李秀元

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

一、中線長定理的內(nèi)容、地位及證明

中線長定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是關(guān)于三角形三邊和中線長度關(guān)系的歐氏幾何定理.文字表述為：三角形一條中線兩側(cè)所對邊的平方和等于底邊一半的平方與該邊中線的平方和的2倍.

圖1

如圖示，設(shè)△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，AC，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，則：

中線長定理在人教課標教材A版中一共出現(xiàn)三次，一次是《數(shù)學》必修5第一章《解三角形》20頁習題13，作為余弦定理的應(yīng)用，它突出了中線長的計算：

△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，應(yīng)用余弦定理證明：

一次是《數(shù)學》必修2第三章《直線與方程》110頁B組習題7，以解析法的形式，突出了中線長與三角形三邊的關(guān)系：

已知AO是△ABC邊BC的中線，求證：

|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

第三次是《數(shù)學》必修2第三章《直線與方程》105頁例4在兩點間距離公式的應(yīng)用基礎(chǔ)上，給出了平行四邊形的性質(zhì)，也可以理解為中線長定理的變形式：

證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

下面用不同方法證明如下：

證法1應(yīng)用余弦定理(只證第一式，其余同理).

證法2綜合應(yīng)用平面向量知識和余弦定理.

證法3解析法.

如圖，以BC邊的中點為原點，邊BC所在直線為x軸建立直角坐標系.

圖2

設(shè)C(c,0)，A(a,b)，則B(-c,0).

|AB|2=(a+c)2+b2；|AC|2=(a-c)2+b2；|OA|2=a2+b2；|OC|2=c2.

所以，|AB|2+|AC|2=(a+c)2+b2+(a-c)2+b2=2(a2+b2+c2)，

2(|AO|2+|OC|2)=2(a2+b2+c2).

因此，|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

二、中線定理的簡單應(yīng)用

例1Rt△ABC中，斜邊BC為m，以BC的中點O為圓心，作直徑為n(n

圖3

A. 2 B. 4 C. 5 D. 10

圖4

在△PAB中，應(yīng)用中線定理，有2(|PA|2+|PB|2)-|AB|2=4|PD|2，故2(|PA|2+|PB|2)=|AB|2+4|PD|2=20|PC|2，選D.

說明以上兩題建系求解一樣可行，而應(yīng)用中線長定理則是不錯的選擇.

圖5

說明本題作為13年高考重慶卷的選擇壓軸題，有其把關(guān)和選拔功能，是一道難題.雖然有垂直關(guān)系，有長度，可以建系求解，但計算麻煩，短時間內(nèi)會逼得學生放棄.應(yīng)用中線長定理直接將目標和已知條件聯(lián)系在一起，解題干凈利落，值得欣賞.

例4 已知P(a,b)為圓x2+y2=1內(nèi)一個定點.作直線PA⊥PB，分別交圓于A，B.以A，P，B為三個頂點作矩形，求矩形的第四個頂點Q的軌跡.

圖6

例5 已知m，n是兩個非零向量，且|m|=1，|m+2n|=3，則|m+n|+|n|的最大值為( ).

圖7

說明本題的綜合較強，考查了向量的加減法，向量模的幾何意義，中線長定理，以及基本不等式等知識，難度較大.