胡世軍，李治翔

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

動態(tài)性能是機床重要的性能指標[1]，不合理的機床結構設計會在實際加工過程中產生明顯的振動，進而影響加工精度。從總體來看，立式加工中心可以分為可動與不可動兩部分，不可動部分由底座和立柱組成，可動部分由橫梁、主軸箱組成。選擇子結構法對機床進行動力學分析與動態(tài)優(yōu)化時，應先建立各子結構的動力學模型，然后根據連接條件得到整機的動力學模型。根據機械系統(tǒng)的動力學方程，可以用慣性能(動能)、彈性能(勢能)、阻尼能和激振力輸入表示系統(tǒng)的振動特性[2]。李播博等[3]基于子結構模態(tài)綜合法建立了重型牽引車的動力學模型，并用六西格瑪方法對整車進行了穩(wěn)健性優(yōu)化。鄧聰穎等[4]用有限元和試驗的方法確定了加工中心整機的薄弱模態(tài)，并計算了薄弱模態(tài)下整機、結合部的彈性能以及結合部在整機中的彈性能分布率，基于等效接觸剛度優(yōu)化了整機的動態(tài)性能。用于機床優(yōu)化的方法眾多，主要思路是通過動力學分析確定機床動態(tài)性能的薄弱環(huán)節(jié)，然后針對薄弱環(huán)節(jié)進行優(yōu)化處理。戴磊等[5]在三維參數化特征CAD系統(tǒng)中，以三維實體結構幾何模型為對象，以幾何尺寸參數為優(yōu)化設計變量，采用POSHAPE對結構進行形狀優(yōu)化設計。郭壘等[6]運用靈敏度方法對一臺加工中心的立柱和立滑板的靜剛度進行了優(yōu)化，并實現了結構的輕量化。Kroll等[7]用靈敏度方法對一臺機床的立柱進行了優(yōu)化設計。本文以一臺立式加工中心為研究對象，通過模態(tài)分析和慣性能量分布的計算結果優(yōu)化其動態(tài)特性。

1 加工中心動態(tài)特性分析

1.1 模態(tài)分析

模態(tài)分析是進行機械結構動力學分析的重要方法。通過模態(tài)分析可以得到加工中心的固有頻率及相應的振型。在機床中剛度、阻尼大部分來自于各結合面[8]，整機中的立柱與床身、導軌滑塊、橫梁和立柱導軌用已知的彈簧、阻尼系統(tǒng)代替，等效剛度和阻尼見表1，其余結合面簡化為面面粘接。為了盡可能模擬機床在工作中的固定狀態(tài)，設置底座為固定約束。

表1 結合部等效參數

本文采用NX 12.0軟件建立加工中心有限元簡化模型，采用有限元法分析了前十階模態(tài)，得到了相應的固有頻率與振型，見表2。由表2可知，加工中心整機低階振型主要是以立柱和主軸箱為主，即立柱和主軸箱是對整機低階振型影響較大的構件。

表2 前十階固有頻率及振型

1.2 諧響應分析

模態(tài)反映的是加工中心的固有屬性，諧響應分析則反映了加工中心實際工作中的激勵響應情況，在主軸末端X，Y，Z3個方向分別施加幅值為1 000 N的簡諧力，結構阻尼比取0.05。用NX Nastran軟件分析0～200 Hz的幅頻響應特性，得到了主軸端部幅頻特性曲線，如圖1～圖3所示。

圖1 X向幅頻特性曲線

圖2 Y向幅頻特性曲線

圖3 Z向幅頻特性曲線

由圖1～圖3可知，在分析頻率范圍內，整機3個方向上都有不同的共振頻率，諧響應幅值對應的頻率即為整機的薄弱環(huán)節(jié)。因此可以判斷，立柱和主軸箱為整機的薄弱構件。

2 子結構劃分及慣性能分布的計算

2.1 子結構劃分

在實際分析中，子結構劃分應充分考慮到系統(tǒng)在制造、裝配、采購過程中的天然組合情況。從整體來看，底座與立柱為不可動子結構，橫梁和主軸箱為可動子結構，如圖4所示。兩個子結構之間用彈簧和阻尼元件來模擬連接。如圖5所示，設子結構A的對接點As的振動位移為AAseiωt，受力為FAseiωt，子結構B的對接點Bs的振動位移為BBseiωt，受力為FBseiωt，其中i為虛數單位，ω為頻率，t為時間單位。兩個子結構之間的對接點振動位移和作用力滿足式(1)。

圖5 子結構連接方式

(1)

式中：FAs為子結構A對節(jié)點的作用力；FBs為子結構B對節(jié)點的作用力；K為剛度；c為阻尼；AAs為子結構A的振動位移；BBs為子結構B的振動位移。

2.2 慣性能分布計算

設機床子結構A和B以k階模態(tài)振動時的慣性能為TAk和TBk，整個機床以第k階模態(tài)振動時慣性能為Tk，則Tk=TAk+TBk。由于采用有限元模型進行模態(tài)分析，慣性能計算公式為：

(2)

(3)

式中：ωnk為第k階固有頻率；Ak為子結構在運動方向上的振幅列陣；m為質量矩陣。定義兩個子結構對整個結構慣性能的比值為：

(4)

式中：λAk和λBk分別為子結構A和B的第k階比值。

能量分布是否均勻，可作為其質量、剛度大小配置是否合理的指標。計算得出子結構慣性能的分布，見表3。可以看出，兩個子結構慣性能分布很不均勻。底座與立柱的慣性能前5階占比很大，后5階占比相對較小。結合模態(tài)和諧響應分析結果可知，前5階模態(tài)中振動峰值主要集中在基頻51.13 Hz附近，導致底座、立柱的慣性能相對于橫梁、主軸箱有很大的差異。由機械系統(tǒng)動力學相關知識可知，提高系統(tǒng)的各階固有頻率可以提高結構的動態(tài)性能，進而優(yōu)化慣性能的分布。

表3 兩個子結構前10階慣性能分布

3 立柱動態(tài)性能優(yōu)化

在立式加工中心的各個部件中，優(yōu)化可操作性最大的為立柱，這是由于在底座的結構中，要照顧到伺服電機、旋轉軸和其他輔助設備的安裝，而橫梁和主軸箱結構中部分來自外部采購，要考慮采購件的尺寸及結構，進一步優(yōu)化操作的可能性都不大。立柱中的主要結構參數有立柱壁厚、筋板厚度、筋板間距。立柱原有的結構如圖6所示，參數及優(yōu)化范圍見表4。

圖6 立柱筋板布置

表4 立柱優(yōu)化參數單位：mm

通過模態(tài)分析得到立柱前后俯仰、左右搖擺、扭轉的模態(tài)振型，如圖7～圖9所示。

圖7 立柱前后俯仰 圖8 立柱左右搖擺

圖9立柱扭轉

立柱前后俯仰、左右搖擺、扭轉相應的第1，2，5階模態(tài)頻率分別為：fb=89.96 Hz,fp=91.57 Hz,fr=175.94 Hz。

定義立柱的優(yōu)化頻率函數f的表達式為：

f=fb+fp+fr

(5)

以f為目標，計算得出f對x1,x2,x3尺寸關系曲線，如圖10所示。

圖10 待優(yōu)化頻率與立柱尺寸關系

將圖10中的3條曲線做3次函數擬合，得到擬優(yōu)化的頻率與結構尺寸的數學關系為：

(6)

式中：f(xi)為擬合函數，i為表4中的結構參數；ai，bi，ci，di為相應待定系數。

解出式(6)中3個方程的待定系數后，可用矩陣表示為：

f=PX+QX+WX+Z

(7)

其中：

Z=[357.43 357.43 357.43]T

結構參數x1,x2,x3對底座和立柱子結構質量的影響規(guī)律如圖11所示。

圖11 子結構的質量與結構參數關系

將質量和立柱尺寸變化曲線擬合成一次函數Mi：

Mi=K1xi+P1

(8)

式中：K1，P1為系數矩陣。由圖11中3條直線的數值關系解得：

P1=[11 220.25 13 345 13 728]T

以頻率f為優(yōu)化目標，底座和立柱質量變化為約束條件，建立優(yōu)化的數學模型。

maxf

s.t.M≤13 700

-10≤xi≤10

(9)

用MATLAB優(yōu)化工具箱求解該優(yōu)化方程得到一組最優(yōu)解并取整數可得：

X=[33 29 465]T

用NX 12.0軟件中測量體命令測得優(yōu)化后的底座和立柱質量為13 660 kg，相比優(yōu)化前的13 695 kg減重35 kg。

4 優(yōu)化結果驗證

重新將優(yōu)化后的立柱裝配成整機并計算兩個子結構的能量分布比例，詳見表5?？梢钥闯鰞蓚€子結構慣性能的分布比例相對優(yōu)化前有一定改善。在主軸末端重新施加相同的諧波激勵，提取相應的幅頻特性曲線，如圖12～圖14所示。由幅頻特性曲線可以看出，主軸端部X，Y，Z向共振幅值都有一定程度的減少，即對立柱厚度、筋板厚度、筋板間距進行優(yōu)化后，提高了機床整機的動態(tài)性能。

圖12 優(yōu)化后X向幅頻特性曲線

圖13 優(yōu)化后Y向幅頻特性曲線

表5 優(yōu)化后兩個子結構的慣性能分布

圖14 優(yōu)化后Z向幅頻特性曲線

5 結束語

本文針對一臺立式加工中心進行模態(tài)分析和慣性能量分布計算，從仿真分析可知，機床結構的慣性能量分布情況對動態(tài)性能有一定程度的影響。此外還通過建立目標函數，優(yōu)化了機床立柱結構參數，使得機床動態(tài)特性得到提高，為機床結構優(yōu)化提供了一種新的方法。