劉玉忠, 武挽月

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

切換系統(tǒng)是由一族連續(xù)(或離散)時間子系統(tǒng)和一個切換規(guī)則組成的系統(tǒng),在過去幾十年中,受到眾多研究者的關注[1]。關于時滯切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定方面已經(jīng)取得豐碩的成果,但大多是針對含狀態(tài)時滯的切換系統(tǒng),對具有輸入時滯不確定切換系統(tǒng)的研究并不多見。

輸入時滯現(xiàn)象大量存在于工程實際問題中,因此研究含輸入時滯的不確定切換系統(tǒng)具有重要理論價值和實際意義。解決具有定常輸入時滯系統(tǒng)的一個比較有效的方法是還原法,借助某種狀態(tài)變換,將原時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為非時滯系統(tǒng),且Moon[2]指出,在時延很小的情況下,還原法所建立的控制器會使系統(tǒng)具有更好的性能和更小的保守性。

本文運用改進的還原法,研究了一類帶有輸入時滯不確定切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題。LIN等[3]基于公共Lyapunov函數(shù)方法給出了輸入時滯切換系統(tǒng)二次鎮(zhèn)定的充要條件,但并沒有考慮參數(shù)不確定性和保守性。WANG[4]利用矩陣的嚴格完備性設計了一類能使含有輸入時滯不確定切換系統(tǒng)穩(wěn)定的切換策略,但不易實現(xiàn)。本文提出了一種狀態(tài)反饋控制器的設計方法,依據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論給出了系統(tǒng)在控制器作用下穩(wěn)定的充分條件。

1 問題描述及相關引理

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下含有輸入時滯的不確定切換系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈n為狀態(tài)變量;u(t)∈p為控制變量;Ai,Bi,Ci為相應維數(shù)的常數(shù)矩陣;h為控制時延常數(shù);φ(t)是在[-h,0]上的一個可微向量值初始函數(shù);i:+=[0,∞)→M={1,2,…,m}為一個依賴于t或狀態(tài)x(t)的分段常值右連續(xù)切換信號;m為子系統(tǒng)的個數(shù);矩陣ΔAi,ΔBi,ΔCi為時變不確定性參數(shù)矩陣[5]。

1.2 還原算法

考慮如下帶有輸入時滯的切換系統(tǒng)[6]:

(2)

為了分析和設計系統(tǒng)(2)的魯棒控制器,需要用到如下引理:

引理1 Jesen不等式[7]

引理2 對于具有相應維數(shù)的實數(shù)矩陣D,F(t),E,若FT(t)F(t)≤I,則對Ki和?ε>0,DF(t)E+ETFT(t)DT≤ε-1DDT+εETE。

2 主要結(jié)果

針對系統(tǒng)(2),有如下結(jié)果:

證明 令u(t)=Kiz(t),代入系統(tǒng)(2)有

選取Lyapunov泛函為V(t)=V1+V2[8],則

從上面2個式子可以看出V(t)>0,對V1求導有

再根據(jù)引理1和引理2[9]有

對V2求導,有

于是

因為

所以

同理

由Schur補引理[11]可知Ξi<0的充分必要條件為Ψi<0,定理得證。

3 結(jié) 語

本文研究了一類帶有輸入時滯不確定切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題[12],應用改進的還原算法,給出了系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的充分條件,并把轉(zhuǎn)化為了簡潔清晰的LMI形式。