廖曉花

(閩南理工學(xué)院 信息管理學(xué)院，福建 石獅 362700)

在目前知識水平高度提升的背景下，多數(shù)學(xué)科對于數(shù)學(xué)學(xué)科的要求逐漸提升[1].因此，數(shù)學(xué)作為多種學(xué)科發(fā)展的必備工具，在學(xué)科建設(shè)中發(fā)揮著基礎(chǔ)作用，這使得數(shù)學(xué)學(xué)科的地位得到不斷的提升.在這種發(fā)展形勢下，線性非齊次微分方程組成為數(shù)學(xué)學(xué)科中一個重要的分支，對于處理空間的線性問題起到了關(guān)鍵性作用.其方程組作為一種計算工具已經(jīng)在物理、數(shù)學(xué)、航空航天技術(shù)中得到廣泛的應(yīng)用[2-3].

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，微分方程可解決的領(lǐng)域越來越大，涉及各個學(xué)科.大部分的物理實例問題都可劃歸為微分方程求解問題，利于計算機(jī)無線裝置計算、彈道計算以及飛行器穩(wěn)定性計算等，這些問題的研究在實際生活中都具有非常重要的意義[4-5].基于此，微分方程組解決問題越來越重要，但在實際使用的過程中，依然存在許多困難等待我們繼續(xù)研究與剖析.因此，本文設(shè)計了三元一階線性非齊次微分方程組解法，可有效提升對三元一階線性非齊次微分方程組的計算能力.

1 解法設(shè)計

此次研究主要對三元一階線性非齊次微分方程組求解問題展開研究，證實在非齊次邊值條件下，微分方程組正解的存在性.在計算的過程中計算與方程組相對應(yīng)的格林函數(shù)，確定此函數(shù)的上下界，得到三元一階線性非齊次微分方程組的解，詳細(xì)計算過程如下文內(nèi)容.針對傳統(tǒng)求解過程在使用中的不足，設(shè)定上述三元一階線性非齊次微分方程組求解方法.在此次設(shè)計中，將根據(jù)上述設(shè)定結(jié)果，完成求解方法設(shè)計過程.

1.1 求解軟件設(shè)定

由于傳統(tǒng)方程組僅采用高精度計算機(jī)作為求解設(shè)備，其求得的方程組解具有一定的誤差值，影響方程組解的后續(xù)使用.通過文獻(xiàn)研究以及傳統(tǒng)方程組求解方法的分析結(jié)果，在此次設(shè)計中采用Matlab軟件作為求解平臺，實現(xiàn)方程組求解過程[6-7].為保證求解過程的穩(wěn)定性，在軟件中添加部分新部件，其中包括：線性代數(shù)和矩陣分析與變換；數(shù)據(jù)處理與基本統(tǒng)計；快速傅里葉變換[8-9]；相關(guān)與協(xié)方差分析；稀疏矩陣運算.通過上述設(shè)定保證計算過程的穩(wěn)定性，具體部件安裝結(jié)果如圖1所示.

圖1 Matlab軟件部件安裝結(jié)果

基于三元一階線性非齊次微分方程組隸屬于常微分方程，在計算的過程中可通過mainl.m和getParal.m實現(xiàn)全部的計算過程.采用mainl.m確定其解決過程中的細(xì)化次數(shù)，即方程組的分解次數(shù).在計算中如細(xì)化次數(shù)增加，就將多元的分解單元對分，得到原有分解單元的2倍數(shù)新生單元；利用getParal.m插件生成方程組的邊界條件，其中包含方程組的全局剛性矩陣以及全局計算向量；而后計算方程組預(yù)想的范數(shù)，將方程組所用的數(shù)值解進(jìn)行整合.

在計算的過程中，將getParal.m插件得到的細(xì)化次數(shù)作為計算的主要參數(shù).根據(jù)細(xì)化次數(shù)確定方程組的分解次數(shù)，計算方程組中的局部剛性矩陣，并將局部矩陣計算結(jié)果整合全局計算矩陣[10-11]；計算每個元素的負(fù)荷向量，對每個元素的負(fù)荷向量計算結(jié)果進(jìn)行整合，得到元素整體的負(fù)荷向量，將該結(jié)果作為方程組邊界條件.

在此次設(shè)計中，將Matlab軟件作為求解平臺，采用單元推導(dǎo)的形式，對方程組構(gòu)造出合適的近似值，并根據(jù)此設(shè)定單元函數(shù)作為方程組求解的前提，而后展開相應(yīng)的計算.為確保后續(xù)計算過程的可行性，將軟件的使用分解為前處理、處理與后處理3個階段.通過此部分設(shè)計，降低求解方法的計算難度.

1.2 特征值求解

采用上述設(shè)定作為此部分計算實施平臺， 由于此次研究對象為非齊次微分方程組，在此部分首先對非齊次方程組特征值進(jìn)行求解.根據(jù)非齊次方程組特征值問題解存在性定理[12-14]可知，若方程組存在唯一解(α,a)的充分必要條件為Ba=αa，則可以斷定α不是方程組的特征值，由此定義作為方程組特征值求解的約束條件.根據(jù)此定義結(jié)合常微分方程可得到特征值解，即方程組的邊值.在此次設(shè)計中，為提升求解結(jié)果的可靠性，對所求的結(jié)果展開擾動性分析，設(shè)定計算結(jié)果擾動的估計不等式，對大于‖c‖與小于‖c‖的2種情況進(jìn)行討論.當(dāng)‖c‖較小時，則有

Sx=αx+βb，

(1)

xTx=1.

(2)

對上述2公式展開分析可知，計算所得結(jié)果依賴于方程的敏感性.如果方程組敏感，則特征值也敏感[15-16].考慮到‖c‖≥0，則有

(3)

若方程中S的實對稱值與方程組計算系數(shù)α不十分接近，則c與cT(ST-αI)-1(ST-αI)-2c之間的夾角沒有出現(xiàn)較小的情況，則特征值所得解較為可靠，否則，求解結(jié)果可靠性較差.

當(dāng)‖c‖計算結(jié)果較大時，設(shè)定f=‖S‖/‖c‖，e=‖S‖/‖α‖，則有

|εα|≤(1+e)(1-χ)(‖εS‖+‖εc‖)/

[2(1-χ)3-1].

(4)

通過式(4)分析可知，f取值較小時，特征值計算結(jié)果較為有效.除上述常規(guī)計算外，還存在一種較為特殊的特征值解，當(dāng)特征值與方程組特征向量夾角遠(yuǎn)大于0時，此特征值解較為可靠[17-18].反之，此部分計算結(jié)果失真.

通過對方程組分齊次特征值的擾動情況展開分析，可得到三元一階線性非齊次微分方程組的邊值與特征向量.根據(jù)此計算結(jié)果作為方程組求解的約束條件，完成方程組求解過程.

1.3 方程組求解

采用上述設(shè)定結(jié)果作為此部分設(shè)計的基礎(chǔ)，設(shè)定三元一階方程組為

對于上述方程，設(shè)定d=(d1,d2,d3)T,j=(j1,j2,j3)T，h=(h1,h2,h3)T，其中h1,h2,h3表示方程組中不為零的常數(shù)，則有

(6)

對式(6)展開處理，展開等式兩邊方程項，則有

(h1d1′,h2d2′,h3d3′)=(h1g11,h2g12,h3g13)d1+(h1g21,h2g22,h3g23)d2+(h1g31,h2g32,h3g33)d3+(h1j1,h2j2,h3j3).

(7)

在式(7)中，設(shè)定h1g1i+h2g2i+h3g3i=fhii，其中i設(shè)定為方程組中的常數(shù)項，則有

(8)

根據(jù)上述計算，結(jié)合文獻(xiàn)[19]與文獻(xiàn)[20]中使用的解法，將非齊次方程轉(zhuǎn)化為齊次方程，計算求得此組方程組解.而后將上文中計算得到的方程組非齊次特征值作為方程組解的約束條件，確定方程組解的有效性與真實性.將方程組的特征解代入公式(8)中，則有

(9)

式中：ai表示特征解與特征向量的夾角.

通過上述公式可完成三元一階線性非齊次微分方程組求解過程.將上述設(shè)定的算法部分與文中設(shè)計的方程組求解平臺相結(jié)合，完成對方程組的求解過程.至此，三元一階線性非齊次微分方程組解法設(shè)計完成.

2 算例測試分析

通過上文中的設(shè)計部分，完成了三元一階線性非齊次微分方程組解法設(shè)計過程.為驗證此解法的可行性，采用算例分析的形式，對比文中設(shè)計解法與傳統(tǒng)解法在實際問題中的使用差異.

2.1 算例準(zhǔn)備

在此次算例測試中，采用已知解的方程組作為文中設(shè)計解法與傳統(tǒng)解法的算例.使用文中設(shè)計解法與傳統(tǒng)解法求得方程組的解，并將所得解與已知精確解作比較，以此驗證文中設(shè)計解法與傳統(tǒng)解法的正確性.基于方程組不具備精確解，在此次測試中采用物理實際問題的形式，得到方程組精確解，驗證方法的使用效果.

設(shè)定電路板如圖2所示，在此電路板中安裝多個散熱組件，此電路板被固定在某設(shè)備支架上，其自身恒定溫度被控制在25 ℃.在熱量平衡的狀態(tài)下，電路板組件溫度如下：處理器溫度為75 ℃；驅(qū)動電路溫度為45 ℃，穩(wěn)壓器溫度為30 ℃.采用文中設(shè)計解法與傳統(tǒng)解法求得此電路板溫度分布情況.

圖2 電路板插件位置

2.2 算例測試過程設(shè)定

在求解過程中，將不同解法的求解時間、求解結(jié)果與實際結(jié)果的相似度以及計算中涉及的數(shù)據(jù)量作為文中設(shè)計解法與傳統(tǒng)解法的對比對象，通過上述指標(biāo)驗證2種方法的使用差異.在此次測試中共進(jìn)行2組計算過程，每組測試由5次運算過程組成.在測試結(jié)束后，通過測試結(jié)果對比分析的形式，實現(xiàn)算例測試目的.

2.3 算例結(jié)果分析

算例運算時間測試結(jié)果如圖3所示，可以看出：文中設(shè)計解法的運算時間較為穩(wěn)定，且耗時明顯低于傳統(tǒng)解法1與傳統(tǒng)解法2；在2組測試中，傳統(tǒng)解法1與傳統(tǒng)解法2 的求解耗時均高于15 s.通過組間對比可知：此2種解法的耗時波動較大，在第1組測試時，傳統(tǒng)解法1與傳統(tǒng)解法2 的求解耗時出現(xiàn)了大幅度的變化；在第2組測試時，此2種方法的求解運算時間趨于平穩(wěn)，但傳統(tǒng)解法2在第4次運算中還是出現(xiàn)不穩(wěn)定耗時的情況；相較于其他2種算法，文中設(shè)計解法在使用中較為穩(wěn)定.

(a) 第1組

求解結(jié)果與實際結(jié)果相似度測試如圖4所示，可以看出：文中設(shè)計解法的求解結(jié)果可靠性較高，其余已知精確解的相似度較高，可知此解法得到結(jié)果與實測數(shù)據(jù)較為一致；傳統(tǒng)解法1與傳統(tǒng)解法2所得結(jié)果與已知精準(zhǔn)解的差異度較大.通過分析可知，此2種解法的計算精度較低，影響方程組求解結(jié)果.經(jīng)過多次測試可知，文中設(shè)計解法與已知結(jié)果的相似度維持在98.5%左右，傳統(tǒng)解法1與傳統(tǒng)解法2的相似度雖然趨于文中設(shè)計解法的求解結(jié)果，但依舊低于文中設(shè)計解法的求解相似度.對計算過程進(jìn)行分析可知，對非齊次特征值進(jìn)行求解，可有效提升方程組求解的可靠性，使計算結(jié)果與實測結(jié)果保持一致.在以后的方程組求解過程中，可采用文中設(shè)計解法提升計算結(jié)果的可靠性.

(a) 第1組

計算中涉及的數(shù)據(jù)量測試結(jié)果如圖5所示，可以看出：在首次展開測試時，3種解法涉及的數(shù)據(jù)量相同，隨著測試次數(shù)的不斷增加，文中設(shè)計解法所涉及的數(shù)據(jù)量不斷下降；傳統(tǒng)解法1與傳統(tǒng)解法2在計算中涉及的數(shù)據(jù)量出現(xiàn)大幅度的波動，在第1組測試中，傳統(tǒng)解法1的數(shù)量維持在200條左右，可見此算法的智能化較低，不能對運算過程進(jìn)行合理的控制；傳統(tǒng)解法2運算中涉及的數(shù)據(jù)量變化較大，由此可斷定此解法的計算穩(wěn)定度較差，無法避免數(shù)據(jù)對求解過程的影響.在2組試驗中，文中設(shè)計解法在數(shù)據(jù)量下降一段時間后維持在一固定的數(shù)據(jù)量值處，且可完成完整的求解過程.由此可知，文中設(shè)計解法在此指標(biāo)測試中可得到最優(yōu)測試結(jié)果.

(a) 第1組

將算例運算時間測試結(jié)果、求解結(jié)果與實際結(jié)果相似度測試結(jié)果以及計算中涉及的數(shù)據(jù)量測試結(jié)果整合分析可知，文中設(shè)計解法優(yōu)于傳統(tǒng)解法.

3 結(jié)語

經(jīng)過近幾十年的發(fā)展，微分方程逐漸成為具有堅實理論基礎(chǔ)和重要應(yīng)用價值的數(shù)值方法，并廣泛地應(yīng)用于建筑、電子、航空航天、核能等多個領(lǐng)域中.針對傳統(tǒng)求解方法的不足展開此次研究，在傳統(tǒng)求解方法的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了高精度的求解過程.在此求解方法的使用過程中，滿足計算要求，不需要重新進(jìn)行設(shè)計和分析，極大地提高了方程組計算水平和效率.在日后的研究中，可使用此方法作為微分方程組求解的主要工具之一，以推動微分?jǐn)?shù)學(xué)的發(fā)展.