許小玲

基于銳角三角函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，因其能考查數(shù)學(xué)抽象與建模能力、數(shù)學(xué)分析與推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算與反思能力而備受命題者的關(guān)注與青睞。此類問(wèn)題源于現(xiàn)實(shí)生活，背景與形式可謂千變?nèi)f化，但仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)：無(wú)論問(wèn)題如何變化，其基本圖形、解題思路、思想方法均源自教材，可以引用清代畫家鄭板橋的詩(shī)句并改編成“任爾東西南北風(fēng)，立根原在教材中”。不妨先來(lái)看這樣一道中考題：

例1 （2020·河南）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一。某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度。如圖1所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道MP 上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)M 處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A 的仰角為22°，然后沿MP 方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N 處，測(cè)得點(diǎn)A 的仰角為45°。測(cè)角儀的高度為1.6m。求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A 距離地面的高度。（結(jié)果精確到0.1m。參考數(shù)據(jù)：sin22° ≈0.37，cos22° ≈0.93，tan22° ≈0.40，2≈1.41）

【略解】過(guò)點(diǎn)A 作AD⊥PM 于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BC交AD 于點(diǎn)E，如圖2，易得BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m。設(shè)AE=x，在Rt△ACE 中，因?yàn)椤螦CE=45°，所以CE=AE=x，在Rt△AEB 中，tan ∠ABE=

，所以BE=

，而B(niǎo)E-CE=BC，所以

，所以x≈10.7（m），故AD=10.7+1.6=12.3（m）。

該題是通過(guò)作垂線，將實(shí)際測(cè)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題。圖形的特點(diǎn)是：兩個(gè)直角三角形有一條公共的直角邊，且這兩個(gè)三角形在公共直角邊的同側(cè)。這樣的圖形、這樣的思路雖然出現(xiàn)在河南中考試卷中，但是在我們的數(shù)學(xué)課本里也能找到源頭。

例2 （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第115頁(yè)問(wèn)題3）為了測(cè)量停留在空中的氣球高度，小明在某處利用測(cè)角儀測(cè)得氣球的仰角（從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角）為27°，然后他沿正對(duì)氣球方向前進(jìn)了50m，再次測(cè)得氣球的仰角為40°。如果測(cè)角儀高度忽略不計(jì)，那么氣球的高度是多少？（精確到0.1m）

例3 （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第116頁(yè)練習(xí)1）飛機(jī)沿水平直線飛行時(shí)，測(cè)得正前方停泊在海面上某船只的俯角（從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角）為15°，面向船只方向繼續(xù)飛行10km后測(cè)得該船只的俯角為52°。求飛機(jī)飛行的高度。（精確到1m）

仔細(xì)觀察3個(gè)例題，我們不難發(fā)現(xiàn)有四個(gè)共同特點(diǎn)：

一是都需要數(shù)學(xué)建模。三個(gè)問(wèn)題背景不同，但考查本質(zhì)是一樣的，都需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即運(yùn)用建立模型的思想來(lái)解決問(wèn)題，構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系（如公式、函數(shù)、方程或基本圖形）使現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境轉(zhuǎn)化為易于解決的數(shù)學(xué)模型。用相關(guān)知識(shí)求解數(shù)學(xué)模型（解模），其流程圖如圖所示。

二是圖形基本相同。它們都是由具有公共直角邊的兩個(gè)直角三角形組成。

三是構(gòu)圖方式相同。都需要通過(guò)作輔助線（垂線）構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)。

四是解題方法相同。由于線段長(zhǎng)度不能直接求出，故運(yùn)用間接的方法，即設(shè)立輔助未知數(shù)，利用公共直角邊為相等關(guān)系，建立方程解決問(wèn)題。如例2中，設(shè)CD=x，利用三角函數(shù)表示出BD=

和AD=

，再根據(jù)AD-BD=AB 列出關(guān)于x 的方程。同樣，在例3中，設(shè)CD=x，利用三角函數(shù)表示出BC=tan52° 和AC=tan15°，再根據(jù)AC-BC=AB 列出關(guān)于x 的方程。

所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是：從教材中來(lái)，回到教材中去。

（作者單位：江蘇省泰興市濟(jì)川初級(jí)中學(xué)）