顧彩梅 (浙江省杭州外國語學(xué)校 310023)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價值的行為，這種思考是‘運用數(shù)學(xué)的思維方式進行的思考’，因此義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程進行的全過程，都應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.”如何擁有數(shù)學(xué)思維？解題是首要途徑.解題思維異構(gòu)是指在解題教學(xué)中，通過適切的載體、靈動的處理讓學(xué)生充分聯(lián)想與問題有密切關(guān)聯(lián)的事實和條件，多角度、多層次地尋求解決問題的方法，充分思考問題的關(guān)聯(lián)發(fā)展方向，產(chǎn)生新的想法[1].解題思維異構(gòu)擯棄了依賴記憶與模仿的思維固有化模式，借助教師在課堂上對不同數(shù)學(xué)思維的捕捉和開發(fā)，讓學(xué)生在問題的解決過程中不斷思考、不斷創(chuàng)新，從而實現(xiàn)從簡單學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)的過渡.本文以一道中考題的解法教學(xué)為例，就解題思維異構(gòu)在課堂教學(xué)中的有效利用，談一些粗淺的看法.

1 題目呈現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE=4，過點E作EF∥BC，分別交BD，CD于G，F(xiàn)兩點.若M，N分別是DG，CE的中點，則MN的長為( )

圖1

本題是2017年寧波市中考數(shù)學(xué)試題第11題，此題出現(xiàn)在筆者執(zhí)教九年級學(xué)生的中考復(fù)習(xí)用書上.本題數(shù)學(xué)思維的起點低、入口寬，從不同角度切入的解題思路都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效路徑，教師幫助學(xué)生分析、解決問題的過程就是教思維的過程，也是深度教學(xué)發(fā)生的過程.

2 多角度思維異構(gòu)

在學(xué)生充分理解題目的基礎(chǔ)上，教師提問.

師：你能根據(jù)已知條件初步得到哪些結(jié)論？

生1：利用矩形和等腰直角三角形的性質(zhì)，除了MN，其他線段都會算.

師：你覺得題目中哪個條件比較重要？或者你見過有類似條件的相關(guān)題目嗎？

生1：由線段中點，我想到三角形的中位線(思維捕捉1)，但觀察圖形發(fā)現(xiàn)找不到MN為中位線的三角形，我想試試把線段MN轉(zhuǎn)移.

師：這是個不錯的想法.大家可以一起想想，如何構(gòu)造三角形的中位線？

圖2

師：這位同學(xué)的類比遷移用得非常好，把你的方法動手做做看.

生3：中點讓我聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線(思維捕捉2)，我想去找與MN相關(guān)的直角三角形.

師：這也是個不錯的想法，圖中哪里有直角呢？找找看.

生4：MF⊥GD，所以△FMB是直角三角形.

生5：△EMC好像也是直角三角形，而且EM=AM=MC.

師：那如何說明∠EMC是直角呢，看看EM=AM=MC這個條件能不能幫到你.

生6：中點讓我聯(lián)想到了之前用過很多次的倍長中線法(思維捕捉3)，我想試試倍長任一經(jīng)過中點M的線段看看.

師：你覺得倍長的線段與MN是不是要有一定關(guān)聯(lián)？如果是，找哪一條比較合適？

生7：我想直接建立直角坐標(biāo)系(思維捕捉4)來計算線段長度.

師：哇，這個想法很不一般啊，幾何問題代數(shù)化，這是高中解析幾何的思想，算算看.

師：試著驗證一下你的猜想.

教師將學(xué)生以不同的思維路徑分組，經(jīng)過交流、討論，共同建構(gòu)以下解題思路：構(gòu)造三角形的中位線、構(gòu)造直角三角形、倍長經(jīng)過中點的線段、解直角三角形(一般三角形)、建立直角坐標(biāo)系解決問題.

3 思維異構(gòu)下的解法展示

思路1 構(gòu)造中位線

圖3 圖4

思路2 構(gòu)造直角三角形

圖5 圖6

思路3 倍長經(jīng)過中點的線段

思路4 解直角三角形

圖7 圖8

思路5 建立直角坐標(biāo)系.

圖9 圖10

4 小結(jié)交流

波利亞倡導(dǎo)解題之后要回顧檢驗，用不同方法推導(dǎo)結(jié)果，力求多法歸一.那么以上不同思路下的解題方法，對以后解決新問題有什么幫助呢？教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)有關(guān)“線段中點問題”的常用解法：倍長經(jīng)過中點的線段、構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線、構(gòu)造三角形的中位線.

小結(jié)之后，學(xué)生提出這樣一個問題：如果把條件改為“M，N分別是GD，EC的三等分點”，問題怎么解決？教師鼓勵學(xué)生去思考，以上哪些方法仍然適用、又有哪些新的方法，再進一步鼓勵他們?nèi)?gòu)造變式，提出問題并嘗試解決.

5 教后反思

(1)解題思維異構(gòu)要在過程中充分發(fā)生

為了提高解題能力，學(xué)生往往會自主采取多看多做的辦法，教師也會選擇多講和讓學(xué)生多練的方式.這種以求通過量的突破來達到質(zhì)的飛躍的思想長期禁錮著教室里的學(xué)生和老師.究其背后的原因，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在遇到困難時一般都是被動地接受解題思路，以看懂標(biāo)準(zhǔn)答案和聽懂教師講解為目標(biāo)，很少去經(jīng)歷“知其所以然，何由以知其所以然”的過程.數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它具有整體性、階段性、連續(xù)性等特征，要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中給學(xué)生足夠的時間和空間思考，這種過程性的進展不能快進，更不能跳過.

(2)解題思維異構(gòu)要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位

教育的本質(zhì)是使學(xué)生得到全面的發(fā)展，掌握知識技能、感悟數(shù)學(xué)思想、養(yǎng)成良好習(xí)慣、健全完善人格，要使學(xué)生獲得這樣全面的發(fā)展，必須落實學(xué)生的主體地位.學(xué)生成為學(xué)習(xí)主體的重要標(biāo)志是他們積極參與各種教學(xué)活動，這種“活動”不僅包括外顯行為、可觀察的活動(如操作、實驗、討論、交流等)，而且也包括學(xué)生積極的思維活動.教師要少“講授”、多“傾聽”，讓學(xué)生中不同個體所產(chǎn)生的差異性思維充分暴露在探究問題的過程中，保護他們的創(chuàng)造性想法，肯定他們在思維上的主動性和積極性.

(3)解題思維異構(gòu)要借助教師的有效提問

教師在課堂教學(xué)中的主導(dǎo)作用突出地表現(xiàn)為對學(xué)生學(xué)習(xí)活動的“引導(dǎo)”，這種引導(dǎo)往往借助于課堂的提問，學(xué)生在問題的引導(dǎo)下可以開展積極的思維活動.教師設(shè)計問題，要從學(xué)生的實際(已有的知識結(jié)構(gòu)、生活經(jīng)驗等)出發(fā)，由淺入深、階梯式地逐步帶著學(xué)生走向思維的深處.提出的問題要讓學(xué)生有東西可想、想得出，逐步走向思維的不同領(lǐng)域.解題思維的異構(gòu)體現(xiàn)在問題思考的寬度、廣度和深度上，在解決問題的過程中只有那些觸及思維底部且基于理解之上更多關(guān)注本質(zhì)、關(guān)聯(lián)、創(chuàng)造的高階思維才能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(4)解題思維異構(gòu)有助于深度教學(xué)真正發(fā)生

解題思維異構(gòu)是思維的一種方式，這種思維方式的建構(gòu)有助于深度教學(xué)的實施.思維異構(gòu)為主的課堂教學(xué)獲得的不僅有題目解答，更有思維過程.學(xué)生在原有知識脈絡(luò)的基礎(chǔ)上，建構(gòu)知識間的有機聯(lián)系，多層次、全方位地理解數(shù)學(xué)問題，厘清思維過程中的結(jié)點，聯(lián)接思維中的斷點，從而獲得解決問題的多種有效思維，這是深度教學(xué)真正發(fā)生的體現(xiàn).深度是觸及知識底部和本質(zhì)的程度，解題思維異構(gòu)推動著教師的深度教學(xué)，有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)和促進核心素養(yǎng)的真正落實.