王賀元, 梅鵬飛

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

混沌的歷史最早追溯到Poincare對三體問題的研究[1]。1963年,氣象學家Lorenz[2]在研究局部區(qū)域小氣候的數(shù)值實驗中發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象,從而開啟了混沌研究的先河。Lorenz方程揭示的混沌現(xiàn)象引起了人們極大的研究興趣,進而引發(fā)了探索熱潮[3-9]。人們在研究Lorenz系統(tǒng)混沌行為的同時,一直都在探索設計與Lorenz系統(tǒng)對應的實驗裝置[9-13]。本文首先構(gòu)建圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)的數(shù)學模型,其次探討數(shù)學模型的動力學行為,進而解釋和分析水輪的混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

1 圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)裝置

圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)裝置由2個同軸等高的圓錐組成,圓錐間存在小的間隙,間隙之間加薄板,將公共頂點挖去,制作漏水的小孔,漏水率為k,注水器位于裝置的最高點,注水率Q大小可以人工調(diào)節(jié),圓錐的公共軸制作成可調(diào)節(jié)摩擦的轉(zhuǎn)軸,整個裝置與水平面有非零夾角φ,保證注水后水輪可以旋轉(zhuǎn)。

2 圓錐型水輪的數(shù)學模型

2.1 建立質(zhì)量守恒方程、力矩平衡方程

取水腔內(nèi)控制體的體積為V,V內(nèi)流體質(zhì)量變化取決于頂部的注入、對流和底部的流出,在t時刻的變化為

(1)

(2)

(3)

下面對轉(zhuǎn)動慣量I(t)和重力矩L進行詳細推導和計算。以旋轉(zhuǎn)軸為軸建立如圖 1所示坐標系。

圖1 坐標系Fig.1 Coordinate syste

由于水腔微元水的質(zhì)量分布密度為P(θ,t),設整個水輪間隙區(qū)域為Ω,取如圖2中薄圓臺型的一小段為水微元dv,則水腔內(nèi)水微元質(zhì)量為P(θ,t)dv,水輪中水的高度為z,變化范圍為[0,h],在水微元形成的圓環(huán)形液面中小圓半徑為r0,大圓半徑為R0,水輪中水的轉(zhuǎn)動慣量為

圖2 水微元示意圖Fig.2 Water micro element diagram

令A=(cot4β-cot4α)h5,則

(4)

小微元體所受到的重力為P(θ,t)dv·g,這里g為重力加速度垂直于旋轉(zhuǎn)軸的分量。根據(jù)力矩公式,可得微元的重力矩為P(θ,t)dv·g·rsinθ。水輪裝置間隙區(qū)域Ω內(nèi)水的重力矩為

令B=(cot3β-cot3α)h4,則重力矩:

因而力矩平衡方程(3)化為如下方程:

(5)

方程(2)和方程(5)即為圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的數(shù)學模型。

2.2 數(shù)學模型的簡化

由于圓錐型水輪的數(shù)學模型(2)和模型(5)是連續(xù)的,下面通過傅里葉展開簡化模型(2)和模型(5),以便進行理論分析和數(shù)值仿真。對水質(zhì)量分布密度P(θ,t)展開成傅里葉級數(shù):

(6)

由于圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)時的水是對稱注入的,因此對其中的注水率Q(θ)進行傅里葉展開有

將此式和式(6)代入方程(2)和方程(5)整理,利用待定系數(shù)法得

圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)軸水平時的方程與方程(7)取n=1時導出的結(jié)果相似,但在這種情況下,推導出的是對應粗糙近似真實的系統(tǒng)[14],所以對傾斜情況討論時,只能通過一個無窮小的連續(xù)系統(tǒng)做出近似,代替有限大小的隔間。最初,水輪是空的,對應所有的n,都有an=bn=0。

由圓錐型旋轉(zhuǎn)水輪中水的轉(zhuǎn)動慣量為

從而得

(8)

因此,總轉(zhuǎn)動慣量I(t)隨時間而變化,與水輪的轉(zhuǎn)動速度沒有關系,根據(jù)式(8)可知:當n=1時,方程組(7c)與其他方程模態(tài)解耦;當n≥2時其為高模態(tài),只影響裝置注水的細節(jié),不影響水輪轉(zhuǎn)動。從而可得動力系統(tǒng)是由如下3個方程耦合而成:

(9)

式(9)為圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)問題簡化的數(shù)學模型。

3 數(shù)學模型動力學行為的仿真研究

取σ=4,模型系統(tǒng)的動力學行為隨著ρ的大小變化而變化。圖3為當0<ρ<300時的分叉圖,圖4為對應的最大Lyapunov指數(shù)圖。當ρ=1.065 386,模型開始出現(xiàn)分叉;當ρ>16時,混沌開始出現(xiàn),混沌區(qū)中在75.688<ρ<110時出現(xiàn)一個明顯的周期窗口。

圖3 σ=4時狀態(tài)變量y的分叉圖Fig.3 Bifurcation graph of state variable y when σ=4

圖4 σ=4時的最大Lyapunov指數(shù)Fig.4 The largest Lyapunov exponent when σ=4

從上述指標圖的特征可以看出模型(9)在ρ>16時展現(xiàn)混沌狀態(tài)。

4 結(jié) 語

本文利用微元法結(jié)合力學原理,通過傅里葉變換,推導出圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象對應的數(shù)學模型為三維非線性微分方程組。運用MATLAB軟件繪制混沌指標圖,展示了數(shù)學模型的混沌行為,進而對水輪混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象給出了合理性的解釋。