第八章統(tǒng)計(jì)和概率的簡單應(yīng)用領(lǐng)銜人：卞書彥組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省鹽城市鹽都區(qū)數(shù)學(xué)教師發(fā)展共同體

統(tǒng)計(jì)與概率是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，與人們的生產(chǎn)與生活密切相關(guān)，也是中考必考知識點(diǎn)。下面我們利用口訣來解決有關(guān)數(shù)據(jù)的收集與整理、數(shù)據(jù)的分析以及概率的簡單應(yīng)用等問題。

一、數(shù)據(jù)的收集與整理

例1 （2020·廣西）以下調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查的是（ ）。

A.檢測長征運(yùn)載火箭的零部件質(zhì)量情況

B.了解全國中小學(xué)生課外閱讀情況

C.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力

D.檢測某城市的空氣質(zhì)量

解：A。

【點(diǎn)評】本題考查全面調(diào)查、抽樣調(diào)查的意義。當(dāng)調(diào)查的工作量不太大或者要求精度準(zhǔn)確時(shí)，一般采用普查;當(dāng)調(diào)查工作量比較大，普查本身無法完成，或者調(diào)查具有破壞性時(shí)，宜采用抽查。抽查時(shí)選擇的樣本還要具有代表性和廣泛性。

例2 （2020·黑龍江大慶）為了了解某校某年級1000名學(xué)生一分鐘的跳繩次數(shù)，從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)（次數(shù)為整數(shù)，且最高次數(shù)不超過150 次），整理后繪制成如圖的頻數(shù)直方圖，圖中的a、b 滿足關(guān)系式2a=3b。后由于保存不當(dāng)，部分原始數(shù)據(jù)模糊不清，但已知缺失數(shù)據(jù)都大于120。

請結(jié)合所給條件，回答下列問題：

（1）求問題中的總體和樣本容量;

（2）求a、b 的值（請寫出必要的計(jì)算過程）;

（3）如果一分鐘跳繩次數(shù)在125次以上（不含125次）為跳繩成績優(yōu)秀，那么該校該年級學(xué)生跳繩成績優(yōu)秀的人數(shù)大約是多少？（注：該年級共1000名學(xué)生）

解：（1）總體是某校某年級1000名學(xué)生一分鐘的跳繩次數(shù)，樣本容量是40。

（2）由題意所給數(shù)據(jù)可知：50.5～75.5 的有4人，75.5～100.5的有16人，

∴a+b=40-4-16=20。

∵2a=3b，

∴解得a=12，b=8。

（3）1000× 840=200（人）。

答：該校該年級學(xué)生跳繩成績優(yōu)秀的大約是200人。

【點(diǎn)評】統(tǒng)計(jì)里，所考察對象的全體叫作總體，組成總體的每一個(gè)考察對象叫作個(gè)體，從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫作總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫作樣本容量。某個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值稱為頻率。其中，各組頻數(shù)之和等于樣本容量（總次數(shù)），各組頻率之和等于1。我們要會(huì)用抽取的樣本具有的特征來估計(jì)總體具有的特征。故我們總結(jié)為：

調(diào)查分普抽，抽樣具有代表性，

總體和樣本，兩頻之間關(guān)系明，

頻數(shù)和為總，頻率之和總為1。

二、數(shù)據(jù)的分析

例3 （2020·四川綿陽）為助力新冠肺炎疫情后經(jīng)濟(jì)的復(fù)蘇，天天快餐公司積極投入到復(fù)工復(fù)產(chǎn)中。現(xiàn)有A、B兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到該公司推銷雞腿，兩家雞腿的價(jià)格相同，品質(zhì)相近。該公司決定通過檢查質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿。檢察人員從兩家分別抽取100個(gè)雞腿，然后再從中隨機(jī)各抽取10個(gè)，記錄它們的質(zhì)量（單位：克）如表：

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求A 加工廠的10 個(gè)雞腿質(zhì)量的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù);

（2）估計(jì)B加工廠這100個(gè)雞腿中，質(zhì)量為75克的雞腿有多少個(gè)？

（3）根據(jù)雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性，該快餐公司應(yīng)選購哪家加工廠的雞腿？

解：（1）把這些數(shù)從小到大排列，中位數(shù)是第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

則中位數(shù)是75 + 752 =75（克）;

因?yàn)?5出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

所以眾數(shù)是75克;

平均數(shù)是110（74+75+75+75+73+77+78+72+76+75）=75（克）。（2）根據(jù)題意，得100× 310=30（個(gè)）。

答：質(zhì)量為75克的雞腿有30個(gè)。

（3）選B加工廠的雞腿。

A 的方差是110[（74-75）2+4×（75-75）2+（76-75）2+（73-75）2+（72-75）2+（77-75）2+（78-75）2]=2.8。

B的平均數(shù)是110（78+74+78+73+74+75+74+74+75+75）=75，

B的方差是110[2×（78-75）2+4×（74-75）2+（73-75）2+3×（75-75）2]=2.6。

∵A、B 平均值一樣，B 的方差比A 的方差小，B更穩(wěn)定，

∴選B加工廠的雞腿。

【點(diǎn)評】如果一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)的大小差異不大，那么平均數(shù)就能較好地反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢。如果一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)的大小差異很大，那么平均數(shù)就不能很準(zhǔn)確地反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢，此時(shí)常采用中位數(shù)或眾數(shù)描述這組數(shù)據(jù)的集中程度。而在描述數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時(shí)主要看兩差：極差與方差。極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，能反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍;方差公式為s2=1n

[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，一般說來，一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)的離散程度就越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。

因此我們總結(jié)為：集中三數(shù)據(jù)，極端宜用中或眾，離散看兩差，方差值小而穩(wěn)定。

例4 （2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）某校為了了解初中學(xué)生每天的睡眠時(shí)間（單位為小時(shí)），隨機(jī)調(diào)查了該校的部分初中學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出如圖統(tǒng)計(jì)圖。

請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

（1）本次接受調(diào)查的初中學(xué)生人數(shù)為人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中的m= ，條形統(tǒng)計(jì)圖中的n= ;

（2）所調(diào)查的初中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的眾數(shù)是，方差是;

（3）該校共有1600名初中學(xué)生，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校初中學(xué)生每天睡眠時(shí)間不足8小時(shí)的人數(shù)。

解：（1）本次接受調(diào)查的初中學(xué)生有4÷10%=40（人），

m%=10÷40×100%=25%，

n=40×37.5%=15。

故答案為40，25，15。

（2）由條形統(tǒng)計(jì)圖，可得眾數(shù)是7，

x= 1

40×（5×4+6×8+7×15+8×10+9×3）=7，

s2= 1

40[（5-7）2×4+（6-7）2×8+（7-7）2×15+（8-7）2×10+（9-7）2×3]=1.15。

故答案為7，1.15。

（3）1600× 4 + 8 + 1540 =1080（人）。

即該校初中學(xué)生每天睡眠時(shí)間不足8小時(shí)的有1080人。

【點(diǎn)評】常用的統(tǒng)計(jì)圖有條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖以及頻數(shù)分布直方圖。條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地描述各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的數(shù)據(jù);折線統(tǒng)計(jì)圖能清楚地描述數(shù)據(jù)的變化過程和趨勢;扇形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地描述各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目占總體的百分比;頻數(shù)分布直方圖用橫軸表示考察對象數(shù)據(jù)的變化范圍，用縱軸表示相應(yīng)范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的頻數(shù)。

一般地，考題會(huì)用缺一些數(shù)據(jù)的兩個(gè)及以上圖表來設(shè)置，這就需要我們對照這些圖表找出它們之間的對應(yīng)關(guān)系，來解決有關(guān)問題，故曰：

統(tǒng)計(jì)有四圖，互相照應(yīng)提信息，分量求總量，量率對應(yīng)除得全。

三、簡單概率

例5 （2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）一個(gè)不透明的口袋中裝有三個(gè)完全相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字2， 3，5。

（1）從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，求摸出小球上的數(shù)字是無理數(shù)的概率（直接寫出結(jié)果）。

（2）先從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，將小球上的數(shù)字記為x，把小球放回口袋中并攪勻，再從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，將小球上的數(shù)字記為y。請用列表法或畫樹狀圖法求出x 與y 的乘積是有理數(shù)的概率。

解：（1）摸出小球上的數(shù)字是無理數(shù)的概率為23。

（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)數(shù)字的乘積為有理數(shù)的有3種，

∴兩次摸出的小球所標(biāo)數(shù)字的乘積是有理數(shù)的概率為39=13。

【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率。列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件。解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)。用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比。

例6 （2020·山東威海）小偉和小梅兩名同學(xué)玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子。以擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值判斷輸贏。若所得數(shù)值等于0、1、2，則小偉勝;若所得數(shù)值等于3、4、5，則小梅勝。

（1）請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率。

（2）判斷上述游戲是否公平。如果公平，請說明理由;如果不公平，請利用表格修改游戲規(guī)則，以確保游戲的公平性。

解：（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

表中共有36種可能的結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，“差的絕對值”為0、1、2的共有24種，“差的絕對值”為3、4、5的共有12種，

所以P（小偉勝）=

，

P（小梅勝）=

。

答：小偉獲勝的概率為23，小梅獲勝的概率為13。

（2）∵23≠13，∴游戲不公平。

根據(jù)表格中“差的絕對值”的不同情況，要使游戲公平，則兩人獲勝的概率相等。于是修改為：兩次擲的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為1，2，則小偉勝;否則小梅勝。這樣小偉、小梅獲勝的概率均為12。（規(guī)則修改不唯一）

【點(diǎn)評】當(dāng)列舉的可能結(jié)果比較多時(shí)，我們可采用列表法來解決。本題還考查了游戲的公平性。列舉出所有的可能結(jié)果，求出相應(yīng)的概率是解決問題的關(guān)鍵。我們在修改游戲規(guī)則時(shí)，一般使得游戲所分對象中包含的可能性結(jié)果一樣多，有時(shí)也采用賦分制修改游戲規(guī)則，但一般不改變游戲具體方式。

例7 （2020·江蘇徐州）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同。小明通過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（ ）。

A.5 B.10 C.12 D.15

解：A。

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率。大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率。

我們在解決概率有關(guān)問題時(shí)，采用：

概率樹與表，分清放回不放回，

事件兩三步，三步須用樹狀圖，

試驗(yàn)等可能，多次頻率估概率。

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡初級中學(xué)）98 策略方法