梁修曦

(湖北省十堰市鄖陽中學(xué) 442000)

一、課堂再現(xiàn)

圖1

生2：也可直接設(shè)MN的方程為y=kx+m，利用kAM·kAN=-1求得m與k的關(guān)系式，從而得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

師：這兩種思路都很好，請(qǐng)你們寫出求解過程.

師：這兩種方法均為證明直線恒過定點(diǎn)問題的通性通法. 比較來看，那種方法稍好一些呢？

生3：方法1思路簡潔，依照題意直接計(jì)算即可.

生4：方法2目標(biāo)明確，求哪條直線過定點(diǎn)，就設(shè)哪條直線方程為y=kx+m，再尋找m與k的關(guān)系式，計(jì)算都很常規(guī).

生5：兩種方法都差不多.

師：既然大家難以取舍，接下來我們看變式1，再次體驗(yàn)一下.

變式1在問題1中，將A點(diǎn)坐標(biāo)改為(2，0)，其他條件和求證不變.

師：其他同學(xué)有什么辦法解決這個(gè)問題嗎？

師：回答正確，我們?cè)诮鉀Q定點(diǎn)問題中，有時(shí)要靈活運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)幫助我們的計(jì)算.再次對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)：方法1涉及到方程的化簡，有時(shí)會(huì)比較復(fù)雜，而方法2的計(jì)算量就稍小一些，運(yùn)用起來更方便.

生9：問題1還有更簡單的解法！

師：好，請(qǐng)你給大家講一講.

生9：因?yàn)檫@里是兩直線的斜率之積等于-1，我們可以聯(lián)想到韋達(dá)定理.

師：非常精彩！這是此類問題的一種巧解.聯(lián)想到韋達(dá)定理，巧妙地將橢圓方程變形為以斜率為主元的二次方程，使計(jì)算量大幅減少，值得大家學(xué)習(xí)！

圖2

綜上知，以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)(0，1).

師：回答正確，這就是“找定點(diǎn)”問題的通性通法.其步驟是：先假設(shè)存在符合題目條件的點(diǎn)，再化圖形特征為代數(shù)計(jì)算，看能否找到方程的解.最后再驗(yàn)證方程的解是否符合題目要求.其中會(huì)涉及到恒成立或代數(shù)式為定值的問題，需認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)，找到對(duì)應(yīng)的辦法.

最后，請(qǐng)大家再觀察問題1和2，它們有什么聯(lián)系？

生11：它們是對(duì)偶問題，問題1是已知以MN為直徑的圓過定點(diǎn)，求直線過的定點(diǎn)；問題2是直線轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓過的定點(diǎn).

師：對(duì)，它們其實(shí)是同一個(gè)問題從兩種不同角度設(shè)問.這類問題有一個(gè)一般性結(jié)論，大家下課后可以繼續(xù)探究：

二、回顧與反思

在備本節(jié)復(fù)習(xí)課時(shí)，筆者的主要思路是設(shè)計(jì)一組關(guān)聯(lián)題目，求解時(shí)能用到“證定點(diǎn)”和“找定點(diǎn)”兩類問題的全部方法和技巧.問題1是一個(gè)“證定點(diǎn)”問題，解答中涵蓋了動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)題法和動(dòng)直線方程設(shè)題法，為了比較兩種方法的優(yōu)劣，引入了變式1，同時(shí)也滲透了利用圖形對(duì)稱性輔助計(jì)算的技巧；利用韋定理巧解則是本節(jié)課的意外收獲，體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活多變.問題2是一個(gè)“找定點(diǎn)”問題，它需要“先猜后證”，把動(dòng)態(tài)幾何特征變化轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算，進(jìn)而找到定點(diǎn).而對(duì)恒等式的處理，也是學(xué)生的弱項(xiàng)，需要學(xué)生具備良好的觀察和分析能力.最后，通過對(duì)比，看清問題1和2的本質(zhì)是同一個(gè)問題的兩種不同角度設(shè)問，進(jìn)而提煉總結(jié)出一般性的結(jié)論.

總之，定點(diǎn)問題在高中圓錐曲線教學(xué)中是熱點(diǎn)問題，也是一個(gè)難點(diǎn)，它既考查學(xué)生的計(jì)算推理能力，更注重學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)問題的處理能力，鍛煉學(xué)生熟練地將“數(shù)”的計(jì)算與“形”的分析結(jié)合起來.圓錐曲線章節(jié)的復(fù)習(xí)課更需要精心地設(shè)計(jì)問題，通過橫向深挖縱向拓展，一方面可以減少部分重復(fù)的計(jì)算，直接進(jìn)入核心的思維環(huán)節(jié)，又可以促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓課堂更高效生動(dòng).