,εG]僅可能因?qū)е伦盥龣C器停機(饑餓、故障或阻塞)而造成生產(chǎn)損失PPLD(T)；質(zhì)檢報廢事件Ξ=[ξ1,…,ξH]既可能使最慢機器饑餓而造成生產(chǎn)損失PPLD(T)，也可能因最慢機器后質(zhì)檢機器檢測出不合格品而造成生產(chǎn)損失PPLQ(T)。針對兩種生產(chǎn)損失PPLD(T)和PPLQ(T)，下面分別分析生產(chǎn)損失產(chǎn)生的充分必要條件。

(1)PPLD(T)產(chǎn)生的充分必要條件

因此，PPLD(T)產(chǎn)生的充分必要條件是：?t∈[ti,ti+di]，使

(7)

基于上述分析，可得由于擾動事件ei(εi或ξi)發(fā)生而開始產(chǎn)生生產(chǎn)損失PPLD(T)的最小時間，數(shù)學(xué)表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

基于上述分析，可得由于事件εi發(fā)生而開始產(chǎn)生生產(chǎn)損失PPLD(T)的最小時間，數(shù)學(xué)表示為

bl-1(ti+d;εi)=Bl-1}。

(12)

綜上所述，因最慢機器停機而開始產(chǎn)生生產(chǎn)損失PPLD(T)的最小時間表示如下：

(2)PPLQ(T)產(chǎn)生的充分必要條件

(14)

命題2給定[0,T)內(nèi)影響生產(chǎn)過程的一系列機器故障事件Ε=[ε1,…,εG]和質(zhì)檢報廢事件Ξ=[ξ1,…,ξH]，則

(15)

根據(jù)命題1，系統(tǒng)生產(chǎn)損失PPL(T)=PPLD(T)+PPLQ(T)，將式(15)代入式(6)可得

(16)

4 質(zhì)檢機器配置優(yōu)化

質(zhì)檢機器的數(shù)量和位置對生產(chǎn)系統(tǒng)的性能有重要影響。質(zhì)檢機器設(shè)置太多會增加系統(tǒng)成本，設(shè)置太少則不易盡早發(fā)現(xiàn)不合格品，使得流水線中其他機器對不合格品進行不必要的加工而造成機器能力浪費。因此，本章提出一種優(yōu)化方法來決策質(zhì)檢機器的配置，以最小化系統(tǒng)成本。

4.1 質(zhì)檢機器配置優(yōu)化模型

用C(π)表示系統(tǒng)總成本。系統(tǒng)總成本由兩部分組成，即

C(π)=Cin+Cpl。

式中：Cin為質(zhì)檢機器投入成本；Cpl為系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本。

(1)質(zhì)檢機器投入成本

本文研究的流水線中，質(zhì)檢機器既可以加工工件，又可以檢測工件質(zhì)量，相比于僅加工工件的機器而言，質(zhì)檢機器的投入成本更高。流水線中所有質(zhì)檢機器的投入成本總和

(2)系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本

在[0,T)內(nèi)，系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本

Cpl=ωplPPL(T)。

式中：ωpl為系統(tǒng)生產(chǎn)損失的單位成本；PPL(T)表示在[0,T)內(nèi)的系統(tǒng)生產(chǎn)損失。

綜上所述，系統(tǒng)成本函數(shù)表示為

(17)

質(zhì)檢機器配置優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型表示如下：

s.t.

πl(wèi)∈{0,1},l=1,…,M-1；

πM=1。

4.2 優(yōu)化模型求解方法

系統(tǒng)生產(chǎn)損失PPL(T)與決策變量π之間的函數(shù)關(guān)系無法用線性函數(shù)表示，該優(yōu)化問題是一個復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，難以在有限時間范圍內(nèi)用解析方法求解得到精確解。遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)是一種非常有效的求解方法，已被廣泛應(yīng)用于求解非線性優(yōu)化問題。因此，本節(jié)基于GA對質(zhì)檢機器配置優(yōu)化模型進行求解。

為了便于表述，將基于GA的優(yōu)化方法稱為質(zhì)檢機器最優(yōu)配置(Optimal Inspection machine Allocation, OIA)算法。在每次迭代中，不斷改進和更新候選解種群，直到滿足終止條件為止，最終輸出最佳候選解。在尋優(yōu)過程中，記錄每一代最優(yōu)個體，以便于查詢比較。OIA算法具體步驟如下：

OIA算法

1.指定輸入?yún)?shù)：種群大小n，遺傳代數(shù)ζ，交叉概率pc，變異概率pm

2.設(shè)置初始種群：隨機生成n個個體，即n個可行解(決策變量π=(π1,…,πM))

3.計算適應(yīng)度：計算每個個體的適應(yīng)度，即系統(tǒng)成本函數(shù)的倒數(shù)1/C(π)

4.對于i=1到ζ

5. 選擇第i代解種群中最優(yōu)的兩個個體進行繁殖，并保存到候選解種群中

6. 對于j=1到(n-2)/2

7. 根據(jù)輪盤賭選擇方法從第i代解種群里選擇兩個個體I1和I2

10. 結(jié)束

11. 對于j=1到n-2

12. 從候選解種群里隨機選擇一個解I

13. 以概率pm進行變異生成一個新解I′

14. 將候選解種群里的解I更新為I′

15. 結(jié)束

16. 用候選解種群代替當(dāng)前的解種群并計算每個個體的適應(yīng)度

17. 返回候選解種群中的最優(yōu)解

18. 將候選解種群設(shè)置為空

19.結(jié)束

20.返回最終解種群中的最優(yōu)解

5 優(yōu)化方法的有效性驗證

5.1 實驗設(shè)計

本節(jié)選取由M臺機器和M-1個緩沖區(qū)組成的流水線為研究對象進行仿真實驗，如圖3所示。實驗所需參數(shù)及相關(guān)參數(shù)取值范圍設(shè)置如下：

(1)機器臺數(shù)M為了保證實驗的全面性，選取包含不同機器臺數(shù)的流水線驗證優(yōu)化方法的有效性，M∈{5,8,10,12}。

(2)額定加工速率Sl機器額定加工速率為Sl(單位：件/h)，Sl∈[3,8],1≤l≤M。

(3)平均無故障工作時間MTBFl和平均修復(fù)時間MTTRl機器ml的可靠性服從指數(shù)分布，其平均無故障工作時間為MTBFl(單位：h)，MTBFl∈[70,100],1≤l≤M；平均修復(fù)時間為MTTRl(單位：h)，MTTRl∈[5,15],1≤l≤M。

(4)良品率gl每臺機器ml的質(zhì)量可靠性服從伯努利分布，gl∈[0.9,1),1≤l≤M。

(5)緩沖容量Bl緩沖區(qū)bl的最大容量為Bl∈[20,35],1≤l≤M-1。

(7)系統(tǒng)生產(chǎn)損失的單位成本ωplωpl=10 元/件。

表1 5機器流水線相關(guān)參數(shù)

續(xù)表1

表2 8機器流水線相關(guān)參數(shù)

表3 10機器流水線相關(guān)參數(shù)

表4 12機器流水線相關(guān)參數(shù)

針對表1～表4所示的5機器、8機器、10機器和12機器流水線，利用4.2節(jié)所提的OIA算法尋找質(zhì)檢機器最優(yōu)配置方案。

OIA算法中所需的各項實驗參數(shù)設(shè)置如下：迭代次數(shù)ζ=50，種群大小n=20，交叉概率pc=0.9，變異概率pm=0.05。采用MATLAB軟件編寫程序，對考慮質(zhì)檢報廢的流水線運行過程進行仿真，仿真實驗在操作系統(tǒng)為Windows 10、處理器為Intel(R)Core(TM)i5-7500 CPU(3.40 GHz)、運行內(nèi)存為8.0 GB的實驗平臺上運行。

5.2 結(jié)果分析

針對5機器、8機器、10機器和12機器流水線，分別將OIA算法重復(fù)運行50次，50次實驗結(jié)果基本一致。采用OIA算法所得的質(zhì)檢機器配置方案如下：

(1)在5機器流水線中，優(yōu)化結(jié)果為π=(0,0,1,0,1)，即機器m3和m5為質(zhì)檢機器，其他機器均為加工機器。

(2)在8機器流水線中，優(yōu)化結(jié)果為π=(0,0,0,1,0,0,0,1)，即機器m4和m8為質(zhì)檢機器，其他機器均為加工機器。

(3)在10機器流水線中，優(yōu)化結(jié)果為π=(0,0,1,0,0,0,0,0,0,1)，即機器m3和m10為質(zhì)檢機器，其他機器均為加工機器。

(4)在12機器流水線中，優(yōu)化結(jié)果為π=(0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1)，即機器m4和m12為質(zhì)檢機器，其他機器均為加工機器。

為了驗證本文提出OIA算法的有效性，將其與3種質(zhì)檢機器配置方法進行比較。下面分別介紹3種質(zhì)檢機器配置方法：

(1)最少質(zhì)檢機器配置(Least Inspection machine Allocation, LIA)方法 只有流水線中最后一臺機器為質(zhì)檢機器，其他機器均為加工機器。

(2)最多質(zhì)檢機器配置(Most Inspection machine Allocation, MIA)方法 流水線中所有機器均為質(zhì)檢機器。

(3)隨機位置質(zhì)檢機器配置(Random Inspection machine Allocation, RIA)方法 流水線中的質(zhì)檢機器數(shù)量確定，但質(zhì)檢機器位置隨機。

為便于表述，加工機器用PO(Production only)表示，質(zhì)檢機器用PWQ(Production with quality inspection)表示。在4種質(zhì)檢機器配置方法下，5機器、8機器、10機器和12機器流水線分別對應(yīng)的4種質(zhì)檢機器配置方案如表5～表8所示。

表5 5機器流水線質(zhì)檢機器配置方案

表6 8機器流水線質(zhì)檢機器配置方案

表7 10機器流水線質(zhì)檢機器配置方案

表8 12機器流水線質(zhì)檢機器配置方案

針對上述選取的5機器、8機器、10機器和12機器流水線，在OIA算法與LIA，MIA方法下，將每條流水線分別仿真運行600 d，每天運行8 h，共4 800 h，獲得系統(tǒng)各項成本。在RIA方法下，保持與OIA算法相同的質(zhì)檢機器數(shù)量，僅改變質(zhì)檢機器位置，隨機生成100組實驗參數(shù)；針對每組參數(shù)，將流水線仿真運行600 d，每天運行8 h，共4 800 h。對100組實驗參數(shù)下流水線運行所得的系統(tǒng)各項成本求平均值，得到RIA方法的系統(tǒng)各項成本。

通過仿真實驗，將所提OIA算法與LIA，MIA，RIA方法進行對比，結(jié)果如圖4所示。

由圖4可得以下結(jié)論：

(1)LIA方法的系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本最高，RIA，OIA，MIA方法的系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本依次降低。原因是：質(zhì)檢機器越多，越能盡早地檢測出不合格品，避免了其他機器對不合格品進行不必要的加工，增加了系統(tǒng)產(chǎn)出，減少了系統(tǒng)生產(chǎn)損失。

(2)OIA算法和MIA方法的系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本接近，但系統(tǒng)總成本最低。原因是：在流水線中設(shè)置過多的質(zhì)檢機器并不能有效地減少系統(tǒng)生產(chǎn)損失，反而會增加質(zhì)檢機器投入成本，從而增加系統(tǒng)總成本。

(3)OIA算法比RIA方法的系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本低，兩者的質(zhì)檢機器投入成本相同，因此OIA算法比RIA方法的系統(tǒng)總成本低。原因是：在質(zhì)檢機器數(shù)量相同但位置不同的情況下，OIA算法能夠優(yōu)化質(zhì)檢機器配置方案，從而降低了系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本。

(4)OIA算法均優(yōu)于RIA，OIA，MIA方法。OIA算法通過均衡系統(tǒng)生產(chǎn)損失和質(zhì)檢機器投入對質(zhì)檢機器的位置和數(shù)量進行優(yōu)化，最終給出質(zhì)檢機器配置的優(yōu)化方案，降低了系統(tǒng)總成本；LIA方法得到最少質(zhì)檢機器配置方案，降低了質(zhì)檢機器的投入成本，但是增加了系統(tǒng)生產(chǎn)損失，產(chǎn)生了昂貴的系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本，從而增加了系統(tǒng)總成本；MIA方法得到一種貪婪的質(zhì)檢機器配置方案，流水線中每臺機器都是質(zhì)檢機器，減少了系統(tǒng)生產(chǎn)損失，但是增加了質(zhì)檢機器投入成本，從而增加了系統(tǒng)總成本；RIA方法保持與OIA算法相同的質(zhì)檢機器數(shù)量，但是沒有對質(zhì)檢機器位置進行優(yōu)化，增加了系統(tǒng)生產(chǎn)損失，從而增加了系統(tǒng)總成本。

6 結(jié)束語

數(shù)字孿生車間環(huán)境下的生產(chǎn)運行數(shù)據(jù)采集具有便捷性和實時性等優(yōu)勢，使得在產(chǎn)線運行過程中收集機器故障與質(zhì)檢報廢等擾動事件的信息成為可能，為產(chǎn)線性能實時評估和質(zhì)檢機器配置優(yōu)化提供了有效的支撐。本文面向考慮質(zhì)檢報廢的流水線，利用流水線運行過程的實時生產(chǎn)數(shù)據(jù)，定量描述了機器故障和質(zhì)檢報廢兩類擾動事件，分析了擾動事件對系統(tǒng)產(chǎn)出的影響，建立了事件驅(qū)動的系統(tǒng)生產(chǎn)損失模型，獲得了系統(tǒng)生產(chǎn)損失、系統(tǒng)有效產(chǎn)出等系統(tǒng)性能指標(biāo)。在系統(tǒng)生產(chǎn)損失模型的基礎(chǔ)上，綜合考慮質(zhì)檢機器投入成本與系統(tǒng)生產(chǎn)損失成本，以最小化系統(tǒng)總成本為目標(biāo)，建立了質(zhì)檢機器配置優(yōu)化模型，并采用遺傳算法進行求解獲得了質(zhì)檢機器配置的優(yōu)化方案。通過與最少質(zhì)檢機器配置、最多質(zhì)檢機器配置、隨機位置質(zhì)檢機器配置等方法進行對比，驗證了所提優(yōu)化方法的有效性。

在流水線運行過程中，不同時間段可能出現(xiàn)不同的擾動因素。在出現(xiàn)新的擾動事件后，調(diào)用本文所建的系統(tǒng)生產(chǎn)損失模型，重新分析新的擾動因素帶來的影響，科學(xué)評估新擾動情形下的系統(tǒng)性能，進而重新優(yōu)化質(zhì)檢機器配置，以應(yīng)對新的擾動對系統(tǒng)性能的影響。本文所提事件驅(qū)動的產(chǎn)線性能評估方法和質(zhì)檢機器配置優(yōu)化方法，為數(shù)字孿生車間中產(chǎn)線的性能提升及持續(xù)改進提供了理論基礎(chǔ)和決策依據(jù)。

本文研究的流水線中質(zhì)檢機器不存在檢測誤差，未來可以將研究對象拓展為質(zhì)檢機器存在檢測誤差的流水線，進一步研究該流水線的建模和質(zhì)檢機器配置優(yōu)化問題。為了適應(yīng)不同的實際生產(chǎn)情況，未來還可以研究返工、返修等其他不合格品處理方式下的流水線性能建模與優(yōu)化。