高子林, 劉志強， 王銀河, 熊 江

(1.重慶三峽學院 智能信息處理與控制重點實驗室,重慶 404100; 2.廣東工業(yè)大學 自動化學院,廣東 廣州 510006)

由于混沌系統存在一些特有的性質,如對初始條件具有敏感性、存在奇異吸引子和相空間中的分形等,因此被廣泛地應用在保密通信[1]、生物系統[2]、化學反應[3]及信息處理[4]等各個領域。特別地,自從文獻[5]首次利用驅動-響應方法實現了混沌系統的同步控制以來,混沌系統的同步控制問題得到了廣泛關注,并取得了一系列有價值的成果[6-9]。特別是在考慮混沌系統中存在不確定性和外部擾動的情況下,學者們提出了Backstepping控制[10]、自適應控制[11]、滑?？刂芠12]以及線性和非線性反饋控制[13]等智能同步控制方法。

文獻[14]證明了模糊邏輯系統的萬能逼近性,因此使用該系統來逼近混沌系統中未知非線性項成為可能[15-18]。文獻[15-16]采用Mamdani自適應模糊邏輯系統來逼近混沌系統中的未知非線性函數。從數學的角度看,Mamdani型模糊邏輯系統的輸出可以用一組模糊基函數的線性組合進行表示,文獻[15-16]給出的參數自適應律主要用于對這組系數(實際上就是模糊規(guī)則中的后件參數)進行在線估計,因此參數自適應律的個數與組合系數的數量相等,即參數自適應律的個數由模糊規(guī)則的數目決定。在實際應用過程中,為了提高控制性能和精度,往往需要使用大量的模糊規(guī)則,這會導致使用大量的自適應律對模糊規(guī)則的組合系數進行估計,從而增加了在線計算時間,容易導致系統延時,甚至導致系統的不穩(wěn)定。因此,在具備某些先驗知識的情況下, 生成不帶有組合參數自適應律的模糊邏輯系統來近似逼近實際工程中的非線性項是很有必要的。

不難看出,混沌系統中的未知非線性項可以用模糊邏輯系統近似逼近,并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論可以完成同步控制器的設計。然而,現有方法的前提條件是混沌系統中的參數要求是已知的,這在一定程度上限制了混沌系統在實際工程中的應用。另一方面,文獻[19-21]考慮了混沌系統中存在未知參數的情況,采用自適應方法完成了同步控制器的設計,所提出的方法要求混沌系統中非線性項必須是已知的。

針對上述2種情況的缺陷,本文研究了一類完全未知的混沌系統的驅動-響應同步問題,其中未知非線性函數用不帶參數自適應律的Mamdani型模糊邏輯系統進行近似逼近,未知參數則通過自適應方法進行在線估計,然后利用Lyapunov穩(wěn)定性理論完成了同步控制器的設計,并給出了數值仿真,其結果驗證了該方法的可行性和有效性。在同步控制器設計中, 參數自適應律的數目與模糊規(guī)則的數目無關,與文獻[15-18]中的方法相比,本文提出的方法不僅可以減少在線計算量,而且更符合實際應用中對混沌同步的要求。

1 系統描述

考慮如下混沌系統作為驅動系統[22-23]:

(1)

針對系統(1)式,若選擇非線性函數f1(x)=-x1x3,f2(x)=x1x2,當參數α=10、δ=28、γ=8/3、φ=1時,系統(1)式是一個典型的Lorenz混沌系統[23-24];當參數α=35、δ=-7、φ=-28、γ=3,系統(1)式則被稱為Chen混沌系統[23,25];當參數α=36、δ=0、φ=-20、γ=3時,則稱系統(1)式為Lü混沌系統[22-23]。因此,針對混沌系統(1)式的同步研究具有一定的代表性和廣泛性。

混沌系統在保密通信[1]、化學反應[3]以及信息處理[4]等領域得到廣泛地應用。近年來研究發(fā)現,同步電機(虛擬同步電機)的模型可以通過變換等效為一個類似于系統(1)式的Lorenz動態(tài)方程[25],在某些情況下,針對系統(1)式的研究可以為電力系統的可靠運行提供理論基礎,進而有助于混沌系統在實際工程中的應用。

系統(1)式的響應系統如下:

(2)

如果定義狀態(tài)同步誤差為ei=yi-xi(i=1,2,3),那么通過系統(1)式和(2)式可得到如下誤差微分方程:

(3)

記狀態(tài)同步誤差向量為e=[e1,e2,e3]T。

假設1 外界干擾|ζi(t)|≤ωi(t),|ξi(t)|≤σi(t)(i=1,2,3),其中已知函數ωi(t)和σi(t)在[0,+∞]是連續(xù)的。

2 系統設計

本文設計Mamdani型模糊邏輯系統用于逼近系統(1)式中的未知非線性函數,采用參數自適應方法對未知參數進行在線估計,利用其估計信息完成同步控制器的設計,最終實現一類完全未知混沌系統的驅動-響應同步。

2.1 Mamdani型模糊邏輯系統設計

基于模糊邏輯系統的萬能逼近性,系統(1)式中的未知非線性函數fk(x)(k=1,2)可以用Mamdani型模糊邏輯系統進行近似逼近?，F考慮使用帶有Nk條模糊規(guī)則的Mamdani型模糊邏輯系統Fk來近似逼近fk(x),其模糊規(guī)則在論域W?R3中表示如下:

(4)

如果采用單點模糊化、乘積推理與中心解模糊,那么由模糊規(guī)則(4)式構成的模糊邏輯系統Fk的輸出為:

k=1,2

(5)

2.2 同步控制器設計

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

其中:es=b1e1+b2e2+b3e3;g為一個給定的正常數,且參數b1、b2、b3、g在選擇時要保證矩陣

定理1 考慮系統(1)式和(2)式,若假設1成立,則在控制器(6)式和自適應律(7)～(12)式的作用下,可以達到控制目標的要求。

3 數值仿真

在仿真的過程中,假設參數α=10、δ=28、γ=8/3、φ=1和非線性函數f1(x)=-x1x3、f2(x)=x1x2均是未知的。首先用Mamdani模糊邏輯系統Fk(k=1,2)分別近似逼近未知非線性函數f1(x)=-x1x3和f2(x)=x1x2。變量x1、x2、x3的論域均為[-80,80],將論域劃分成3個模糊集{負(N),零(Z),正(P)},其隸屬度函數分別為μZ(z)=e-z2,μN(z)=e-(z+50)2/60,μP(z)=e-(z-50)2/60,根據某些先驗知識,本文主要依據f1(x)與x1x3異號和f2(x)與x1x2同號的關系給出了模糊規(guī)則，見表1所列。

表1 用于近似逼近f1(x)和f2(x)的模糊規(guī)則

圖1 狀態(tài)x1和y1隨時間變化曲線

圖2 狀態(tài)x2和y2隨時間變化曲線

圖3 狀態(tài)x3和y3隨時間變化曲線

圖4 同步誤差ei隨時間變化曲線

圖5 參數隨時間變化曲線

圖6 總同步誤差‖e‖隨時間變化曲線

綜上所述,對于一類完全未知的驅動系統(1)式,在控制器(6)式和自適應律(7)式～(12)式的作用下,使響應系統(2)式與驅動系統(1)式實現了同步。由圖4和圖6可知,相比于文獻[22]的同步方法,本文提出的方法可以使驅動系統和響應系統更快地實現同步;由圖5可知,參數估計是在線進行的,并且每個參數都是有界的。因此本文提出的同步方法在工程應用中更具有實用性。

4 結 論

本文利用自適應方法和模糊邏輯系統的萬能逼近性,針對一類完全未知的混沌系統給出了驅動-響應同步的控制方案。其中模糊邏輯系統僅用于近似逼近混沌系統中的未知非線性函數,自適應方法解決了參數在線估計的問題。在同步控制器的設計過程中,參數自適應律的個數與模糊規(guī)則的數目無關,且只有6個通用參數需要在線估計，自適應律的數目顯著減少,在線運算量也隨之減少,并且通過某些先驗知識產生的模糊規(guī)則所構成的模糊邏輯系統(無需對模糊規(guī)則的后件參數進行在線估計)具有更廣泛而高效的應用。