朱旭穎 (浙江省杭州市余杭文昌高級中學(xué) 311121)

1 高考數(shù)學(xué)命題的三大情境解讀

2020年初《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》由人民教育出版社出版發(fā)行，兩個文獻分別從“高考的核心功能、考查內(nèi)容、考查要求三個方面回答為什么考、考什么、怎么考等考試的根本性問題，從而給出培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人這一教育根本問題在高考領(lǐng)域的答案”[1]．這將成為未來新高考改革、高考命題和高考實踐的重要指南，也將成為學(xué)生復(fù)習(xí)備考的重要參考．

數(shù)學(xué)的情境包括引入數(shù)學(xué)概念時的情境、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理時的情境、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運算時的情境、數(shù)學(xué)推理過程中的問題情境等.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注已有數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)和準備程度．這些情境是學(xué)生最熟悉的問題情境，在高考數(shù)學(xué)命題試卷中比例最高．

科學(xué)(創(chuàng)新)的情境包括推演數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)探究、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)實驗等問題情境，與21世紀最新科學(xué)技術(shù)緊密聯(lián)系，關(guān)注與未來學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)和數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的更深入的探索．這些情境檢測平時數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)或數(shù)學(xué)探究活動的學(xué)習(xí)，與數(shù)學(xué)本質(zhì)關(guān)聯(lián)度最高、難度較大，是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的試金石．

現(xiàn)實的情境是社會文化與經(jīng)濟生活的實踐情境，需要考生將觀察到的現(xiàn)實現(xiàn)象與學(xué)科知識、方法建立聯(lián)系，應(yīng)用學(xué)科工具解決問題，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科和社會實踐的關(guān)聯(lián)．這些情境需要在“用數(shù)學(xué)眼光看世界”理念引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察，學(xué)會綜合分析現(xiàn)實問題中的數(shù)學(xué)模型，并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，檢測學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識、能力與素養(yǎng)．

2 2020年新高考數(shù)學(xué)命題三大情境

2.1 新高考數(shù)學(xué)中現(xiàn)實情境題大增

2020年新高考北京、天津、山東、海南數(shù)學(xué)過渡卷中，數(shù)學(xué)應(yīng)用題(含數(shù)學(xué)文化)增多，且有不良結(jié)構(gòu)(開放)題、多項選擇題等新題型的進入，特別是大量引入應(yīng)用性和探究性試題，新高考數(shù)學(xué)命題的變化也都體現(xiàn)在應(yīng)用性、創(chuàng)新性、開放性、選擇性上．研究發(fā)現(xiàn)，新高考數(shù)學(xué)試卷閱讀量與應(yīng)用題數(shù)量呈現(xiàn)正相關(guān)性，2020年山東卷有1 080多字，而全國卷1理科僅670多字，江蘇卷800多字;從應(yīng)用題題量看，山東卷有7題，全國卷I理科僅有3題，江蘇卷4題．

·現(xiàn)實情境緊密聯(lián)系社會熱點

引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界”，尤其是現(xiàn)實社會熱點，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識．

例1(2020年山東卷第6題)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln 2≈0.69)( )．

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

·現(xiàn)實情境檢測數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)建模能力應(yīng)該在解決現(xiàn)實問題的過程中，在實踐、體驗、感悟和獲得基本經(jīng)驗的過程中形成．現(xiàn)實生活中類似的問題有很多，只有學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法去思考世界，用數(shù)學(xué)的語言去表達世界，數(shù)學(xué)建模能力才會逐步提升．

圖1

①在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

②在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

③在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都已達標；

④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強．

其中所有正確結(jié)論的序號是．

·現(xiàn)實情境緊密聯(lián)系數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實生活中的方方面面，經(jīng)歷一代一代的數(shù)學(xué)家的抽象和歸納得到，蘊含著大量的文化元素，通過課堂再現(xiàn)使得數(shù)學(xué)文化得以延續(xù)．近幾年的高考數(shù)學(xué)命題中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的試題漸漸成為高考數(shù)學(xué)的標配．

例3(2020年高考山東卷第4題)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所成平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為( )．

A．20° B．40° C．50° D．90°

圖2

2.2 新高考數(shù)學(xué)中科學(xué)情境緊貼數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，數(shù)學(xué)也是研究自然現(xiàn)象、解釋空間形式和關(guān)系的基礎(chǔ)，比如無人機大戰(zhàn)、無人機專投等都是數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用．科學(xué)情境可以激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)概念與方法解釋科學(xué)現(xiàn)象與概念．

新定義試題是高考數(shù)學(xué)命題的一種常見形式，命題者把科學(xué)技術(shù)中的基本概念與數(shù)學(xué)概念緊密聯(lián)系起來，即關(guān)聯(lián)層次的情境，要求應(yīng)試者將新概念與自己學(xué)習(xí)的知識迅速聯(lián)想，理解題目的內(nèi)涵，從而尋找到解決問題的突破口．

A．若n=1，p1=1，則H(X)=0

B．若n=2，則H(X)隨著pi的增大而增大

D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為j=1，2，3，…，m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1，2，3，…，m)，則H(X)≤H(Y).

2.3 新高考數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)情境重在推理

毫無疑問，新高考數(shù)學(xué)命題中的數(shù)學(xué)情境是檢測學(xué)生中學(xué)階段所學(xué)數(shù)學(xué)知識的主干內(nèi)容，重在邏輯推理、構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與模型識別．

·數(shù)學(xué)主干內(nèi)容是邏輯推理主題

《課標》案例11“正方體截面的探究”、案例24“四棱錐中的平行問題”、案例31“圓柱體截面的問題”都需要有較強的轉(zhuǎn)化與化歸能力．本題完全吻合《課標》要求，需要學(xué)生熟悉一些基本的空間幾何體的模型．

·數(shù)學(xué)情境問題解決重在數(shù)學(xué)運算能力

數(shù)學(xué)情境主干內(nèi)容函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等都離不開基本繁雜的運算，沒有強大的運算能力，是不可能在任何數(shù)學(xué)測試中獲得成功的．

例6(2020年山東卷第18題)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3=8．

(1)求{an}通項公式；

(2)記bm為{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項的個數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項和S100．

此問題第(2)問需要學(xué)生在數(shù)字運算過程中進行邏輯推理．

·數(shù)學(xué)情境問題解決靠四大思想

高考數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)，尤其在數(shù)學(xué)情境中，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化與化歸思想是數(shù)學(xué)情境的內(nèi)在本質(zhì)．

3 2021年新高考數(shù)學(xué)命題三大情境的內(nèi)容與落點

高考數(shù)學(xué)命題中任何情境離不開中學(xué)數(shù)學(xué)基本內(nèi)容，但是情境更加新穎，設(shè)問角度更加觸及數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)的要求，且體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程標準評價中的味道．

3.1 內(nèi)容

根據(jù)《課標》的評價要求，2021年新高考數(shù)學(xué)命題仍處在過渡階段，三大情境的內(nèi)容所呈現(xiàn)的三大層次仍保持2020年的特色，應(yīng)用性與創(chuàng)新性仍是主流．

3.2 落點

根據(jù)《課標》中評價的內(nèi)容要求，對新課改背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)落點給出如下建議．

第一是對有可能考到的知識點盡量講深、講透.這不會增加負擔(dān)，反而是在給學(xué)生提供更多的彈藥，與其拿出一節(jié)課、半節(jié)課講一道難題，不如講與難題相關(guān)的知識點，并用相應(yīng)的知識點來解決難題．

(1)求橢圓C的方程；

(2)點M，N在橢圓C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．

此題第(2)問是難題，但離不開直線與圓錐曲線的基本模式：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程—利用韋達定理建立交點坐標與參數(shù)間數(shù)量關(guān)系—化簡參變量函數(shù)(雙參數(shù)化為單參數(shù))—建立某個主變量(如面積)函數(shù)或點斜式直線方程等．圓錐曲線問題中障礙最多的就是運算，根據(jù)問題涉及的代數(shù)式結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練突破結(jié)構(gòu)難點的方法最重要．

第二是重視訓(xùn)練題的應(yīng)用性和創(chuàng)新性．如前所述，數(shù)學(xué)已不僅僅是數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用與創(chuàng)新能力需要通過數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與學(xué)科素養(yǎng)來提升，高考命題中引入多項選擇題、開放(結(jié)構(gòu)不良)題、數(shù)據(jù)分析題、舉例題、邏輯分析題正是檢驗學(xué)生的創(chuàng)新能力的改革舉措，2020年山東卷以解三角形為背景創(chuàng)建結(jié)構(gòu)不良型的開放題，以后以數(shù)列為背景或其他主干內(nèi)容為背景的開放題也將成為可能．

例8設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，，a5=b1，4Tn=3bn-1(n∈N*)，是否存在實數(shù)λ，對任意n∈N*都有λ≤Sn？若存在，求實數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

在①3a2+b2+b4=0；②a4=b4；③S3=-27這三個條件中任選一個補充在上面問題中，并解答問題．

(1)若補充條件3a2+b2+b4=0，利用已知條件求出a2，d得到an，求出Sn的最小值即可得出結(jié)論；

第三是充分訓(xùn)練代數(shù)運算．運算多么熟練都不過分，解析幾何與立體幾何等都會有大量運算，學(xué)生在審題與運算中始終要關(guān)注代數(shù)式、三角式等結(jié)構(gòu)，以便尋找到合理的運算途徑．

很多學(xué)生看到此問題，首先想利用導(dǎo)數(shù)工具來解決，結(jié)果運算過程相當復(fù)雜且處處受阻．

第四是作業(yè)的有效設(shè)計，嚴格控制作業(yè)量.作業(yè)可分為學(xué)案、鞏固作業(yè)、“自助餐”(提升素養(yǎng)).學(xué)案上課用，引導(dǎo)學(xué)生深入概念，了解方法，掌握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延；鞏固作業(yè)自習(xí)課用，下課即收，當天批閱，晚自習(xí)發(fā)下去；“自助餐”帶有詳細答案，比如《高考數(shù)學(xué)自我修煉手冊》，不收不批，由學(xué)生自主練習(xí).過多的作業(yè)會讓學(xué)生疲于應(yīng)付，消化不良，盡管平時成績好一點，高考卻很難考好，特別是尖子生會大打折扣，因此要預(yù)防學(xué)生對教師產(chǎn)生抵觸心理，以免對學(xué)業(yè)成績造成負面影響．