杜超凡 陶陽

[摘 要] 文章以作用于梁上的橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關(guān)系為基礎(chǔ)，歸納總結(jié)了幾種荷載作用下剪力圖、彎矩圖的特征。掌握這些特征就能不寫內(nèi)力方程而根據(jù)外力直接畫出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖。

[關(guān)鍵詞] 剪力圖;彎矩圖;微分關(guān)系;積分關(guān)系

[中圖分類號] G642.0? ?[文獻標(biāo)識碼] A? ?[文章編號] 1674-9324（2021）04-0157-04? ? [收稿日期] 2020-08-13

一、引言

“材料力學(xué)”是工科學(xué)生的一門必修課，其中剪力圖和彎矩圖的繪制是本門課的重點也是難點，尤其對土木工程專業(yè)的學(xué)生而言尤為重要，也是后續(xù)課程“結(jié)構(gòu)力學(xué)”的基礎(chǔ)。

教材[1-3]中介紹的繪制剪力圖和彎矩圖的方法主要有兩種：一種是用截面法寫剪力方程和彎矩方程，再根據(jù)所列方程作圖。寫剪力方程和彎矩方程的時候，要在外力荷載規(guī)律變化的截面進行分段，對于作用于梁上的荷載只有一種或兩種的情況，對截面分段較少，所以這種方法簡單、直觀。但若作用于梁上的荷載種類較多時，分段寫剪力方程和彎矩方程將是一個非常煩瑣的過程，而且極易出錯，所以這種方法使用較少。另一種方法是基于橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關(guān)系和積分關(guān)系，根據(jù)剪力圖和彎矩圖在外力荷載作用下的規(guī)律，由控制截面上的內(nèi)力值連線即可，不用寫內(nèi)力方程而直接畫出相應(yīng)的內(nèi)力圖。這種方法簡便、高效，也被稱為簡易法。該方法的關(guān)鍵是要能熟練掌握不同荷載作用下剪力圖和彎矩圖的特征。本文以橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關(guān)系為基礎(chǔ)，歸納總結(jié)了幾種荷載下內(nèi)力圖的特征，具體講述如何利用這些特征用簡易法快速、高效、準確地畫剪力圖和彎矩圖。

二、橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關(guān)系

應(yīng)用這些關(guān)系以及剪力圖和彎矩圖的規(guī)律，就能得到剪力圖和彎矩圖的一些特征（需要說明的是，以下彎矩圖特征都是以彎矩向下為正總結(jié)的）。

1.若某段梁上無分布荷載作用，即q（x）=0，剪力F為常數(shù)，剪力圖為平行于x軸的水平線;彎矩M為x的一次函數(shù)，彎矩圖為一條斜直線。根據(jù)該梁段兩端的彎矩值就能確定這條斜直線。

2.若某段梁上的有均布荷載作用，即q（x）為常數(shù)，則剪力F為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線;彎矩M為x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線。當(dāng)q>0，剪力圖斜率為正，是增函數(shù)，所以上斜;彎矩圖斜率為增函數(shù)，所以為上凸的拋物線;當(dāng)q<0，同樣的分析過程，剪力圖下斜，彎矩圖為下凸的拋物線。拋物線的凹凸方向關(guān)鍵看q的箭頭指向。q的箭頭指向哪里，拋物線就往哪凸。q箭頭向上，拋物線就上凸，箭頭向下，拋物線就下凸。在剪力F=0處，對應(yīng)著拋物線的頂點，即彎矩的極值點。

3.若某截面有集中力作用，在集中力作用的截面剪力圖會發(fā)生突變，突變值為集中力大小，突變方向與集中力作用方向一致。若集中力作用方向向上，從左到右剪力圖就向上突變。當(dāng)剪力發(fā)生突變但沒有改變符號，則彎矩圖斜率雖然發(fā)生了改變，但沒有變號，彎矩圖上會有向上的尖角，但這個尖點的彎矩值不是極值點;當(dāng)剪力發(fā)生突變而且改變了符號，則彎矩圖斜率發(fā)生了改變，而且變了號，則彎矩圖上的尖點就是彎矩的極值點。若集中力作用方向向下，從左到右剪力圖就向下突變。彎矩圖會有向下的尖角，同理，只有剪力突變異號彎矩圖的尖角才是極值點。

4.若某截面有集中力偶作用，在集中力偶作用處對剪力圖無影響，彎矩圖在該截面會發(fā)生突變，突變值為該集中力偶的大小。突變方向從左向右順流而下，逆流而上，即順時針的集中力偶彎矩圖向下突變，逆時針的集中力偶彎矩圖向上突變。

5.自由截面以及鉸接處，若無集中力偶作用，則彎矩為零。

三、橫向分布力集度與剪力、彎矩的積分關(guān)系

四、舉例

外伸梁AB承受荷載如圖1所示，作該梁的剪力圖和彎矩圖。

1.由靜力平衡方程求C、B兩處的支反力。

2.畫剪力圖。從左到右畫，對于平衡問題，剪力從零開始，到零結(jié)束。A截面作用有向下的集中力，所以剪力圖要向下突變，從零開始，突變值3kN，AC段沒有分布荷載作用，q=0，剪力圖為水平線。C截面有向上的集中力作用，剪力圖向上突變，突變值為F的大小，所以到4.2kN。CD段有均布荷載作用，所以剪力圖是斜直線。D截面剪力值由截面法取右半部分析可得-3.8kN。DB段沒有分布荷載作用，剪力圖水平線。B截面有向上的集中力作用，所以剪力圖向上突變，突變值FB的大小，正好回到零點。如果這里沒有回到零點，說明支反力或控制截面的剪力值有誤，需檢查并修改，起到一個校核的作用。同時標(biāo)明剪力的單位及正負號（圖2）。

3.畫彎矩圖。從左到右畫，對于平衡問題，剪力從零開始，到零結(jié)束。A截面是自由截面且沒有集中力偶作用，所以彎矩為零。C截面彎矩即AC段剪力圖面積得-3kN·m。AC段沒有分布荷載，彎矩圖是斜直線。CD段有均布荷載作用，彎矩圖拋物線。均布荷載箭頭向下，所以拋物線向下凸。畫拋物線通常選3個截面，分別是均布荷載的起端、末端及剪力為零處對應(yīng)的彎矩值即拋物線頂點。由剪力圖可求得剪力為零處的位置，根據(jù)積分關(guān)系就能求得該處的彎矩值為1.41 kN·m，D截面左側(cè)彎矩值為-2.2 kN·m。D截面處有集中力偶作用，彎矩圖要發(fā)生突變。集中力偶的方向是順時針，順流而下，所以彎矩圖向下突變，突變值6 kN·m，突變到3.8 kN·m。DB段沒有分布荷載作用，所以彎矩圖是斜直線。B截面是鉸接處，沒有集中力偶作用，彎矩為零。標(biāo)明彎矩的單位及正負號（圖3）。

五、總結(jié)

本文以橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關(guān)系為基礎(chǔ)，總結(jié)歸納了幾種荷載作用下剪力圖和彎矩圖的特征，具體講述了如何用簡易法畫內(nèi)力圖。利用它們之間的積分關(guān)系，可由內(nèi)力圖面積快速求出控制截面的內(nèi)力值。掌握這些特征，就可以不用寫內(nèi)力方程而根據(jù)外力直接畫出相應(yīng)的內(nèi)力圖，簡單、高效。

參考文獻

[1]鄧宗白，陶陽，吳永端.材料力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[2]劉鴻文.材料力學(xué)（Ⅰ）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]孫訓(xùn)方.材料力學(xué)[M].（第5版）北京：高等教育出版社，2009.