陳建

近年來，各地中考試題經(jīng)常出現(xiàn)關(guān)于解斜三角形的問題。解決此類問題的關(guān)鍵是運(yùn)用“化斜為直”的數(shù)學(xué)思想方法，通過作垂線段把已知的特殊角置于直角三角形中，從而把解斜三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題?，F(xiàn)以一道中考題為例，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。例題（2020·江蘇淮安）如圖1，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，測(cè)得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8 千米，求A、B 兩點(diǎn)間的距離。

【解析】解題時(shí)我們常把特殊角放在直角三角形中，運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決問題。此題可過點(diǎn)C 作AB 邊上的高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，把分散的條件集中起來解決問題。如圖2，在Rt△ADC 中，由AC=8，∠CAB=30°，可直接解這個(gè)直角三角形，得CD=4，AD=4 3。在Rt△BDC 中，由CD=4，∠ABC=45°，得BD=4，所以A、B 兩點(diǎn)間的距離為（4 3+4）千米。

變式1：把原題中的AC=8 千米改為AB=（4 3+4）千米，求A、C 兩點(diǎn)間的距離。

【解析】作CD⊥AB 于點(diǎn)D，構(gòu)造的Rt△ADC 和Rt△BDC 都沒有已知的一條邊的長(zhǎng)度，所以不能直接解直角三角形，此時(shí)需要借助AB 的長(zhǎng)度列方程解決問題。設(shè)CD=x，可得AD= 3 x，BD=x，所以3 x+x=4 3+4，解得x=4，所以AC=2CD=8，即A、C 兩點(diǎn)間的距離為8千米。

變式2：如圖3，若把原題中的∠ABC=45°改為∠ABC=135°，其他條件不變，求A、B 兩點(diǎn)間的距離。

【解析】解題時(shí)看到135°的角要聯(lián)想到它的補(bǔ)角為45° ，所以過點(diǎn)C 作AB 邊上的高CD 可把30° 、45° 放到兩個(gè)直角三角形中。如圖4，在Rt△ADC 中，由AC=8，∠CAB=30°，可直接解這個(gè)直角三角形，得CD=4，AD=4 3。在Rt△BDC中，CD=4，∠CBD=45°，得BD=4，所以A、B 兩點(diǎn)間的距離為（4 3-4）千米。

變式3：三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，測(cè)得∠CAB=30°，BC=4 2 千米，AC=8千米，求A、B 兩點(diǎn)間的距離。

【解析】解題時(shí)若題中沒有給出圖形，需要自己作圖時(shí)，往往要考慮多解的情況。此題可分為圖5和圖6兩種情況，通過作AB 邊上的高CD 把30°放到兩個(gè)直角三角形中解決問題。解題思路可參照例題和變式2，易求A、B 兩點(diǎn)間的距離為（4 3+4）千米或（4 3-4）千米。

同學(xué)們，變式3中的兩個(gè)圖形是我們解斜三角形常見的兩種基本圖形。解題時(shí)我們要能夠從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，用“化斜為直”的思想方法使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。但要特別注意：所作的垂線段盡可能不要將特殊角分割。

（作者單位：江蘇省泰州市九龍實(shí)驗(yàn)學(xué)校）