魏先華

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差（以下簡(jiǎn)稱“三數(shù)兩差”）是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析中的統(tǒng)計(jì)量，有著各自重要的意義。弄清“三數(shù)兩差”的概念和意義，可以幫你輕松解決相關(guān)的問(wèn)題。

一、根據(jù)概念做判斷

例1 （2020·江蘇無(wú)錫）已知一組數(shù)據(jù)：21，23，25，25，26，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）。

A.24，25 B.24，24

C.25，24 D.25，25

【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（21+23+25+25+26）÷5=24;把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：21，23，25，25，26，最中間的數(shù)是25，則中位數(shù)是25。

故選A。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平均數(shù)和中位數(shù)的概念。確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可以分兩步進(jìn)行：一排序，二取中。

例2 （2020·江蘇南通）一組數(shù)據(jù)2，4，6，x，3，9的眾數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）。

A.3 B.3.5 C.4 D.4.5

【解析】∵這組數(shù)據(jù)2，4，6，x，3，9 的眾數(shù)是3，

∴x=3，

從小到大排列這組數(shù)據(jù)為：2，3，3，4，6，9，處于中間位置的兩個(gè)數(shù)是3和4，

∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（3+4）÷2=3.5。

故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是眾數(shù)和中位數(shù)的概念。同學(xué)們需要先根據(jù)眾數(shù)的概念確定x 的值，然后再根據(jù)中位數(shù)的概念確定中位數(shù)。例3 （2020·江蘇徐州）小紅連續(xù)5天的體溫?cái)?shù)據(jù)如下（單位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3。關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.中位數(shù)是36.5℃

B.眾數(shù)是36.2℃

C.平均數(shù)是36.2℃

D.極差是0.3℃

【解析】A.把小紅連續(xù)5天的體溫從小到大排列為：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，處在中間位置的一個(gè)數(shù)是36.3，因此中位數(shù)是36.3℃，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.出現(xiàn)次數(shù)最多的是36.2℃，因此眾數(shù)是36.2℃，所以此選項(xiàng)正確;

C. 平均數(shù)為-x=（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5=36.36℃，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D.極差是一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差，即為36.6-36.2=0.4℃，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、極差的概念。同學(xué)們?cè)谟?jì)算過(guò)程中只要細(xì)心就能不出錯(cuò)。

二、結(jié)合意義做判斷

例4 （2020·湖南郴州）某鞋店試銷一種新款男鞋，試銷期間銷售情況如下表：

則該組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計(jì)量中，對(duì)鞋店下次進(jìn)貨最具有參考意義的是（ ）。

A.中位數(shù) B.平均數(shù)

C.眾數(shù) D.方差

【解析】A.中位數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的“中等水平”;

B. 平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的“平均水平”;

C.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，反映一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”;

D.方差反映的是一組數(shù)據(jù)的“波動(dòng)性”和“穩(wěn)定性”。

對(duì)鞋店下次進(jìn)貨來(lái)說(shuō)，最關(guān)注的應(yīng)該是哪一種尺碼的鞋賣得最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差這四個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義。表格提供了“鞋的尺碼”的種類和對(duì)應(yīng)尺碼的“銷售數(shù)量”，由這兩個(gè)關(guān)鍵詞不難想到下次進(jìn)貨需要關(guān)注的是哪種尺碼的鞋的銷量最大，也就是眾數(shù)。

例5 （2020·浙江臺(tái)州）在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，小明的成績(jī)?yōu)?2分，超過(guò)班級(jí)半數(shù)同學(xué)的成績(jī)，分析得出這個(gè)結(jié)論所用的統(tǒng)計(jì)量是（ ）。

A.中位數(shù) B.眾數(shù)

C.平均數(shù) D.方差

【解析】將班級(jí)所有同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)按順序排列后，最中間一個(gè)成績(jī)或最中間兩個(gè)成績(jī)的平均數(shù)是這組成績(jī)的中位數(shù)，半數(shù)同學(xué)的成績(jī)位于中位數(shù)以下（包括中位數(shù)）或中位數(shù)以上（包括中位數(shù)）。故小明的成績(jī)超過(guò)班級(jí)半數(shù)同學(xué)的成績(jī)所用的統(tǒng)計(jì)量是中位數(shù)。

故選A。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差這四個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義。題干中“小明的成績(jī)?yōu)?2分，超過(guò)班級(jí)半數(shù)同學(xué)的成績(jī)”告訴我們此問(wèn)題涉及排序，而幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量中跟排序有關(guān)的只有中位數(shù)?！鞍霐?shù)”也是一個(gè)很好的提示，即位置居中。

例6 （2020·湖北黃岡）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)五次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表所示，如果從這四名同學(xué)中，選出一名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，那么應(yīng)選（ ）去。

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【解析】∵由表格可知乙同學(xué)的平均分最高，方差最小，

∴乙同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽平均水平高于其他三名同學(xué)，且發(fā)揮的穩(wěn)定性也是最好的，

∴應(yīng)該選擇乙同學(xué)去。

故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)和方差的意義。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差反映的是數(shù)據(jù)的離散程度。方差越“小”，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性越“好”;方差越“大”，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性越“差”。表格中提供的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，都要從“優(yōu)”選擇：平均成績(jī)要“高”，方差要“小”。

三、結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖做判斷

例7 （2020·江蘇泰州）2020年6月6日是第25個(gè)全國(guó)愛眼日，某校從八年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行了視力調(diào)查，并根據(jù)視力值繪制成統(tǒng)計(jì)圖（如圖1），這50名學(xué)生視力的中位數(shù)所在范圍是。

【解析】∵一共調(diào)查了50名學(xué)生的視力情況，

∴這50個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第25個(gè)和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由統(tǒng)計(jì)圖可知第25個(gè)和第26個(gè)數(shù)據(jù)都落在4.65—4.95之間，

∴這50名學(xué)生視力的中位數(shù)所在范圍是4.65—4.95。

故答案為4.65—4.95。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)圖表信息確定中位數(shù)的方法。同學(xué)們需要先了解中位數(shù)的概念，再結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖得到相關(guān)的信息，最后才能解決問(wèn)題。

例8 （2020·湖北咸寧）如圖2是甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員某節(jié)訓(xùn)練課的5次射擊成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖，下列判斷正確的是（ ）。

A.乙的最好成績(jī)比甲高

B.乙的成績(jī)的平均數(shù)比甲小

C.乙的成績(jī)的中位數(shù)比甲小

D.乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定

【解析】A.由折線統(tǒng)計(jì)圖可知：甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?yōu)?、7、10、8、9，乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?yōu)?、9、8、7、8，甲的最好成績(jī)?yōu)?0環(huán)，乙的最好成績(jī)?yōu)?環(huán)，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.甲的成績(jī)的平均數(shù)為（6+7+10+8+9）÷5=8，乙的成績(jī)的平均數(shù)為（8+9+8+7+8）÷5=8，兩者一樣大，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C.甲的成績(jī)的中位數(shù)為8，乙的成績(jī)的中位數(shù)為8，兩者一樣大，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D.甲的成績(jī)的方差為15[（6-8）2 +（7-8）2 +（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2]=2，乙的成績(jī)的方差為15[（8-8）2 +（9-8）2 +（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2]=0.4，0.4<2，所以乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定，所以此選項(xiàng)正確。

故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同學(xué)們的讀圖能力以及平均數(shù)、中位數(shù)、方差的計(jì)算方法。同學(xué)們可以由折線統(tǒng)計(jì)圖得出甲和乙兩名運(yùn)動(dòng)員五次射擊的具體成績(jī)，然后分別計(jì)算出平均數(shù)、中位數(shù)、方差，再作出比較。對(duì)于甲和乙的方差比較，本題其實(shí)也可以由甲和乙的折線統(tǒng)計(jì)圖得出乙的折線圖要比甲的折線圖波動(dòng)性小，所以乙的成績(jī)穩(wěn)定性更好。

（作者單位：江蘇省鹽城市神州路初級(jí)中學(xué)）