劉德水 (江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215151)

復(fù)習(xí)課是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要的課型，而復(fù)習(xí)課的問題設(shè)計(jì)是決定復(fù)習(xí)實(shí)效的重要環(huán)節(jié)．問題是數(shù)學(xué)的心臟，復(fù)習(xí)課中的問題是引領(lǐng)學(xué)生走向知識(shí)海洋的紐帶，通過一個(gè)個(gè)“問題串”促發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，啟迪學(xué)生的思維[1]．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)本質(zhì)是教師教與學(xué)生學(xué)的雙邊活動(dòng)過程，復(fù)習(xí)課是在問題的引領(lǐng)下，學(xué)生自主探究、合作交流，教師引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生探索問題、解決問題，師生、生生互動(dòng)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過程．在這個(gè)過程中，問題扮演著非常重要的角色．毫不夸張地說，沒有問題就沒有教學(xué)，沒有有效的問題就沒有有效的復(fù)習(xí)實(shí)效．因此，一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課優(yōu)劣的基本要素就是問題的設(shè)計(jì)，即“好的問題”是“好的復(fù)習(xí)課教學(xué)”的基礎(chǔ)．好問題能積極引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，有利于落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力上有所發(fā)展，幫助學(xué)生完善知識(shí)體系．

近期，筆者在蘇州市初三一輪復(fù)習(xí)研討活動(dòng)上開設(shè)了一節(jié)“數(shù)、式的概念及其運(yùn)算”復(fù)習(xí)研討課，現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)分析、教學(xué)過程和教學(xué)思考整理成文，與同行交流．

1 教學(xué)分析

1.1 教材分析

從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容維度來看，數(shù)與式不僅是方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識(shí)表達(dá)和運(yùn)算的基礎(chǔ)，而且也是許多圖形問題中有關(guān)數(shù)量表達(dá)與計(jì)算的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)的運(yùn)算是式的基礎(chǔ)，式的運(yùn)算是數(shù)的擴(kuò)展．從數(shù)學(xué)思想方法維度來看，數(shù)與式所蘊(yùn)含的思想方法如轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等對(duì)方程、不等式、函數(shù)的研究以及幾何圖形、概率等內(nèi)容具有重要的指導(dǎo)意義．?dāng)?shù)與式內(nèi)容中所滲透的數(shù)感和符號(hào)感也是理解方程和函數(shù)意義的本質(zhì)及進(jìn)行相關(guān)運(yùn)用的基礎(chǔ)．

1.2 學(xué)情分析

本節(jié)課是對(duì)蘇科版“數(shù)與式”的整體復(fù)習(xí)．學(xué)生已經(jīng)了解了數(shù)與式的概念，能熟練地進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算，但是對(duì)數(shù)與式之間的橫向聯(lián)系、縱向關(guān)聯(lián)還不夠明晰，有必要對(duì)“數(shù)與式”之間的內(nèi)在關(guān)系進(jìn)一步明確．授課班級(jí)的學(xué)生基礎(chǔ)良好，有一定的問題意識(shí)和解決問題的能力，為實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)效益最大化奠定了基礎(chǔ)．

1.3 教學(xué)目標(biāo)

能在提供的學(xué)習(xí)素材中提出問題；經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的過程，感受類比、轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握數(shù)、式的有關(guān)運(yùn)算．

2 教學(xué)過程

2.1 實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)

問題1寫出4個(gè)數(shù)，并用這4個(gè)數(shù)編一道同級(jí)運(yùn)算題．請(qǐng)分享你是如何運(yùn)算的．

設(shè)計(jì)意圖呈現(xiàn)開放性問題，具有一定的挑戰(zhàn)性，有利于學(xué)生自由發(fā)揮，主動(dòng)回顧舊知，提取計(jì)算經(jīng)驗(yàn)和喚醒記憶．可以恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生將書寫的實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，將實(shí)數(shù)的分類結(jié)構(gòu)圖一起勾勒出來，為本節(jié)課后續(xù)“式”的邏輯關(guān)系的呈現(xiàn)與確立奠定基礎(chǔ)．

生：這4個(gè)數(shù)分別是整數(shù)3，3，3，6，可以算24點(diǎn)的式子有：

(1)3+3+3×6=24；

(2)(3+3)×3+6=24；

(3)(3÷3+3)×6=24；

(4)3×(3+6)-3=24；

(5)33-(6-3)=24；

設(shè)計(jì)意圖以不同的方式呈現(xiàn)“數(shù)”，將基礎(chǔ)計(jì)算技能滲透到問題解決過程中．學(xué)生用運(yùn)算符號(hào)可以把數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)出來，實(shí)數(shù)的四則混合運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是表達(dá)了數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系．這樣的設(shè)計(jì)意在通過一個(gè)小問題盡可能地融入更多的計(jì)算元素，將基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的復(fù)習(xí)效益最大化．

2.2 整式與整式

問題3(1)寫出幾個(gè)只含有字母x的單項(xiàng)式．

(2)寫出幾個(gè)只含有字母x的多項(xiàng)式(一次或者二次多項(xiàng)式)．

(3)寫出幾個(gè)只含有字母x，y的多項(xiàng)式(一次或者二次多項(xiàng)式)．

問題4請(qǐng)?jiān)谡絰+3，2x+6，x-3，2x中選取兩個(gè)進(jìn)行運(yùn)算，使結(jié)果為最簡(jiǎn)整式．

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的這兩個(gè)自編問題，體現(xiàn)了“用字母表示數(shù)”由數(shù)到整式的發(fā)展過程．整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并“同類項(xiàng)”，整式的乘法是乘法分配律的應(yīng)用，各種不同整式及整式之間的運(yùn)算，體現(xiàn)學(xué)生的多角度的思維，將數(shù)與數(shù)的關(guān)系自然過渡到整式與整式的關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想、從一般到特殊再?gòu)奶厥獾揭话愕乃枷?，不斷改進(jìn)和優(yōu)化解決問題的思路和方法，提高分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力．

2.3 分式與分式

問題5請(qǐng)?jiān)谡絰+3，2x+6，x-3，x2+6x+9中選取兩個(gè)組成分式，并將你組成的分式與同伴組成的分式進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果最好為分式．

學(xué)生進(jìn)行小組合作交流后作答如下(選取一例)：

師：(追問)再取一個(gè)你喜歡的x值，算出代數(shù)式的結(jié)果．

生：取不是0,3或者-3的實(shí)數(shù)代入求值．

設(shè)計(jì)意圖呈現(xiàn)一道開放式的分式化簡(jiǎn)題，在小組活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力．教學(xué)中要注重結(jié)構(gòu)分析，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序.該問題的設(shè)計(jì)包含了分式的加減、乘除以及整式的因式分解；取值時(shí)，還考查了分式的有無意義問題.類比整式的概念及其運(yùn)算，喚醒分式的概念及其運(yùn)算，式的系列擴(kuò)展添加了新成員“分式”．

2.4 根式與根式

(2)若x取3和6，則可進(jìn)行兩個(gè)二次根式的乘除運(yùn)算(此處省略)．

(3)也可取較為復(fù)雜的數(shù)或式進(jìn)行運(yùn)算(此處省略)．

設(shè)計(jì)意圖類比整式的概念及其運(yùn)算.式的系列擴(kuò)展又增加成員“根式”．

2.5 數(shù)與式

3 教學(xué)思考

好的問題是教師教和學(xué)生學(xué)的重要載體，是提高復(fù)習(xí)課實(shí)效的關(guān)鍵．一節(jié)復(fù)習(xí)課的實(shí)效如何關(guān)鍵在于問題的設(shè)計(jì)，好問題是一堂好復(fù)習(xí)課的必備條件．?dāng)?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課如何優(yōu)化問題設(shè)計(jì)？筆者認(rèn)為好的問題設(shè)計(jì)要有指向性、開放性、傳承性、挑戰(zhàn)性和生長(zhǎng)性．

3.1 問題設(shè)計(jì)要有指向性

復(fù)習(xí)課的問題設(shè)計(jì)要具有指向性，要能貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，在知識(shí)的重難點(diǎn)處、學(xué)生困惑處設(shè)計(jì)問題，能啟發(fā)學(xué)生思維，豐富學(xué)生想象，提高其分析與解決問題的能力.如問題5的要求是用現(xiàn)有兩個(gè)整式組成分式并與其他分式進(jìn)行運(yùn)算(結(jié)果最好也為分式)，顯然此類問題創(chuàng)設(shè)能開啟學(xué)生的思維的閘門，引發(fā)學(xué)生的思考，完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在交流解決中使學(xué)生逐漸釋疑，將數(shù)學(xué)思維一步步引向深入．

3.2 問題設(shè)計(jì)要有開放性

復(fù)習(xí)課要注重設(shè)計(jì)具有開放性的問題，因?yàn)殚_放性問題更能還原數(shù)學(xué)知識(shí)的本來面貌，而且對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展和提升有更大的幫助[2]．開放性問題有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與探索的精神，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，能保障學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，有利于全體學(xué)生的主動(dòng)參與，有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)的民主性和合作性，有利于學(xué)生樹立信心、產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及提高學(xué)生解決問題的能力，可以讓不同層次的學(xué)生多層次、多角度地進(jìn)行探索，從而做出不同層次的解答．本節(jié)課開放性的問題驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)比較多，如利用4個(gè)實(shí)數(shù)編寫同級(jí)運(yùn)算題、分式的組成及分式的混合運(yùn)算、根式下被開方數(shù)的取值并計(jì)算等，均對(duì)不同角度思考的學(xué)生給予了不同層次的認(rèn)知發(fā)展．問題設(shè)計(jì)要體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的培養(yǎng)目標(biāo)，即要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[3]．

3.3 問題設(shè)計(jì)要有傳承性

復(fù)習(xí)課中，分析問題并探究解決方法是學(xué)生吸收知識(shí)，提高思維能力，形成有效教學(xué)的前提.問題應(yīng)存在于整個(gè)教學(xué)過程中，應(yīng)使教學(xué)活動(dòng)自始至終圍繞問題的分析研究和解決展開．復(fù)習(xí)課問題在數(shù)學(xué)課堂上可采用小步走、漸進(jìn)式、問題串的模式.問題設(shè)計(jì)也是多渠道的，可以是教師設(shè)計(jì)的問題，也可以是學(xué)生提出的問題，或者教材提供的問題，或與學(xué)生成長(zhǎng)中匹配的最近發(fā)展區(qū)里的身邊的數(shù)學(xué)情境問題．比如問題7中實(shí)數(shù)、整式、分式、根式等和的運(yùn)算問題，就是傳承了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，同單位的加法問題，只要認(rèn)清本質(zhì)“單位1”是誰(shuí)，問題就迎刃而解．本課例圍繞從數(shù)到式的擴(kuò)展及其之間關(guān)系展開，關(guān)系中有傳承，傳承中有發(fā)展．

3.4 問題設(shè)計(jì)要有挑戰(zhàn)性

復(fù)習(xí)課是在原有基礎(chǔ)上的總結(jié)和提升，因此要設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的問題．學(xué)生面對(duì)挑戰(zhàn)時(shí)，積極、勇敢、自信的正面情緒一旦得到激發(fā)與保持，其思想火花將會(huì)更加精彩[4]．在數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中有一條基本理念：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的．”認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為，學(xué)會(huì)真正的學(xué)習(xí)過程是認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷改造擴(kuò)展的過程，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造與擴(kuò)展必須通過學(xué)生親自與外部情境產(chǎn)生交互作用，發(fā)生思維活動(dòng)，由此建立起自己對(duì)內(nèi)容、意義的理解．挑戰(zhàn)性問題的實(shí)質(zhì)在于激起學(xué)生強(qiáng)烈的思維活動(dòng)，通過思維活動(dòng)促進(jìn)外部知識(shí)與內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的互動(dòng)，從而促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)展．本節(jié)課中數(shù)與式的結(jié)構(gòu)進(jìn)一步重新認(rèn)識(shí)與確立，凡是數(shù)的問題解決，后面總有匹配的式的問題相對(duì)應(yīng)；數(shù)的問題解決了，可以用解決“數(shù)”的問題方式嘗試解決“式”的各類問題，從數(shù)到式的不斷擴(kuò)展與相互之間的關(guān)系不斷明晰的過程，就是一個(gè)不斷挑戰(zhàn)問題的過程．

3.5 問題設(shè)計(jì)要有生長(zhǎng)性

復(fù)習(xí)課教學(xué)的最終結(jié)果不應(yīng)僅僅是用所學(xué)知識(shí)解決問題，還應(yīng)是在初步解決問題的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的問題，與解決新的問題的周期性的循環(huán)生長(zhǎng)過程．在這個(gè)過程中，學(xué)生豐富了自己的認(rèn)知，掌握了某些分析問題和解決問題的科學(xué)方法，發(fā)展了某些方面的能力．“授之以魚不如授之以漁”，在解決問題中，不斷設(shè)計(jì)或出現(xiàn)了為解決問題而出現(xiàn)的輔助問題，而這些輔助問題又是解決問題的基本或核心問題，這樣就形成了解決問題的問題鏈，由此逐步讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)問題的基本思路、基本方法、基本思想，逐漸養(yǎng)成解決數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣，形成解決數(shù)學(xué)問題的能力．本課例始終有一條驅(qū)動(dòng)線索一直貫穿其中，即“加減乘除”的系列運(yùn)算，而參與運(yùn)算的素材是不同類型的數(shù)和不同類型的式.在問題設(shè)計(jì)中，不斷嘗試體現(xiàn)類比、一般到特殊、特殊到一般、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生觀察、歸納、類比、概括等能力，將多個(gè)問題變成一個(gè)問題，將多個(gè)類型變成一個(gè)類型，幫助學(xué)生掌握通性通法，從而提升復(fù)習(xí)實(shí)效．