陳 思 李文靜 權(quán) 集

（燕京理工學院，河北 廊坊 065201）

平面桿件體系可以分為幾何不變體系和幾何可變體系。在工程應(yīng)用中，只有幾何不變體系才可以作為結(jié)構(gòu)使用。其中，無多余約束的幾何不變體系為靜定結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力通過靜力平衡條件就可以唯一確定。有多余約束的幾何不變體系為超靜定結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力確定需要在靜力平衡條件的基礎(chǔ)上補充變形協(xié)調(diào)條件。求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，力法是最基本、最經(jīng)典的方法之一。而一次超靜定梁是最基礎(chǔ)的超靜定結(jié)構(gòu)，因此，用力法計算一次超靜定梁的內(nèi)力是結(jié)構(gòu)力學學習過程中必須要熟練掌握的一項技能，也是最基本的技能。

1 一次超靜定梁

梁是平面桿件結(jié)構(gòu)中常用的一種類型。梁在豎向荷載作用下，截面產(chǎn)生的內(nèi)力有剪力和彎矩，以彎矩為主，所以梁是一種受彎構(gòu)件。一次超靜定梁是指有一個多余約束的梁結(jié)構(gòu)。常見的一次超靜定梁有兩類形式。第一類是兩端鉸支，中部有一個鏈桿支撐的多跨梁，如圖1所示；第二類是一端固定另一端鉸支的單跨梁，如圖2所示。

圖1 第一類一次超靜定梁

圖2 第二類一次超靜定梁

2 力法解題的基本步驟

用力法求解超靜定結(jié)構(gòu)可以歸納為以下步驟：

a.確定超靜定次數(shù)，撤出結(jié)構(gòu)中的多余約束，用基本未知力代替，這樣就將超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)。原結(jié)構(gòu)解除多余約束并去掉荷載得到的靜定結(jié)構(gòu)就是基本結(jié)構(gòu)。將結(jié)構(gòu)所承受的外荷載和基本未知力全部作用在基本結(jié)構(gòu)上得到的就是基本體系。

b.依據(jù)基本體系與原結(jié)構(gòu)在變形上應(yīng)當一致的原則，補充變形協(xié)調(diào)條件，列出力法基本方程。一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程為：δ11X1+Δ1P=0。

c.求解力法基本方程的系數(shù)項和自由項。計算梁的位移時，只考慮彎曲變形對位移的影響，忽略軸向變形和剪切變形對位移的影響。因此，在求解梁的系數(shù)項和自由項時，首先做出基本結(jié)構(gòu)當基本未知力等于一時的彎矩圖即單位荷載彎矩圖，及外荷載作用時的彎矩圖即荷載彎矩圖。然后將單位荷載彎矩圖圖乘得到系數(shù)項，將單位荷載彎矩圖和荷載彎矩圖圖乘得到自由項。一次超靜定結(jié)構(gòu)的系數(shù)項和自由項分別為：

d.解力法基本方程，求出基本未知力的數(shù)值。一次超靜定結(jié)構(gòu)基本未知力的求解公式為

e.利用疊加法繪制超靜定結(jié)構(gòu)的彎矩圖。對于一次超靜定梁來講

3 力法基本體系的選取原則

從力法解題的基本步驟中可以看出力法基本體系的確定是力法計算的基礎(chǔ)。合理選擇力法基本體系不僅能保證力法求解的準確性，而且有利于提高計算的效率。

力法基本體系的選取原則如下：

a.只能解除原結(jié)構(gòu)中的多余約束，不能解除必要約束。用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路就是將超靜定結(jié)構(gòu)求解轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)求解，如果解除了必要約束，此時體系就變?yōu)閹缀慰勺?，不再能使用力法求解?/p>

b.只能從原結(jié)構(gòu)中解除約束，不能增加約束。新增約束的出現(xiàn)會使基本體系與原結(jié)構(gòu)的位移不能保持一致，滿足不了基本體系與原結(jié)構(gòu)在變形上應(yīng)當一致的原則。

c.選擇容易計算內(nèi)力的基本體系。同一超靜定結(jié)構(gòu)可能存在多個力法基本體系的選取方式，合理的選取基本體系，可以減少圖乘時的疊加，進而減少計算工作量。

4 常見一次超靜定梁力法基本體系的選取

4.1 第一類一次超靜定梁力法基本體系的選取

對于第一類這種兩端鉸支、中部有一個鏈桿支撐的多跨梁基本體系的常用選取方式有兩種：第一種是將中部組合結(jié)點轉(zhuǎn)化為鉸結(jié)點并在鉸結(jié)點處加一組集中力偶，第二種是撤掉中部支座鏈桿以集中力代替。

力法計算超靜定結(jié)構(gòu)時主要的計算量集中在系數(shù)項和自由項的計算上，為了便于比較兩種基本體系，下面以右跨跨中布置一個集中力P 為例分別來計算這兩種基本體系的系數(shù)項和自由項。

圖3 圖

圖4 MP圖

系數(shù)項等于單位荷載彎矩圖自身圖乘。此時單位荷載彎矩圖在l/2 處出現(xiàn)折點，用圖乘法計算系數(shù)項時，需要分段進行圖乘，彎矩圖左右兩跨對稱，算出一側(cè)乘2即可，最終圖乘結(jié)果如下：

自由項等于單位荷載彎矩圖和荷載彎矩圖進行圖乘。此時MP圖只有右跨出現(xiàn)彎矩，用圖乘法計算系數(shù)項時，只需將右跨的單位荷載彎矩圖和荷載彎矩圖進行圖乘。圖乘時MP圖取A，Mˉ1圖取yc，圖乘結(jié)果如下：

圖5 圖

此時單位荷載彎矩圖在l/2 處出現(xiàn)折點，且彎矩圖左右對稱，因此用圖乘法計算系數(shù)項時，算出一側(cè)乘2 即可，最終圖乘結(jié)果如下：

自由項計算時，由于單位荷載彎矩圖和彎矩圖均出現(xiàn)折點，所以需要分段進行圖乘。根據(jù)圖形特點，圖乘時MP圖取A，圖取yc，分為四部分進行圖乘，最終圖乘結(jié)果如下：

通過對比發(fā)現(xiàn)，第一類一次超靜定梁在簡單荷載作用下，使用圖乘法計算兩種基本體系的系數(shù)項和自由項時，第二種基本體系的計算工作量是第一種基本體系的幾倍。如果原結(jié)構(gòu)承受的是較為復雜的荷載，那兩者的計算工作量差別會更大。因此，第一類超靜定梁在基本體系選取時宜選用將組合結(jié)點轉(zhuǎn)化為鉸結(jié)點并在鉸結(jié)點處加一組集中力偶的方法。

4.2 第二類一次超靜定梁力法基本體系的選取

對于第二類這種一端固定另一端鉸支的單跨梁基本體系的常用選取方式也有兩種：第一種是將固定支座轉(zhuǎn)化為固定鉸支座并在固定鉸支座處添加一個集中力偶，第二種是撤掉活動鉸支座以集中力代替。

下面以滿跨布置均布荷載q為例分別來計算這兩種基本體系的系數(shù)項和自由項。

此時，系數(shù)項等于長度為l、高度為1 的三角形自身進行圖乘，圖乘結(jié)果如下：

自由項等于三角形和二次拋物線進行圖乘。圖乘時MP圖取A，二次拋物線的面積為2lh/3，圖取yc，yc位于l/2處，圖乘結(jié)果如下：

此時，系數(shù)項等于長度為l、高度為l 的三角形自身進行圖乘，圖乘結(jié)果如下：

自由項等于三角形和二次拋物線進行圖乘。圖乘時MP圖取A，此二次拋物線的面積為lh/3，圖取yc，yc位于距離左端點1/4處，圖乘結(jié)果如下：

通過對比發(fā)現(xiàn)，第二類一次超靜定梁兩種基本體系在系數(shù)項和自由項計算上并無太大工作量差別。故使用力法進行此類梁計算時，基本體系選取以上兩種均可。

5 結(jié)論

用力法進行超靜定結(jié)構(gòu)的計算，有三個重要的環(huán)節(jié)：力法的基本未知量、力法的基本體系、力法的基本方程。而力法的基本體系是這三個“基本”的核心，它直接影響著力法計算的準確性及難易程度。

通過對以上兩種常見一次超靜定梁力法基本方程中系數(shù)項和自由項計算對比，可以發(fā)現(xiàn)：力法基本體系選取時有多種方式，不同的方式會產(chǎn)生不一樣的計算工作量，所以在力法基本體系選取時，在滿足前兩條選取原則的前提下，必須充分重視第三條原則，即選擇容易計算內(nèi)力的基本體系。對于常見的一次超靜定梁在力法基本體系選取時，應(yīng)盡量解除組合結(jié)點中傳遞彎矩的內(nèi)約束，保證各桿間的彎矩不互相影響，進而達到簡化圖乘計算的目的。